Đường tiệm cận

Nhiệm vụ 01 — Giữ tập xác định khi rút gọn

Cho $r(x)=\frac{x^2-100}{x-10}$ với tập xác định gồm tất cả các giá trị làm công thức có nghĩa. Ghi tập xác định, rút gọn biểu thức trên tập xác định ấy. Sau rút gọn, em có được thêm $10$ vào tập xác định hoặc viết giá trị $r(10)$ không?

Xem lời giải.

Nhiệm vụ 02 — Đọc hướng và xét dấu

Với $p(x)=-\frac{3}{x-1}$, hãy diễn tả $x\to1^-$ và $x\to1^+$ bằng lời. Ở mỗi phía, xác định dấu của mẫu rồi tính giới hạn tương ứng. Bài này chưa yêu cầu gọi tên đường tiệm cận.

Xem lời giải.

Nhiệm vụ 03 — Xét riêng hai đầu vô cực

Tính $\lim_{x\to+\infty}q(x)$ và $\lim_{x\to-\infty}q(x)$ với $q(x)=\frac{4x+1}{x+2}$. Viết phép chia cả tử và mẫu cho $x$ để làm rõ kết quả; không thay “vô cực” vào công thức như một số.

Xem lời giải.

Nhiệm vụ 04 — Kiểm thương và phần dư

Viết $A(x)=\frac{2x^2+x+5}{x+1}$ thành một biểu thức bậc nhất cộng phần dư trên mẫu. Ghi điều kiện của $x$, rồi kiểm phép chia bằng cách lấy mẫu nhân với thương và cộng phần dư. Bài này chỉ kiểm phép biến đổi, chưa yêu cầu kết luận về tiệm cận.

Xem lời giải.

1. Giới hạn mô tả hành vi của hàm số

Gợi mở 01 — Giá trị tại điểm và hành vi lân cận

Thử trả lời trước khi đọc tiếp.

Hai công thức cùng không xác định tại một hoành độ có buộc đồ thị có cùng hành vi ở gần đó không? Giá trị tại điểm và giới hạn khi tiến gần điểm ấy đang trả lời cùng một câu hỏi hay hai câu hỏi khác nhau?

Việc không xác định tại một điểm chưa cho biết hàm tiến tới đâu ở lân cận. Giá trị tại điểm và giới hạn cần được xét riêng. Hãy kiểm lại nhận xét này bằng hai hàm trong Ví dụ 01.

1.2. Ví dụ 01 — Cùng loại một điểm, hành vi khác nhau

Xét

$$u(x)=\frac{x^2-4}{x-2},\qquad v(x)=\frac{x+2}{x-2}.$$

Cả hai hàm đều có tập xác định $\mathbb R\setminus\{2\}$. Với $x\ne 2$,

$$u(x)=x+2.$$

Do đó $\lim_{x\to2}u(x)=4$, nhưng $u(2)$ vẫn không được xác định. Đồ thị $u$ là đường $y=x+2$ bỏ điểm $(2;4)$.

Với $v$, ta viết

$$v(x)=1+\frac{4}{x-2}.$$

Khi $x\to 2^{-}$, mẫu âm và tiến tới $0$ nên $v(x)\to -\infty$. Khi $x\to 2^{+}$, mẫu dương và tiến tới $0$ nên $v(x)\to +\infty$. Việc cùng loại $x=2$ không khiến hai hàm có cùng hành vi gần $2$.

1.3. Nhiệm vụ 05 — Rút gọn có thêm được một điểm không?

Cho $r(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ với tập xác định gồm tất cả các giá trị làm công thức có nghĩa. Một bạn viết: “$r(x)=x+1$ nên $r(1)=2$.” Hãy chỉ rõ phần đúng, phần sai; tìm giới hạn của $r(x)$ khi $x\to 1$.

Xem lời giải. Nếu vướng điều kiện sau rút gọn, xem Biến đổi phân thức, rồi trở lại câu này. Nếu đã hiểu, tiếp tục mục 2.

2. Tiệm cận ngang: xét riêng hai đầu vô cực

Gợi mở 02 — Hai đầu của đồ thị

Thử trả lời trước khi đọc tiếp.

Khi $x\to+\infty$, $f(x)\to4$. Tung độ của điểm trên đồ thị đang tiến gần tung độ của đường thẳng nào? Dữ kiện này đã cho biết hành vi ở đầu trái chưa?

Ta đang so $f(x)$ với $4$, tức so tung độ của điểm trên đồ thị với tung độ của đường $y=4$. Dữ kiện chỉ nói về đầu phải. Định nghĩa dưới đây giúp gọi tên đường ấy và xét riêng từng đầu vô cực. Một điểm giao hữu hạn có mâu thuẫn với hành vi ở rất xa không? Hãy giữ câu hỏi này khi đọc các ví dụ.

2.2. Ví dụ 02 — Hai đầu cho cùng một đường

Cho $f(x)=4-\frac{3}{x+2}$, $x\ne-2$. Vì $\frac{3}{x+2}\to0$ khi $x\to+\infty$ và khi $x\to-\infty$, ta có

$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=4,\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=4.$$

Đồ thị có tiệm cận ngang $y=4$. Hai giới hạn cùng bằng $4$ xác định một đường thẳng, không phải hai tiệm cận khác nhau.

2.3. Ví dụ 03 — Hai đầu có thể khác nhau

Biết $\lim_{x\to+\infty}g(x)=2$ và $\lim_{x\to-\infty}g(x)=-3$. Đồ thị có hai tiệm cận ngang: $y=2$ ở đầu phải và $y=-3$ ở đầu trái. Không được lấy kết quả của đầu phải áp cho đầu trái nếu chưa có căn cứ.

Với phân thức, có thể chia cả tử và mẫu cho lũy thừa thích hợp của $x$ để tính giới hạn. Cần xét riêng từng hướng mà tập xác định cho phép. Chẳng hạn, nếu tập xác định là $(4;+\infty)$, ta xét giới hạn khi $x\to+\infty$; không xét $x\to-\infty$ vì các giá trị $x$ trong tập này đều lớn hơn $4$.

2.4. Ví dụ 04 — Cắt tiệm cận ngang tại một điểm

Xét $F(x)=2+\frac{x}{x^2+1}$ trên $\mathbb R$. Khi $x\ne0$, ta có

$$\frac{x}{x^2+1}=\frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}\longrightarrow0\quad\text{khi }x\to\pm\infty.$$

Vì vậy $\lim_{x\to+\infty}F(x)=\lim_{x\to-\infty}F(x)=2$, nên $y=2$ là tiệm cận ngang. Nhưng phương trình $F(x)=2$ tương đương $x=0$: đồ thị cắt đường ấy tại $(0;2)$.

Không có mâu thuẫn: định nghĩa tiệm cận ngang yêu cầu độ chênh tiến về $0$ khi biến ra vô cực, không cấm độ chênh bằng $0$ tại một hoành độ hữu hạn.

2.5. Nhiệm vụ 06 — Ghi cả đường và hướng

Biết $\lim_{x\to+\infty}p(x)=-1$ và $\lim_{x\to-\infty}p(x)=3$. Hãy viết các tiệm cận ngang cùng hướng tương ứng. Một bạn chỉ ghi $y=-1$ đã đủ chưa?

Xem lời giải. Nếu nhầm hướng, trở lại định nghĩa ở đầu mục này. Nếu chưa biết tính giới hạn ở vô cực, xem Ôn nền, rồi trở lại nhiệm vụ đang làm.

3. Tiệm cận đứng: một phía vô cực đã đủ

Gợi mở 03 — Một phía tiến tới vô cực

Thử trả lời trước khi đọc tiếp.

Khi $x\to2^+$, $g(x)\to+\infty$. Hoành độ đang tiến gần mốc nào, từ phía nào? Tung độ có tiến tới một số hữu hạn không?

Hoành độ tiến tới $2$ từ phải, còn tung độ tăng không bị chặn. Dữ kiện không gán $g(2)$ bằng vô cực: vô cực không phải một giá trị thực của hàm số. Nếu giới hạn trái hữu hạn, hành vi phía phải này có đủ để xác định một đường tiệm cận đứng không? Hãy đối chiếu với điều kiện trong định nghĩa dưới đây.

3.2. Ví dụ 05 — Hai phía cùng đi lên

Cho $g(x)=\frac{2}{(x+3)^2}$, $x\ne -3$. Khi $x$ tiến tới $-3$ từ bất cứ phía nào, $(x+3)^2$ dương và tiến về $0$. Vì vậy

$$\lim_{x\to-3^-}g(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to-3^+}g(x)=+\infty.$$

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-3$. Dấu bình phương giải thích vì sao cả hai phía cùng $+\infty$; không áp mẫu “trái âm, phải dương” cho mọi phân thức.

Nếu hàm được gán riêng giá trị tại $a$? Giá trị ấy không tự xóa một giới hạn vô cực ở lân cận. Để kiểm đường đứng, vẫn đọc đúng hành vi khi $x$ tiến tới $a$. Ngược lại, chỉ biết $f(a)$ không tồn tại cũng chưa đủ để kết luận có tiệm cận đứng.

3.3. Nhiệm vụ 07 — Chỉ một phía có nghĩa

Hàm $w$ có tập xác định $(-\infty;5)$, liên tục trên khoảng này và $\lim_{x\to5^-}w(x)=-\infty$. Có thể kết luận $x=5$ là tiệm cận đứng không? Có cần thêm giới hạn phải tại $5$ không?

Xem lời giải. Nếu vướng kí hiệu hoặc dấu vô cực, dùng Giới hạn một phía, rồi quay lại câu này.

4. Tiệm cận xiên: kiểm phần chênh lệch

Gợi mở 04 — Đường thẳng và phần chênh lệch

Thử trả lời trước khi đọc tiếp.

Khi $x\to+\infty$, hiệu $h(x)-(x-1)$ tiến tới $0$. Em đang so tung độ của điểm trên đồ thị với tung độ của đường thẳng nào? Hiệu tiến về $0$ cho biết điều gì?

Ta đang so $h(x)$ với $x-1$, tức so tung độ của điểm trên đồ thị với tung độ của đường $y=x-1$ có cùng hoành độ. Phần chênh lệch ấy tiến về $0$ ở đầu phải. Định nghĩa dưới đây dùng chính giới hạn của hiệu để nhận biết tiệm cận xiên. Hai đường thẳng có cùng hệ số góc đã là cùng một đường chưa? Hãy lưu ý cả hệ số tự do khi kiểm giới hạn.

4.2. Ví dụ 06 — Tách phần tuyến tính và phần còn lại

Cho $h(x)=\frac{x^2+x+4}{x-1}$, $x\ne 1$. Chia đa thức, ta được

$$h(x)=x+2+\frac{6}{x-1}.$$

Có thể kiểm ngay bằng $(x-1)(x+2)+6=x^2+x+4$. Suy ra

$$h(x)-(x+2)=\frac{6}{x-1}\longrightarrow0\quad\text{khi }x\to\pm\infty.$$

Vì thế $y=x+2$ là tiệm cận xiên ở cả hai đầu. Muốn tìm thêm tiệm cận đứng, xét riêng giới hạn tại điểm loại $x=1$; phần $\frac{6}{x-1}$ cho giới hạn trái $-\infty$ và phải $+\infty$, nên $x=1$ là tiệm cận đứng.

Từ công thức đến thông tin trên hình. Với cùng hàm $h$ trong Ví dụ 06, ta đi lần lượt:

Khi phác riêng các thông tin tiệm cận, trước hết đặt đường đứng $x=1$ và đường xiên $y=x+2$; sau đó ghi hướng của các nhánh gần mốc và ở xa. Các giới hạn không tự cho mọi khoảng tăng giảm, điểm cực trị hoặc một hình dạng duy nhất ở giữa. Hình $6$ được dựng từ công thức đầy đủ; không được lấy nét cong của hình làm kết luận đã chứng minh chỉ bằng tiệm cận.

4.4. Nhiệm vụ 08 — Thiếu một hằng số

Cho $q(x)=2x-5+\frac{1}{x+6}$, $x\ne -6$. Một bạn chỉ nhìn hệ số của $x$ và chọn $y=2x$. Hãy tìm đường xiên đúng và dùng giới hạn của hiệu để bác đường đã chọn.

Xem lời giải. Nếu chưa tách được một phân thức thành thương và dư, xem Biến đổi phân thức. Sau đó quay về bài đang vướng; làm đúng phép chia vẫn cần bước kiểm giới hạn phần dư.

5. Giải thích kết quả theo điều kiện của mô hình

Gợi mở 05 — Điều kiện của mô hình cho phép xét giới hạn nào?

Thử trả lời trước khi đọc tiếp.

Một công thức tính được tại thời gian âm có cho phép dùng thời gian ấy trong mọi mô hình không? Một giới hạn hữu hạn có luôn là giá trị được đạt không?

Khi dùng một mô hình, trước hết cần biết biến số được phép nhận những giá trị nào. Giới hạn cho biết giá trị hàm số tiến gần đến mức nào; muốn kết luận hàm số đạt mức ấy, phải tìm được một giá trị của biến thỏa điều kiện bài toán. Không dùng công thức ngoài phạm vi mà mô hình đã cho.

5.2. Ví dụ 07 — Tiến tới một mức không có nghĩa đạt mức ấy

Trong một mô hình giả định, nồng độ sau $t$ giờ được cho bởi

$$c(t)=5+\frac{12}{t+1}\quad(t\ge0),$$

với $c$ tính bằng $\mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}$. Khi $t\to +\infty$, phần $\frac{12}{t+1}$ tiến về $0$, nên $c(t)\to 5$. Đồ thị của hàm số trong mô hình có tiệm cận ngang $c=5$: mô hình dự báo nồng độ tiến gần $5$ $\mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}$ khi thời gian tăng.

Với mọi $t\ge0$, ta có $\frac{12}{t+1}>0$, nên $c(t)>5$. Vì vậy không có thời điểm nào trong mô hình cho nồng độ bằng $5\,\mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}$. Mô hình chỉ xét $t\ge0$; những thời điểm này không thể tiến sát $-1$. Do đó $t=-1$ không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số trong mô hình đã cho.

Kết luận trên thuộc mô hình đã cho, không là khẳng định thực nghiệm về mọi quá trình thay đổi nồng độ.

5.3. Nhiệm vụ 09 — Không tự mở rộng điều kiện của mô hình

Một chỉ số được mô hình hóa bởi $z(t)=10+\frac{8}{t+2}$, với thời gian $t\ge0$ tính bằng giờ và $z$ tính bằng điểm. Hãy tính giới hạn khi $t\to+\infty$ và giải thích ý nghĩa. Có thời điểm hữu hạn nào trong mô hình để chỉ số bằng $10$ không? Đường $t=-2$ có phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số trong mô hình này không? Vì sao?

Xem lời giải. Nếu nhầm giới hạn với giá trị được đạt hoặc dùng thời điểm ngoài điều kiện của mô hình, xem lại Ví dụ 07 trong mục này, rồi quay lại bài đang làm.

6. Sửa một lập luận và tự kiểm lại

Gợi mở 06 — Đọc lời chữa và tự kiểm lại

Thử trả lời trước khi đọc tiếp.

Em đọc lời chữa và thấy hợp lí. Điều đó đã đủ để biết em sẽ tự phát hiện và sửa được lỗi khi dữ kiện đổi từ công thức sang giới hạn cho sẵn chưa? Khi một lập luận có cả phần đúng và phần sai, em cần giữ lại điều gì?

Đọc hiểu lời chữa chưa cho biết em có tự làm được tình huống khác hay không. Hãy giữ phần đúng, tìm đúng bước suy luận sai, sửa căn cứ rồi tự làm câu phù hợp chưa gặp trước đó. Ví dụ và câu Nhiệm vụ trong Bài học dưới đây giúp phân biệt các việc ấy.

6.1. Ví dụ 08 — Giữ phần đúng khi sửa

Cho $u(x)=\frac{x^2-121}{x-11}$, với tập xác định gồm tất cả các giá trị làm công thức có nghĩa. Một bạn viết: “Hàm không xác định tại $11$, nên $x=11$ là tiệm cận đứng; rút gọn được $u(x)=x+11$, nên $u(11)=22$.”

• Phần đúng: giá trị $11$ không thuộc tập xác định; phép rút gọn đúng khi $x\ne11$.
• Bước sai: dùng việc không xác định để kết luận giới hạn vô cực; sau đó dùng biểu thức rút gọn để thêm giá trị ngoài tập xác định.
• Kiểm lại căn cứ: $\lim_{x\to11^-}u(x)=\lim_{x\to11^+}u(x)=22$, là giới hạn hữu hạn.
• Viết lại: “Hàm có tập xác định $\mathbb R\setminus\{11\}$. Trên tập xác định này, $u(x)=x+11$. Hai giới hạn tại $11$ bằng $22$, nên $x=11$ không là tiệm cận đứng; $u(11)$ vẫn không được xác định.”

Ví dụ đã cho lời chữa, vì vậy không dùng việc chép lại lời chữa làm bằng chứng mới. Nhiệm vụ dưới đổi sang dữ kiện giới hạn có sẵn và giữ một giá trị riêng tại mốc.

6.2. Nhiệm vụ 10 — Có giá trị tại mốc vẫn cần xét lân cận

Một hàm $g$ xác định trên $\mathbb R$, có $g(2)=5$ và $\lim_{x\to2^+}g(x)=+\infty$. Một bạn nói: “Điểm $(2;5)$ thuộc đồ thị, nên $x=2$ không thể là tiệm cận đứng.”

Hãy giữ phần đúng, chỉ bước suy luận sai, viết lại toàn bộ câu và nêu điều chưa biết về giới hạn trái tại $2$.

Tiêu chí tự kiểm: phân biệt giá trị tại mốc với giới hạn phải; dùng đúng điều kiện đủ của đường đứng; giữ dữ kiện đúng và không tự gán giới hạn trái.

Xem lời giải. Nếu nhầm giá trị hàm số tại một điểm với giới hạn khi biến tiến tới điểm đó, xem lại định nghĩa tiệm cận đứng. Nếu chưa hiểu kí hiệu giới hạn từ bên trái hoặc bên phải, xem Giới hạn một phía. Cách chọn bài kiểm tra lại được chỉ dẫn trong Sửa lỗi.

Nhiệm vụ 11 — Từ giới hạn đến đường thẳng

Cho hàm $f$ xác định trên $\mathbb R\setminus\{1\}$, liên tục trên từng khoảng của tập xác định, có

$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}f(x)=2,\quad \lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty.$$

Viết các tiệm cận ngang và đứng của đồ thị. Mỗi kết luận cần kèm dữ kiện quyết định. Hai giới hạn ở vô cực cho một hay hai đường ngang?

Xem lời giải. Nếu cần, xem lại đúng phần đang vướng, rồi trở lại nhiệm vụ này.

Nhiệm vụ 12 — Tìm tập xác định trước khi tính

Tìm các tiệm cận ngang, đứng của $f(x)=\frac{5x+2}{x-3}$. Ghi tập xác định và tính giới hạn một phía tại điểm bị loại.

Xem lời giải. Nếu cần, xem lại đúng phần đang vướng, rồi trở lại nhiệm vụ này.

Nhiệm vụ 13 — Một điểm hở

Cho $u(x)=\frac{x^2-9}{x-3}$ với tập xác định gồm tất cả các giá trị làm công thức có nghĩa. Kiểm nhận định “$x=3$ là tiệm cận đứng”. Nếu rút gọn được $u(x)=x+3$, em có được viết $u(3)=6$ không? Bài này chỉ yêu cầu xét mốc $x=3$.

Xem lời giải. Nếu cần, xem lại đúng phần đang vướng, rồi trở lại nhiệm vụ này.

Nhiệm vụ 14 — Chỉ có một phía để tiến gần

Cho $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-4}}$ trên $D=(4;+\infty)$. Tìm tiệm cận ngang, đứng của đồ thị. Giải thích vì sao không phải xét $x\to 4^{-}$.

Xem lời giải. Nếu cần, xem lại đúng phần đang vướng, rồi trở lại nhiệm vụ này.

Nhiệm vụ 15 — Không bỏ sót đầu trái

Cho $\lim_{x\to+\infty}f(x)=7$ và $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-2$. Viết các đường tiệm cận ngang và ghi đường nào ứng với đầu trái, đầu phải. Có thể chỉ từ hai dữ kiện này kết luận rằng đồ thị không có tiệm cận đứng không?

Xem lời giải. Nếu cần, xem lại đúng phần đang vướng, rồi trở lại nhiệm vụ này.

Nhiệm vụ 16 — Thương và phần dư

Tìm các tiệm cận đứng, xiên của $f(x)=\frac{x^2+3x+7}{x+2}$. Kiểm phép chia bằng cách lấy mẫu nhân với thương và cộng phần dư; sau đó kiểm giới hạn của hiệu với đường xiên.

Xem lời giải. Nếu cần, xem lại đúng phần đang vướng, rồi trở lại nhiệm vụ này.

Nhiệm vụ 17 — Đừng bỏ mất hệ số tự do

Một bạn nói đồ thị $g(x)=\frac{2x^2-x+4}{x-2}$ có tiệm cận xiên $y=2x$ vì “tỉ số hệ số cao nhất bằng $2$”. Hãy kiểm nhận định này, tìm đường xiên đúng và chỉ rõ giới hạn nào bác đường $y=2x$.

Xem lời giải. Nếu cần, xem lại đúng phần đang vướng, rồi trở lại nhiệm vụ này.

Nhiệm vụ 18 — Cắt mà vẫn tiến sát

Cho $f(x)=3+\frac{x-1}{x^2+1}$. Chứng minh $y=3$ là tiệm cận ngang, rồi tìm giao điểm của đồ thị với $y=3$. Kết quả có mâu thuẫn với định nghĩa không?

Xem lời giải. Nếu cần, xem lại đúng phần đang vướng, rồi trở lại nhiệm vụ này.

Nhiệm vụ 19 — Một hình, ba hành vi

Hình sau biểu diễn một hàm xác định trên $\mathbb R\setminus\{2\}$ và liên tục trên từng khoảng của tập xác định. Hình đi kèm các dữ kiện chính xác:

$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=-1,\quad \lim_{x\to2^-}f(x)=4,\quad \lim_{x\to2^+}f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to+\infty}[f(x)-(2x+1)]=0.$$

1. Nêu các tiệm cận suy ra từ dữ kiện và chỉ vị trí/hướng tương ứng trên hình.

2. Một bạn bác $x=2$ là tiệm cận đứng vì giới hạn trái bằng $4$. Bạn ấy sai ở đâu?

3. Giải thích vì sao không dùng một đoạn đồ thị nhìn “gần thẳng” trong ảnh để thay phép kiểm giới hạn.

Xem lời giải. Nếu cần, xem lại đúng phần đang vướng, rồi trở lại nhiệm vụ này.

Nhiệm vụ 20 — Nhiệt độ trong mô hình

Một mô hình giả định cho nhiệt độ sau $t$ giờ là $h(t)=6+\frac{18}{t+2}$ ( ${}^{\circ}\mathrm{C}$), $t\ge 0$.

1. Nêu tiệm cận ngang và ý nghĩa trong mô hình.

2. Có thời điểm hữu hạn nào nhiệt độ đúng bằng $6$ ${}^{\circ}\mathrm{C}$ không?

3. Một bạn dùng mẫu $t+2$ để gọi $t=-2$ là tiệm cận đứng của đồ thị mô hình. Hãy kiểm cách kết luận ấy.

Xem lời giải. Nếu cần, xem lại đúng phần đang vướng, rồi trở lại nhiệm vụ này.

Phối hợp — lựa chọn thêm

Nhiệm vụ 21 — Tiệm cận và giá trị không đạt

Chọn bài này nếu em đã học giá trị lớn nhất và nhỏ nhất hoặc có nền tương ứng. Với $C(x)=2+\frac{6}{x+1}$ trên $x\ge 0$, hãy tìm GTLN, GTNN nếu có và giải thích quan hệ với tiệm cận ngang.

Xem lời giải. Nếu cần, xem lại đúng phần đang vướng, rồi trở lại nhiệm vụ này.

Chuyển giao — lựa chọn thêm

Nhiệm vụ 22 — Hai đường xiên khác nhau

Chọn bài này nếu em đọc được giới hạn căn và $\sqrt{x^2}=|x|$ ở phần nền. Với $f(x)=\sqrt{x^2+9}$, hãy kiểm $y=x$ ở $+\infty$ và $y=-x$ ở $-\infty$ bằng cách nhân liên hợp. Có được lấy một đường làm đáp án cho cả hai đầu không?

Xem lời giải. Nếu cần, xem lại đúng phần đang vướng, rồi trở lại nhiệm vụ này.

Lượt 1

Nhiệm vụ 28 — Nhớ lại tập xác định và giới hạn

Thời điểm: sau khoảng $2$–$3$ ngày. Mục tiêu: phân biệt tập xác định, giới hạn tại mốc và đường ngang ở hai đầu. Lỗi cần quan sát: gọi điểm loại là đường đứng; bỏ dấu/phía; chỉ xét một đầu. Sau bài, về Điểm dừng 05.

1. Xét riêng mốc $5$ đối với $u(x)=\frac{x^2-25}{x-5}$ và $v(x)=\frac{2}{x-5}$ với tập xác định của mỗi hàm gồm tất cả các giá trị làm công thức có nghĩa. Viết giới hạn tại mốc, kết luận về tiệm cận đứng và giữ đúng giá trị có/không xác định.

2. Tìm tiệm cận ngang của $w(x)=\frac{7x-4}{2x+1}$. Ghi hướng đã kiểm.

Xem lời giải.

Lượt 2

Nhiệm vụ 29 — Phần dư và giao điểm

Thời điểm: sau khoảng $7$ ngày. Mục tiêu: kiểm đường đứng, đường xiên và lập luận về giao điểm. Lỗi cần quan sát: chia sai, thiếu hằng số; không kiểm tra giới hạn của hiệu; coi giao điểm là mâu thuẫn. Sau bài, về Điểm dừng 06.

1. Tìm tiệm cận đứng, xiên của $f(x)=\frac{x^2-3x+8}{x-2}$; viết bước kiểm phần dư.

2. Cho $g(x)=1+\frac{x-2}{x^2+9}$. Xác định tiệm cận ngang và giao điểm với đường ấy. Dùng kết quả để trả lời: cắt một tiệm cận có trái định nghĩa không?

Xem lời giải.

Lượt 3

Nhiệm vụ 30 — Chọn điều cần kiểm

Thời điểm: sau khoảng $3$–$4$ tuần. Nội dung tự kiểm tra: tập xác định, hướng giới hạn, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên và cách giải thích mô hình theo các ý dưới. Chú ý những lỗi: đoán tiệm cận từ mẫu số; bỏ sót một hướng khi xét giới hạn ở vô cực; bỏ điều kiện của biến hoặc đơn vị. Sau bài, về Điểm dừng 07.

1. Với $u(x)=\frac{x^2-36}{x-6}$ với tập xác định gồm tất cả các giá trị làm công thức có nghĩa, xét nhận định $x=6$ là tiệm cận đứng.

2. Một đồ thị có giới hạn $3$ ở $+\infty$ và $-5$ ở $-\infty$. Viết các đường ngang, gắn với đúng đầu và phác vị trí của chúng trên hệ trục. Phần phác chỉ cần đường thẳng và nhãn, chưa cần dựng cả đồ thị.

3. Tìm tiệm cận xiên của $v(x)=\frac{3x^2+x+5}{x+1}$ bằng cách tách phần dư.

4. Trong mô hình giả định $B(t)=4+\frac{15}{t+3}$ ($\mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}$), $t\ge 0$ giờ, nêu mức tiến tới, việc đạt mức ấy và vai trò của mốc $-3$.

Xem lời giải.

Sau Luyện tập

Nhiệm vụ 35 — Giá trị tại mốc và hành vi lân cận

Dùng khi: rút gọn làm mất điểm bị loại (ý a), hoặc dùng giá trị tại mốc để bác tiệm cận đứng (ý b).

1. Với $u(x)=\frac{x^2-49}{x-7}$, ghi tập xác định, tính giới hạn tại $7$ và kiểm $x=7$ có là tiệm cận đứng không. Có thể gán $u(7)=14$ sau rút gọn không?

2. Hàm $v$ xác định trên $\mathbb R$, có $v(-1)=4$ và $\lim_{x\to-1^-}v(x)=-\infty$. Một bạn nói: “Điểm $(-1;4)$ thuộc đồ thị, nên $x=-1$ không thể là tiệm cận đứng.” Hãy giữ phần đúng, chỉ bước sai và viết lại kết luận có căn cứ. Dữ kiện có quyết định giới hạn phải tại $-1$ không?

Tiêu chí xác nhận: ý a giữ tập xác định và phân biệt giới hạn hữu hạn với giá trị tại điểm bị loại; ý b giữ điểm trên đồ thị, dùng giới hạn trái vô cực và không suy thêm về phía phải. Mỗi ý chỉ xác nhận tình huống mà ý ấy kiểm.

Sau đối chiếu: nếu ý a còn sai, xem Giới hạn và giá trị hoặc Biến đổi phân thức tùy nguyên nhân; nếu ý b còn sai, xem Tiệm cận đứng hoặc Giới hạn một phía. Sau đó, dùng hướng dẫn chung của phần Sửa lỗi để ghi kết quả và quay về bài đang làm. Có thể quay lại Điểm dừng 02, Điểm dừng 03 hoặc câu Bài học đang làm trước khi mở hỗ trợ.

Xem lời giải.

Nhiệm vụ 36 — Dấu ở hai phía

Dùng khi: nhầm dấu hoặc phía.

Tính hai giới hạn một phía của $v(x)=-\frac{4}{x-6}$ tại $6$. Nêu tiệm cận đứng và giải thích dấu.

Tiêu chí xác nhận: giải thích dấu tử/mẫu ở từng phía và dùng đúng định nghĩa đường đứng.

Xem lại khi cần: Nếu còn sai, xem lại phần liên quan. Quay lại: Điểm dừng 02, Điểm dừng 03 hoặc câu Bài học đã gọi.

Xem lời giải.

Nhiệm vụ 37 — Hai đầu và một giao điểm

Dùng khi: bỏ một đầu hoặc cho rằng đồ thị không thể cắt tiệm cận.

1. Biết giới hạn của $f$ bằng $-6$ ở $+\infty$ và $4$ ở $-\infty$. Ghi hai tiệm cận ngang theo hướng.

2. Với $g(x)=2+\frac{x+1}{x^2+2}$, chứng minh một tiệm cận ngang và tìm giao điểm của đồ thị với nó.

Tiêu chí xác nhận: ý a ghi đường theo từng đầu; ý b có giới hạn, giao điểm và lí do không mâu thuẫn.

Xem lại khi cần: Nếu còn sai, xem lại phần liên quan. Quay lại: Điểm dừng 02, Điểm dừng 03 hoặc câu Bài học đã gọi.

Xem lời giải.

Nhiệm vụ 38 — Giữ hằng số và giữ điều kiện của mô hình

Dùng khi: thiếu hệ số tự do hoặc bỏ điều kiện của mô hình.

1. Tìm tiệm cận xiên của $f(x)=\frac{x^2+4x+9}{x+1}$, kiểm bằng giới hạn hiệu.

2. Với mô hình giả định $a(t)=8+\frac{10}{t+5}$, trong đó $t\ge0$ tính bằng giờ và $a(t)$ tính bằng độ C, hãy tính giới hạn khi $t\to+\infty$ và giải thích ý nghĩa. Có thời điểm nào trong mô hình để $a(t)=8$ không? Đường $t=-5$ có phải là tiệm cận đứng của đồ thị trong mô hình này không? Vì sao?

Tiêu chí xác nhận: ý a kiểm phép chia và giới hạn hiệu; ý b giữ điều kiện của biến, đơn vị và xét sự đạt được.

Xem lại khi cần: Nếu sai ý a, xem Biến đổi phân thức để kiểm phép chia và Tiệm cận xiên để kiểm tra giới hạn của hiệu; nếu sai ý b, xem Tập đang xét và bối cảnh. Quay lại: Điểm dừng 02, Điểm dừng 03 hoặc câu Bài học đã gọi.

Xem lời giải.

Nhiệm vụ 39 — Đường đứng và đường xiên từ hai nhánh

Dùng khi: đọc nhầm nhánh, hướng đường xiên hoặc dùng điểm hở để bác đường đứng.

Hàm $f$ xác định trên $\mathbb R\setminus\{-2\}$, liên tục trên từng khoảng của tập xác định. Hình đi kèm dữ kiện chính xác:

$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=3,\qquad\lim_{x\to-2^-}f(x)=-\infty,$$

$$\lim_{x\to-2^+}f(x)=1,\qquad\lim_{x\to+\infty}[f(x)-(-x-2)]=0.$$

1. Viết các tiệm cận suy ra từ dữ kiện; chỉ đúng nhánh và hướng trên hình. Ở đầu phải, nhánh tiến gần đường xiên đi lên hay đi xuống? Nêu giới hạn hiệu làm căn cứ.

2. Một bạn dùng điểm hở $(-2;1)$ để bác tiệm cận đứng tại mốc. Chỉ ra bước sai; giới hạn phải hữu hạn có quyết định giới hạn trái không?

Tiêu chí xác nhận: chỉ đúng đường ngang ở đầu trái, đường đứng từ phía trái và đường xiên đi xuống ở đầu phải; giữ giới hạn từng phía, kiểm giới hạn hiệu và không gán giá trị ở điểm hở. Nếu chỉ đọc đúng ngang/đứng, chưa xác nhận phần đọc hình xiên.

Xem lại khi cần: Nếu nhầm nhánh hoặc phía tạo đường đứng, xem Tiệm cận đứng và Giới hạn một phía; nếu nhầm đường xiên, xem Tiệm cận xiên. Quay lại: Điểm dừng 02, Điểm dừng 03 hoặc câu Bài học đã gọi.

Xem lời giải.

Sau Kiểm tra

Nhiệm vụ 40 — Phân biệt hữu hạn và vô cực

Dùng khi: lẫn điểm bị loại, giới hạn hữu hạn và vô cực.

1. Xét riêng mốc $8$ cho $p(x)=\frac{x^2-64}{x-8}$ với tập xác định gồm tất cả các giá trị làm công thức có nghĩa; kết luận về giá trị tại điểm và đường đứng.

2. Tính hai giới hạn của $q(x)=-\frac{3}{(x+2)^2}$ tại $-2$, rồi kết luận đường đứng.

Tiêu chí xác nhận: xử lí riêng từng hàm; ý a giữ tập xác định, ý b giải thích dấu mẫu bình phương.

Xem lại khi cần: Nếu sai ý a, xem Giới hạn và giá trị; nếu sai ý b, xem Giới hạn một phía và Tiệm cận đứng. Quay lại: Điểm dừng 04.

Xem lời giải.

Nhiệm vụ 41 — Không nhầm giới hạn với giao điểm

Dùng khi: bỏ một đầu hoặc nhầm giao điểm với giới hạn ở xa.

1. Biết giới hạn của $f$ bằng $6$ ở $+\infty$ và $-7$ ở $-\infty$. Ghi các đường ngang.

2. Với $g(x)=-3+\frac{x-4}{x^2+5}$, kiểm $y=-3$ là tiệm cận ngang và tìm giao điểm của đồ thị với nó; giải thích vì sao hai kết quả cùng đúng.

Tiêu chí xác nhận: xét đủ hai đầu ở ý a; có giới hạn và giao điểm hợp lệ ở ý b.

Xem lại khi cần: Nếu còn sai, xem lại phần liên quan. Quay lại: Điểm dừng 04.

Xem lời giải.

Nhiệm vụ 42 — Xác nhận đường xiên và ý nghĩa mô hình

Dùng khi: chọn sai phần tuyến tính hoặc ngoại suy vượt tập đang xét.

1. Tìm tiệm cận xiên của $f(x)=\frac{2x^2-3x+6}{x-1}$; kiểm bằng giới hạn của hiệu.

2. Một mô hình giả định $b(t)=7+\frac{14}{t+6}$, với $b$ tính bằng $\mathrm{mg}\,\mathrm L^{-1}$, chỉ được cho trong $30$ phút đầu: $0\le t\le30$. Một bạn kết luận “đồ thị mô hình có tiệm cận ngang $b=7$ khi $t\to+\infty$”. Kết luận ấy có theo được từ điều kiện chỉ xét $0\le t\le30$ không? Nếu bổ sung giả thiết dùng cùng công thức cho mọi $t\ge0$, hãy nêu mức tiến tới và kiểm việc đạt mức ấy trong mô hình mở rộng.

Tiêu chí xác nhận: ý a kiểm tra giới hạn của hiệu; ý b phân biệt đoạn đang xét với giả thiết mở rộng được bổ sung.

Xem lại khi cần: Nếu sai ý a, xem Biến đổi phân thức và Tiệm cận xiên; nếu sai ý b, xem Tập đang xét và bối cảnh. Quay lại: Điểm dừng 04.

Xem lời giải.

Nhiệm vụ 43 — Điểm hở và nhánh bên kia

Dùng khi: nhầm nhánh, hướng đường xiên hoặc vai trò điểm hở.

Hình sau thuộc một hàm xác định trên $\mathbb R\setminus\{3\}$, liên tục trên từng khoảng của tập xác định. Các dữ kiện chính xác đi kèm là

$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=2,\qquad\lim_{x\to3^-}f(x)=-1,\qquad\lim_{x\to3^+}f(x)=+\infty,$$

$$\lim_{x\to+\infty}[f(x)-(-x+4)]=0.$$

1. Viết các tiệm cận suy ra từ dữ kiện. Trên hình, chỉ nhánh và hướng tương ứng với từng đường; với đầu phải, chỉ rõ nhánh đang tiến gần một đường xiên đi lên hay đi xuống.

2. Giải thích điểm hở trên nhánh trái nói gì về giới hạn trái và giá trị tại mốc. Thông tin ấy có bác được tiệm cận đứng từ phía phải không?

3. Kiểm nhận định “Có điểm hở nên không thể có tiệm cận đứng ở cùng hoành độ”.

Tiêu chí xác nhận: nối đúng mỗi giới hạn với phần hình tương ứng, giải thích vì sao một phía đủ.

Xem lại khi cần: Nếu còn sai, xem lại phần liên quan. Quay lại: Điểm dừng 04.

Xem lời giải.

Sau Ôn lại

Nhiệm vụ 44 — Ôn lại tập xác định, phía và hai đầu

Dùng khi: tái diễn lỗi tập xác định, dấu hoặc bỏ đầu vô cực.

1. Xét mốc $9$ của $u(x)=\frac{x^2-81}{x-9}$: tập xác định, giới hạn, giá trị tại điểm và đường đứng.

2. Tính hai giới hạn của $v(x)=\frac{5}{x+4}$ tại $-4$, kết luận đường đứng.

3. Một hàm có giới hạn $8$ ở $+\infty$ và $-9$ ở $-\infty$. Ghi đường ngang theo hướng.

Tiêu chí xác nhận: đối chiếu từng ý; không lấy đúng một ý làm xác nhận các ý còn lại.

Xem lại khi cần: Nếu sai ý a, xem Giới hạn và giá trị; nếu sai ý b, xem Giới hạn một phía và Tiệm cận đứng; nếu sai ý c, xem Giới hạn ở vô cực và Tiệm cận ngang. Quay lại: Điểm dừng 05, Điểm dừng 06 hoặc Điểm dừng 07 đã gọi.

Xem lời giải.

Nhiệm vụ 45 — Ôn lại phần dư và cách diễn giải

Dùng khi: quên kiểm phần dư, giao điểm hoặc dấu phần dư trong mô hình.

1. Tìm tiệm cận xiên của $f(x)=\frac{3x^2-2x+7}{x-1}$, kiểm bằng giới hạn của hiệu.

2. Với $g(x)=4+\frac{x+2}{x^2+7}$, tìm tiệm cận ngang và giao điểm của đồ thị với đường ấy.

3. Trong mô hình giả định $c(t)=3-\frac{16}{t+7}$, với $c$ tính bằng $\mathrm{mg}\,\mathrm L^{-1}$ và $t\ge0$ tính bằng giờ, nêu mức tiến tới và việc đạt mức ấy. Có thể từ giới hạn bằng $3$ mà kết luận $c(t)>3$ không? Kiểm vai trò của mốc $-7$.

Tiêu chí xác nhận: phân biệt ba mục tiêu; diễn giải đúng việc tiến gần từ phía nào và việc đạt mức.

Xem lại khi cần: Nếu sai ý a, xem Biến đổi phân thức và Tiệm cận xiên; nếu sai ý b, xem Tiệm cận ngang, đặc biệt Ví dụ 04; nếu sai ý c, xem Tập đang xét và bối cảnh. Quay lại: Điểm dừng 05, Điểm dừng 06 hoặc Điểm dừng 07 đã gọi.

Xem lời giải.

Nhiệm vụ 46 — Điểm kín và hai nhánh khác nhau

Dùng khi: nhầm điểm kín với giới hạn hoặc áp một đầu cho cả hai đầu.

Hàm $g$ xác định trên $\mathbb R$, liên tục trên mỗi khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$, có $g(1)=2$. Dữ kiện chính xác kèm hình là

$$\lim_{x\to-\infty}[g(x)-(x-2)]=0,\qquad\lim_{x\to1^-}g(x)=-\infty,$$

$$\lim_{x\to1^+}g(x)=1,\qquad\lim_{x\to+\infty}g(x)=4.$$

1. Nêu các tiệm cận, chỉ nhánh và hướng tương ứng. Không áp kết quả của đầu trái cho đầu phải.

2. Phân biệt điểm kín $(1;2)$, điểm hở $(1;1)$ và giới hạn trái. Việc $g(1)$ được xác định có bác được tiệm cận đứng không?

3. Chỉ từ dữ kiện tiệm cận, có xác định duy nhất toàn bộ đồ thị không? Nêu giới hạn của kết luận.

Tiêu chí xác nhận: đọc đúng cả hai nhánh, tách giá trị tại mốc khỏi giới hạn và không suy duy nhất đồ thị.

Xem lại khi cần: Nếu còn sai, xem lại phần liên quan. Quay lại: Điểm dừng 05, Điểm dừng 06 hoặc Điểm dừng 07 đã gọi.

Xem lời giải.