Khảo sát đầu vào

Đáp án C. Căn bậc hai cần $x+2\geq0$, còn mẫu số cần $x-1\ne0$. Kết hợp: $x\geq-2$ và $x\ne1$, nên tập xác định là $[-2;1)\cup(1;+\infty)$.

Đối chiếu: Em đã viết cả hai điều kiện chưa? Điểm $-2$ được nhận vì căn bằng 0; điểm 1 bị loại vì mẫu bằng 0. Chọn đúng nhưng không nêu được hai điều kiện thì em còn cần ôn cách xác định tập xác định.

Nội dung cần ôn nếu còn vướng: Tập xác định; điều kiện của căn bậc hai và mẫu số.

Xem đề bài

$f^\prime(x)=3x^2-3$, nên $f^\prime(1)=0$. Vì $f(1)=-2$, tiếp điểm là $(1;-2)$. Tiếp tuyến có phương trình $y=f^\prime(1)(x-1)+f(1)=-2$.

Đối chiếu: Đạo hàm cho hệ số góc, còn giá trị hàm số cho tung độ tiếp điểm. Em cần có đủ tiếp điểm và phương trình $y=-2$, không chỉ ghi hệ số góc bằng 0.

Nội dung cần ôn nếu còn vướng: Đạo hàm và phương trình tiếp tuyến.

Xem đề bài

a đúng; b sai; c đúng; d sai. Tại $-2$, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu. Tại 1, đạo hàm không đổi dấu nên không có cực trị. Trên $(-2;+\infty)$, đạo hàm dương trừ tại 1 nên hàm số đồng biến. Trên $(-\infty;-2)$ hàm số nghịch biến; do đó $f(-3)>f(-2)$.

Đối chiếu: Đạo hàm bằng 0 chưa đủ để kết luận có cực trị; cần kiểm tra dấu ở hai phía. Khi so sánh giá trị hàm số, em phải dùng đúng chiều biến thiên.

Nội dung cần ôn nếu còn vướng: Dấu đạo hàm, tính đơn điệu và cực trị.

Xem đề bài

Số trung bình là $\frac{4+5+5+6+30}{5}=10$ phút. Dữ liệu đã được sắp tăng dần, nên trung vị là số ở giữa: 5 phút. Chọn trung vị để mô tả thời gian chờ điển hình: bốn lần chỉ từ 4 đến 6 phút, còn lần 30 phút kéo số trung bình lên cao.

Đối chiếu: Em cần tính đúng cả hai số và giải thích lựa chọn bằng dữ liệu, không chỉ nói “trung vị tốt hơn”.

Nội dung cần ôn nếu còn vướng: Số trung bình, trung vị và ảnh hưởng của giá trị lớn bất thường.

Xem đề bài

Trung điểm ba nhóm lần lượt là 5, 15, 25 phút. Tổng số người là 10. Số trung bình ghép nhóm là $\frac{2\cdot5+5\cdot15+3\cdot25}{10}=16$ phút. Đây là giá trị tính bằng các trung điểm thay cho số liệu từng người; không thể khẳng định nó bằng số trung bình chính xác của dữ liệu gốc.

Đối chiếu: Em có nhân trung điểm với số người trong nhóm và chia cho tổng số người không? Phần giải thích cần nêu rằng bảng không cho các thời gian riêng lẻ.

Nội dung cần ôn nếu còn vướng: Trung điểm nhóm và số trung bình của mẫu ghép nhóm.

Xem đề bài

Dùng trung điểm 5, 15, 25. Mỗi nhóm có 10 người và đều có số trung bình 15 phút: nhóm A có tổng $2\cdot5+6\cdot15+2\cdot25=150$; nhóm B có tổng $4\cdot5+2\cdot15+4\cdot25=150$.

Phương sai nhóm A là $\frac{2(5-15)^2+6(15-15)^2+2(25-15)^2}{10}=40$ phút bình phương. Phương sai nhóm B là $\frac{4(5-15)^2+2(15-15)^2+4(25-15)^2}{10}=80$ phút bình phương. Nhận định của bạn là sai: trong hai mẫu ghép nhóm này, nhóm B phân tán hơn theo phương sai.

Đối chiếu: Em cần dùng đúng tần số và mẫu số 10; cùng trung bình không có nghĩa là cùng phương sai. Không suy rộng kết luận này cho mọi lần thực hiện công việc.

Nội dung cần ôn nếu còn vướng: Phương sai của mẫu ghép nhóm.

Xem đề bài

Hai vectơ cùng phương vì $\vec u=-\frac{2}{3}\vec v$. Thật vậy, nhân từng tọa độ của $\vec v$ với $-\frac{2}{3}$ cho $(0;2)$. Do hệ số âm và hai vectơ đều khác vectơ không, chúng ngược hướng. Không được viết $\frac{0}{0}$: phép chia này không xác định.

Đối chiếu: Kiểm tra bằng phép nhân với một số tránh được phép chia cho 0. Em cần nêu cả hệ số và hướng.

Nội dung cần ôn nếu còn vướng: Nhân vectơ với một số; cùng phương và cùng hướng.

Xem đề bài

Một vectơ pháp tuyến là $\vec n=(1;2;2)$. Khoảng cách cần tìm là $\frac{\lvert1+2\cdot2+2\cdot3-5\rvert}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{6}{3}=2$ m.

Đối chiếu: Vectơ pháp tuyến lấy từ các hệ số của ba tọa độ. Tử số phải có giá trị tuyệt đối; mẫu là độ dài vectơ pháp tuyến, không phải tổng các hệ số.

Nội dung cần ôn nếu còn vướng: Vectơ pháp tuyến và khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

Xem đề bài

Hình chiếu vuông góc của $C_1$ lên đáy là $C$; $A$ nằm trên đáy nên hình chiếu của $AC_1$ là $AC$. Góc cần tìm là $\widehat{C_1AC}$. Ta có $AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$ m và $CC_1=2$ m. Trong tam giác vuông $ACC_1$, $\tan\widehat{C_1AC}=\frac{2}{5}$, nên góc xấp xỉ $21{,}8^\circ$.

Đối chiếu: Em cần xác định hình chiếu trước khi tính góc. Khi dùng máy tính cho số đo theo độ, kiểm tra chế độ DEG.

Nội dung cần ôn nếu còn vướng: Hình chiếu và góc giữa đường thẳng với mặt phẳng.

Xem đề bài

a đúng; b sai; c đúng; d sai. Viết N là ngửa, S là sấp. Bốn kết quả đồng khả năng là NN, NS, SN, SS. Biến cố $A$ gồm NN, NS; $B$ gồm NN, SN. Vì giao gồm NN nên $P(A\cap B)=\frac14$, không bằng 0: hai biến cố không xung khắc. Ta có $P(A)=P(B)=\frac12$ và $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ nên chúng độc lập. Hợp gồm ba kết quả nên $P(A\cup B)=\frac34$.

Đối chiếu: “Độc lập” khác “xung khắc”. Liệt kê kết quả giúp em kiểm tra giao và hợp trước khi kết luận.

Nội dung cần ôn nếu còn vướng: Giao, hợp, biến cố độc lập và xung khắc.

Xem đề bài

Số cặp có thể chọn là $\frac{7\cdot6}{2}=21$. Số cặp khác màu là $4\cdot3=12$. Xác suất là $\frac{12}{21}=\frac47$.

Đối chiếu: Chọn đồng thời nên mỗi cặp không có thứ tự. Nếu em đếm có thứ tự, phải đếm nhất quán ở cả tử và mẫu.

Nội dung cần ôn nếu còn vướng: Đếm cặp không có thứ tự và xác suất cổ điển.

Xem đề bài

1. Trong 24 học sinh có tham gia, có 18 nữ: xác suất là $\frac{18}{24}=\frac34$.

2. Trong 30 học sinh nữ, có 18 người tham gia: xác suất là $\frac{18}{30}=\frac35$.

Đối chiếu: Mẫu số là số học sinh thỏa điều kiện đã biết. Câu a giới hạn trong nhóm tham gia; câu b giới hạn trong nhóm nữ. Đổi điều kiện làm đổi nhóm đang xét.

Nội dung cần ôn nếu còn vướng: Xác suất có điều kiện và đọc bảng hai chiều.

Xem đề bài

$a_{n+1}-a_n=20$, nên dãy thứ nhất là cấp số cộng, công sai 20. $\frac{b_{n+1}}{b_n}=1{,}2$, nên dãy thứ hai là cấp số nhân, công bội $1{,}2$. Dãy thứ hai tăng 20% sau mỗi bước vì số mới bằng $1{,}2$ lần số trước. Dãy thứ nhất tăng một lượng cố định 20, không phải một tỉ lệ cố định 20%.

Đối chiếu: Phân biệt “cộng thêm 20” với “tăng thêm 20% của giá trị trước”.

Nội dung cần ôn nếu còn vướng: Cấp số cộng, cấp số nhân và tăng theo tỉ lệ.

Xem đề bài

Điều kiện: $x-1>0$ và $x-3>0$, tức $x>3$. Khi đó, phương trình tương đương $\log_2((x-1)(x-3))=3$, rồi $(x-1)(x-3)=8$. Suy ra $x^2-4x-5=0$, có nghiệm 5 và $-1$. Chỉ 5 thỏa $x>3$. Kiểm tra: $\log_2 4+\log_2 2=2+1=3$. Vậy nghiệm là $x=5$.

Đối chiếu: Tích hai biểu thức dương không thay thế được điều kiện từng biểu thức trong lôgarit phải dương. Nghiệm $-1$ phải bị loại.

Nội dung cần ôn nếu còn vướng: Điều kiện và tính chất lôgarit; kiểm tra nghiệm.

Xem đề bài

Diện tích sau $n$ ngày là $S_n=100(1{,}2)^n$ cm², với $n$ nguyên không âm. Cần $(1{,}2)^n\geq2$. Ngày 3: $S_3=172{,}8<200$; ngày 4: $S_4=207{,}36\geq200$. Dãy tăng vì công bội lớn hơn 1, nên ngày nguyên nhỏ nhất là 4.

Đối chiếu: Phải kiểm tra cả ngày đạt ngưỡng và ngày liền trước. Bài chỉ xét cuối ngày nên một thời điểm không nguyên không phải đáp án.

Nội dung cần ôn nếu còn vướng: Mô hình cấp số nhân và ngưỡng tại thời điểm nguyên.

Xem đề bài

Đáp án A. $150^\circ$ tương ứng $150\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{6}$ radian. Góc ở góc phần tư II nên cos âm.

Đối chiếu: Em cần kiểm tra cả đổi đơn vị góc và dấu của cos, không chỉ một trong hai.

Nội dung cần ôn nếu còn vướng: Đổi độ sang radian và dấu trên đường tròn lượng giác.

Xem đề bài

Ta có $2x=\frac\pi3+2k\pi$ hoặc $2x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi$, với $k\in\mathbb Z$. Vì vậy $x=\frac\pi6+k\pi$ hoặc $x=\frac\pi3+k\pi$. Trong $[0;2\pi)$, các nghiệm là $\frac\pi6$, $\frac\pi3$, $\frac{7\pi}{6}$, $\frac{4\pi}{3}$.

Đối chiếu: Chia cả góc và phần $2k\pi$ cho 2. Giữ đủ hai họ rồi lọc nghiệm theo khoảng đã cho.

Nội dung cần ôn nếu còn vướng: Phương trình sin cơ bản và lọc nghiệm trong khoảng.

Xem đề bài

Chu kì dương nhỏ nhất là $T=\frac{2\pi}{\pi/6}=12$ giờ. Vì sin nhận các giá trị từ $-1$ đến 1, mực nước nhận các giá trị từ 1 đến 5 m. Đạt 5 m khi $\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)=1$, tức $\frac{\pi t}{6}=\frac\pi2+2k\pi$, hay $t=3+12k$. Với $t\geq0$, thời điểm đầu tiên là 3 giờ.

Đối chiếu: Phân biệt chu kì 12 giờ với thời điểm đạt cực đại đầu tiên 3 giờ. Khoảng giá trị phải tính cả mức nền 3 m và biên độ 2 m.

Nội dung cần ôn nếu còn vướng: Chu kì, khoảng giá trị và phương trình trong mô hình hàm sin.

Xem đề bài

Chọn $F_1$ và $F_2$. Đạo hàm của hai hàm này đều là $2x$. Trong khi đó $F_3^\prime(x)=4x$ và $F_4^\prime(x)=2x+1$, nên không bằng $f(x)=2x$ trên toàn bộ $\mathbb R$. Họ nguyên hàm của $2x$ là $x^2+C$.

Đối chiếu: Một nguyên hàm phải có đạo hàm bằng hàm đã cho. Các hằng số khác nhau không làm thay đổi đạo hàm.

Nội dung cần ôn nếu còn vướng: Định nghĩa và họ nguyên hàm.

Xem đề bài

Lấy nguyên hàm: $F(x)=x^3-2x+C$. Thay $x=1$: $1-2+C=4$, nên $C=5$. Vậy $F(x)=x^3-2x+5$ và $F(2)=8-4+5=9$.

Đối chiếu: Đừng bỏ hằng số trước khi dùng điều kiện $F(1)=4$. Có thể kiểm tra lại cả đạo hàm và giá trị tại 1.

Nội dung cần ôn nếu còn vướng: Nguyên hàm đa thức và xác định hằng số.

Xem đề bài

Độ dời là $\int_0^5(t-2)\,dt=\left[\frac{t^2}{2}-2t\right]_0^5=\frac52$ m.

Quãng đường là $\int_0^5\lvert t-2\rvert\,dt=\int_0^2(2-t)\,dt+\int_2^5(t-2)\,dt=2+\frac92=\frac{13}{2}$ m. Vận tốc âm trước giây thứ 2, dương sau đó: vật đổi chiều. Độ dời tính sự thay đổi vị trí có dấu; quãng đường cộng độ dài cả hai chặng.

Đối chiếu: Phải viết đúng hai tích phân trước khi tính. Lấy giá trị tuyệt đối của kết quả độ dời không cho tổng quãng đường.

Nội dung cần ôn nếu còn vướng: Tích phân vận tốc; độ dời và quãng đường.

Xem đề bài

Ba cạnh hàng rào có tổng $2x+y=20$. Cả hai kích thước phải dương, nên $y=20-2x>0$ và $0<x<10$. Diện tích là $A(x)=xy=x(20-2x)$, tính bằng m². Đề chưa yêu cầu tìm diện tích lớn nhất.

Đối chiếu: Có hai cạnh dài $x$ nhưng chỉ một cạnh dài $y$ cần rào. Không nhận $x=0$ hoặc $x=10$ vì khi đó hình chữ nhật bị suy biến.

Nội dung cần ôn nếu còn vướng: Chọn biến, ràng buộc và tập giá trị hợp lệ của biến.

Xem đề bài

Với $d\geq1$, chi phí tính bằng nghìn đồng là $C(d)=18+11(d-1)$. Ngân sách cho $18+11(d-1)\leq73$, suy ra $d\leq6$. Quãng đường lớn nhất là 6 km. Kiểm tra: kilômét đầu 18 nghìn, 5 km còn lại là 55 nghìn, tổng 73 nghìn. Vì cước tăng theo quãng đường, đi xa hơn sẽ vượt ngân sách.

Đối chiếu: Phần tính 11 nghìn đồng/km chỉ là $d-1$ km; phải giữ đúng đơn vị nghìn đồng.

Nội dung cần ôn nếu còn vướng: Lập hàm chi phí và bất phương trình theo ngân sách.

Xem đề bài

Gọi $a,b$ là số bộ A, B. Các ràng buộc là $2a+b\leq8$, $a+2b\leq8$, với $a,b$ nguyên không âm. Tổng lãi là $L=30a+40b$ nghìn đồng.

Từ $a+2b\leq8$, chỉ cần xét $b=0,1,2,3,4$. Với mỗi $b$, vì lãi tăng khi tăng $a$, chọn $a$ lớn nhất còn thỏa cả hai ràng buộc:

Vậy làm 2 bộ A và 3 bộ B, lãi lớn nhất 180 nghìn đồng. Phương án dùng 7 đơn vị vật liệu và 8 giờ. Bảng đã xét mọi giá trị có thể của $b$; với từng giá trị, phương án khác có ít bộ A hơn nên không thể cho lãi lớn hơn.

Đối chiếu: Phải kiểm tra đồng thời vật liệu, thời gian và số nguyên. Chỉ thử vài phương án tốt chưa chứng minh được không có phương án tốt hơn.

Nội dung cần ôn nếu còn vướng: Ràng buộc hai biến và tìm tối ưu trên các phương án nguyên.

Xem đề bài