Ứng dụng đạo hàm trong thực tiễn

Tối đa $P(x)=R(x)-C(x)$. Với $x>0$, $G(x)=\frac{C(x)}{x}$ nên $C(x)=xG(x)$. $R,C,P$ có đơn vị nghìn đồng, $G$ nghìn đồng/sản phẩm nếu $x$ là số sản phẩm. Đúng công thức nhưng không phân biệt tổng và trung bình thì chưa đủ giải thích.

Cần $x>0$ và $24-2x>0$, do đó $0<x<12$. Với $x=0$ không có chiều cao; với $x=12$ đáy có cạnh bằng $0$. Cả hai đều không tạo hộp có ba kích thước dương dù đa thức vẫn tính được.

Cần biết $x$ được phép nhận giá trị nào, có phải nguyên không, $F$ biểu thị gì, đang tìm lớn nhất hay nhỏ nhất. Phải kiểm $5$ khả thi và chứng minh tính tốt nhất bằng biến thiên hoặc xét đủ ứng viên phù hợp, kể cả biên. Phương trình đạo hàm chỉ cho ứng viên, không tự chứng minh tối ưu.

$s(0)=0$, $s(2)=8$, vận tốc trung bình $\frac{8-0}{2-0}=4$ m/s. $v(t)=2t+2$, $v(2)=6$ m/s; $a(t)=2$, nên gia tốc $2$ m/s$^2$. $s(2)=8$ m là tọa độ, khác cả nghĩa và đơn vị với vận tốc.

$G(x)=\frac{C(x)}{x}=2x+30+\frac{100}{x}$ triệu đồng/nghìn sản phẩm, $x>0$. Sản xuất $2\,000$ sản phẩm tương ứng $x=2$. $C(2)=168$ triệu đồng, $G(2)=84$ triệu đồng/nghìn sản phẩm, tức $84\,000$ đồng/sản phẩm. Thay $x=2\,000$ sẽ mô tả $2\,000\,000$ sản phẩm, sai quy mô.

$V(x)=x(24-2x)(18-2x)$ cm$^3$. Điều kiện $x>0$, $24-2x>0$, $18-2x>0$ cho $0<x<9$. Cạnh ngắn tạo giới hạn chặt hơn; chỉ xét cạnh dài sẽ nhận những phương án không có đáy dương.

$100+5k\le130$ cho $k\le6$; kết hợp điều kiện ban đầu, $k\in\{0;1;\ldots;6\}$. $P'(k)=100-10k>0$ trên $[0;6]$, nên chọn $k=6$. Giá $44$ nghìn đồng/sản phẩm, số lượng $130$, lợi nhuận $P(6)=4020$ nghìn đồng/ngày. $k=10$ không khả thi.

$B'(x)=-\frac{18}{x^2}<0$, $B(x)>3$ và $\lim_{x\to+\infty}B(x)=3$. Không có giá trị nhỏ nhất trên $[2;+\infty)$. Trên $[2;9]$, hàm giảm nên nhỏ nhất $B(9)=5$, đạt tại $x=9$. Không gọi mức giới hạn $3$ là giá trị đạt được.

Tập là $\{2;4;6\}$. Ta có $F(2)=\frac{101}{2}$, $F(4)=\frac{221}{4}$, $F(6)=\frac{421}{6}$, nên chọn $2$ lô. Cũng có thể dùng hàm tăng với $x>\sqrt{\frac{61}{10}}$ để loại $6$ sau khi so $2,4$. $3$ bị loại bởi điều kiện chẵn, không phải do tính sai giá trị.

Cạnh dọc tường dài $30-2\cdot7{,}5=15$ m. Chọn hai cạnh vuông góc tường dài $7{,}5$ m và cạnh còn lại dài $15$ m, diện tích $112{,}5$ m$^2$; tổng rào $2\cdot7{,}5+15=30$ m. Nếu rào bốn cạnh, quan hệ thành $2x+2y=30$, nên không dùng ngay kết luận của mô hình ba cạnh.

Gọi $x$ m là cạnh vuông góc tường, $y$ m là cạnh đối diện tường. $2x+y=48$, $x,y>0$, nên $y=48-2x$, $0<x<24$. Diện tích $A(x)=48x-2x^2$, $A'(x)=48-4x$, dương khi $x<12$, âm khi $x>12$. Vì vậy chọn $x=12$, $y=24$, diện tích lớn nhất $288$ m$^2$. Kiểm $2\cdot12+24=48$. Kết quả dùng giả thiết tường đủ dài, không hao chiều dài ở góc và không cần thêm cổng/vách.

Chọn $k\in\{0;1;\ldots;8\}$ lần giảm; giá $40-2k$, lượng $80+10k$. Lợi nhuận theo nghìn đồng/ngày:

$$P(k)=(28-2k)(80+10k)-240=2000+120k-20k^2.$$

Hàm biến thực có $P'(k)=120-40k$, tăng đến $3$ rồi giảm. $3$ nguyên và khả thi, nên giá $34$ nghìn đồng/sản phẩm, lượng $110$ sản phẩm/ngày, lợi nhuận $2180$ nghìn đồng/ngày. Phải trừ cả chi phí biến đổi và cố định; kết luận có điều kiện theo mô hình nhu cầu.

Hàm cần tối ưu là $G(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{1}{2}x+8+\frac{200}{x}$ triệu đồng/tấn, $x\in[10;40]$. Đạo hàm $G'(x)=\frac{1}{2}-\frac{200}{x^2}$ âm khi $10\le x<20$, bằng $0$ tại $20$, dương sau đó. Chọn $20$ tấn/ngày; nhỏ nhất $G(20)=28$ triệu đồng/tấn. Tổng chi phí tăng với $x$ trên đoạn đang xét nên tối thiểu hóa nó sẽ cho mục tiêu khác, không trả lời đề.

$s(1)=2$, $s(2)=4$, vận tốc trung bình là $2$ m/s. $v(t)=3t^2-6t+4=3(t-1)^2+1$, nên $v(2)=4$ m/s; $a(t)=6t-6$, $a(2)=6$ m/s$^2$. Vì $v(t)>0$ trên $[0;3]$, tọa độ tăng suốt khoảng xét. Vận tốc dương không đồng nghĩa gia tốc luôn dương: $a(t)<0$ khi $0\le t<1$.

$F(n)=8n+\frac{50}{n}$. Hàm biến thực có $F'(x)=8-\frac{50}{x^2}$, giảm đến $x=\frac{5}{2}$ rồi tăng. Trong tập các giá trị nguyên liên tiếp, chỉ cần so $2,3$: $F(2)=41$, $F(3)=\frac{122}{3}<41$. Chọn $3$ lô; chi phí trung bình nhỏ nhất $\frac{122}{3}$ triệu đồng/lô. Các số nguyên nhỏ hơn $2$ hoặc lớn hơn $3$ bị loại bằng biến thiên, không chỉ vì xa nghiệm.

$A'(x)=-\frac{24}{x^2}<0$, $A(x)>4$ và $\lim_{x\to+\infty}A(x)=4$. Không đạt $4$ ở sản lượng hữu hạn nên không có giá trị nhỏ nhất trên $[2;+\infty)$. Trên $[2;8]$, chọn $x=8$, nhỏ nhất $A(8)=7$ triệu đồng/tấn. Không khuyến nghị tăng vô hạn ngoài khả năng nhà máy; kết luận chỉ đúng khi công thức và giới hạn công suất còn phù hợp.

Chiều cao $x$, cạnh đáy $32-2x$ và $20-2x$, điều kiện $0<x<10$. Thể tích

$$V(x)=x(32-2x)(20-2x)=640x-104x^2+4x^3.$$

$$V'(x)=640-208x+12x^2=4(3x-40)(x-4).$$

Trên $(0;4)$ hai thừa số sau cùng đều âm nên đạo hàm dương; trên $(4;10)$ đạo hàm âm. Chọn $x=4$ cm, đáy $24$ cm và $12$ cm, cao $4$ cm, thể tích lớn nhất $1152$ cm$^3$. Nghiệm $\frac{40}{3}$ của đạo hàm không thuộc tập giá trị được phép. Cần đủ lập mô hình, tập giá trị được phép, dấu và kích thước; chỉ ghi $4$ chưa đủ.

$C(20)=220$ nghìn đồng; chi phí trung bình $\frac{220}{20}=11$ nghìn đồng/sản phẩm. $C'(x)=\frac{x}{5}+5$, nên chi phí biên $C'(20)=9$ nghìn đồng/sản phẩm.

$$C(21)-C(20)=\frac{1}{10}(21^2-20^2)+5=9{,}1$$

nghìn đồng. $9$ là xấp xỉ cho chi phí thêm một sản phẩm, không bằng mức tăng chính xác $9{,}1$. Câu sửa: “$C'(20)$ là tốc độ thay đổi tức thời của tổng chi phí theo sản lượng tại mức $20$ sản phẩm trong mô hình liên tục; tổng chi phí tại mức ấy là $C(20)$.”

Gọi $k$ là số lần giảm: $p=60-2k$, $q=60+5k$. Điều kiện công suất $60+5k\le75$ cho $k\le3$, nên tập giá trị thực hiện được là $\{0;1;2;3\}$. Lợi nhuận:

$$P(k)=(40-2k)(60+5k)-300=2100+80k-10k^2.$$

$P'(k)=80-20k>0$ trên $[0;3]$, chọn $k=3$. Giá $54$ nghìn đồng/sản phẩm, lượng $75$, lợi nhuận $2250$ nghìn đồng/ngày. Không có giới hạn công suất thì ứng viên $k=4$ cho $80$ sản phẩm, nhưng phương án ấy không được phép trong bài này. Quan hệ giá–lượng vẫn là giả thiết.

1. Hàm biến thực $F(x)=6x+\frac{40}{x}$ có đạo hàm $6-\frac{40}{x^2}$, giảm đến $\sqrt{\frac{20}{3}}\approx2{,}58$ rồi tăng. So $F(2)=32$ và $F(3)=\frac{94}{3}<32$. Chọn $3$ lô, nhỏ nhất $\frac{94}{3}$ triệu đồng/lô. Biến thiên chứng minh xét đủ.
2. $B'(x)=-\frac{12}{x^2}<0$, $B(x)>3$, $\lim_{x\to+\infty}B(x)=3$. Không có giá trị nhỏ nhất trên tập giá trị đã cho. Mô hình chưa cho giới hạn công suất và chưa bảo đảm công thức đúng với sản lượng tùy lớn; không suy một nhà máy thật có thể tăng vô hạn hoặc đạt đúng mức $3$.

Chọn cạnh đáy $x>0$ dm, chiều cao $h>0$ dm. $x^2h=32$, nên $h=\frac{32}{x^2}$. Diện tích vật liệu

$$S(x)=x^2+4xh=x^2+\frac{128}{x},\qquad x>0.$$

$$S'(x)=2x-\frac{128}{x^2}=\frac{2(x^3-64)}{x^2}.$$

Dấu âm trên $(0;4)$, dương trên $(4;+\infty)$. Bể có cạnh đáy $4$ dm, cao $2$ dm, diện tích nhỏ nhất $48$ dm$^2$; thể tích kiểm lại $4^2\cdot2=32$ dm$^3$. Nếu đáy đắt hơn thành, tối thiểu diện tích không còn đồng nghĩa tối thiểu chi phí; phải đưa đơn giá khác nhau vào hàm mục tiêu.

Giá $100+5k$, số chỗ thuê $12-k$. Lợi nhuận theo nghìn đồng/ngày:

$$P(k)=(80+5k)(12-k)-100=860-20k-5k^2.$$

Với biến thực trên $[0;11]$, $P'(k)=-20-10k<0$. Hàm giảm nên tối ưu tại biên $k=0$, cũng là số nguyên được phép. Giá $100$ nghìn đồng/chỗ/ngày, thuê hết $12$ chỗ, lợi nhuận $860$ nghìn đồng/ngày. Nghiệm $k=-2$ của phương trình đạo hàm bằng không nằm ngoài tập giá trị được phép và không cần để đạt tối ưu.

$h(2)=20$, $h(4)=32$; trung bình trên $[2;4]$ là $\frac{32-20}{4-2}=6$ m/s. $v(t)=12-2t$, nên $v(4)=4$ m/s; gia tốc $-2$ m/s$^2$. Độ cao tăng đến $t=6$ rồi giảm, lớn nhất $h(6)=36$ m. Vận tốc theo chiều lên lớn nhất tại $t=0$, bằng $12$ m/s, trong khi $v(6)=0$. Cao nhất không phải đi lên nhanh nhất.

1. Chọn $x$ là cạnh vuông góc tường. $y=36-2x$, $0<x<18$, $A(x)=36x-2x^2$. $A'(x)=36-4x$ đổi từ dương sang âm tại $9$. Chọn $x=9$ m, $y=18$ m, diện tích $162$ m$^2$. Giả thiết tường đủ dài và chỉ ba cạnh cần rào; kiểm $2\cdot9+18=36$.
2. $C(10)=85$ nghìn đồng; trung bình $8{,}5$ nghìn đồng/sản phẩm. $C'(x)=\frac{x}{10}+2$, nên chi phí biên $3$ nghìn đồng/sản phẩm. Mức tăng chính xác $C(11)-C(10)=\frac{21}{20}+2=3{,}05$ nghìn đồng. Phân biệt tổng, trung bình, tốc độ và mức tăng; không dùng dấu bằng giữa $3$ và $3{,}05$.

1. $F'(x)=5-\frac{31}{x^2}$, giảm đến $\sqrt{\frac{31}{5}}\approx2{,}49$ rồi tăng. So $F(2)=\frac{51}{2}$ và $F(3)=\frac{76}{3}$; hiệu bằng $\frac{1}{6}>0$. Chọn $3$ lô; làm tròn về $2$ sẽ sai. Cần nêu lí do hai ứng viên đã đủ.
2. $A'(x)=-\frac{8}{x^2}<0$, $A(x)>7$ và $\lim_{x\to+\infty}A(x)=7$, nên không có nhỏ nhất trên $[2;+\infty)$. Trên $[2;8]$, nhỏ nhất $A(8)=8$.

Chọn $x$ là chiều vuông góc tường và $y$ là chiều dọc tường. Có ba đoạn chiều $x$ cần rào, nên $3x+y=60$, $0<x<20$. Diện tích $A(x)=x(60-3x)$, đạo hàm $60-6x$, dương trước $10$, âm sau $10$. Chọn $x=10$ m, $y=30$ m, diện tích $300$ m$^2$; kiểm $3\cdot10+30=60$. Quan hệ $2x+y=60$ bỏ quên vách ngăn. Vị trí vách ở giữa giúp chia đều hai ô nhưng không đổi tổng diện tích hoặc chiều dài vách.

1. $C'(x)=\frac{x}{2}+6$, $C'(8)=10$ nghìn đồng/sản phẩm. Mức tăng chính xác $C(9)-C(8)=\frac{17}{4}+6=10{,}25$ nghìn đồng. Tổng $C(8)=104$ nghìn đồng; trung bình $13$ nghìn đồng/sản phẩm. Đạo hàm là tốc độ của mô hình, dùng xấp xỉ cho mức tăng thêm một sản phẩm.
2. $F'(x)=3-\frac{19}{x^2}$, giảm đến $\sqrt{\frac{19}{3}}\approx2{,}52$ rồi tăng. $F(2)=\frac{31}{2}$, $F(3)=\frac{46}{3}$, hiệu $\frac{1}{6}>0$. Chọn $3$ lô, nhỏ nhất $\frac{46}{3}$ triệu đồng/lô. Biến thiên loại các số nguyên khác.

1. Chọn số lần giảm $k$: giá $30-k$, lượng $40+4k$. Công suất cho $k\le4$, nên $k\in\{0;1;2;3;4\}$. Lợi nhuận $P(k)=(20-k)(40+4k)-80=720+40k-4k^2$. Đạo hàm $40-8k>0$ trên $[0;4]$, chọn $k=4$. Giá $26$ nghìn đồng/sản phẩm, lượng $56$, lợi nhuận $816$ nghìn đồng/ngày. Nếu quan hệ nhu cầu thực khác giả thiết, cần lập lại lượng theo giá, hàm lợi nhuận và kiểm phương án; kết quả cũ không tự chứng minh tối ưu thực tế.
2. $A(x)>2$, $A'(x)=-\frac{10}{x^2}<0$, $\lim_{x\to+\infty}A(x)=2$. Không có nhỏ nhất trên tập giá trị đã cho. Muốn khuyến nghị sản lượng thực cần giới hạn khả thi và phạm vi công thức còn phù hợp.

1. $s(1)=3$, $s(2)=10$, trung bình $7$ m/s. $v(t)=4t+1$, $v(2)=9$ m/s, gia tốc $4$ m/s$^2$. Từng kết quả trả lời câu hỏi khác nhau; tọa độ $10$ m không phải vận tốc.
2. $F'(x)=1-\frac{13}{x^2}$, giảm đến $\sqrt{13}\approx3{,}61$ rồi tăng. So $F(3)=\frac{22}{3}$ và $F(4)=\frac{29}{4}$, hiệu $\frac{1}{12}>0$. Chọn $4$ lô, nhỏ nhất $\frac{29}{4}$ triệu đồng/lô.