Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Điểm dừng 01 — Sau khi làm xong

Nếu thao tác đã vững, vào mục đầu Bài học hoặc chọn hoạt động phù hợp; không phải đi qua mọi thẻ nền.

1.1. Phương pháp — Sơ đồ khảo sát

Một bản khảo sát gồm ba việc chính:

• Tìm tập xác định. Ghi rõ những điểm bị loại; những khoảng bị tách không được nối qua nhau.
• Khảo sát sự biến thiên. Tính đạo hàm. Trong tập xác định, tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng $0$ hoặc không tồn tại; xét dấu đạo hàm trên từng khoảng để kết luận chiều biến thiên và cực trị. Tiếp đó, tính các giới hạn cần thiết, xác định tiệm cận nếu có và lập bảng biến thiên.
• Vẽ đồ thị dựa trên bảng biến thiên. Bổ sung giao điểm với các trục hoặc điểm đặc trưng dễ tính; lưu ý tính đối xứng.

Nguồn đối chiếu: Sách giáo khoa Toán 12, tập một, bộ Kết nối tri thức với cuộc sống, Bài 4, trang 26–27.

Trong bài này, các hàm số bậc ba và hai dạng hàm phân thức đang xét đều có đạo hàm tại mọi điểm thuộc tập xác định. Với hàm phân thức, giá trị làm mẫu số bằng $0$ không thuộc tập xác định: hàm số không có giá trị tại đó, nên đó không thể là điểm cực trị của hàm số. Ta vẫn xét giới hạn khi biến tiến gần giá trị bị loại để tìm tiệm cận đứng, nếu có.

Trong bảng biến thiên, cần phân biệt giá trị hàm số tại một điểm với giới hạn khi biến tiến gần điểm đó. Nếu một giá trị không thuộc tập xác định, không ghi giới hạn như thể đó là giá trị hàm số tại điểm bị loại. Khi tập xác định gồm hai khoảng rời nhau, lập bảng và vẽ riêng từng nhánh. Hình chỉ thể hiện một phần đồ thị; kết luận về giới hạn phải dựa vào phép tính hoặc dữ kiện đã cho.

1.2. Ví dụ 01 — Cùng dấu đạo hàm, khác vị trí

Với hai hàm ở Gợi mở, $u^\prime(x)=v^\prime(x)=3x^2+1>0$ trên $\mathbb R$. Cả hai đồng biến trên $\mathbb R$, không có cực trị; cùng tiến tới $-\infty$ khi $x\to-\infty$ và $+\infty$ khi $x\to+\infty$.

Nhưng $v(x)-u(x)=2$ với mọi $x$: đồ thị thứ hai cao hơn đồ thị thứ nhất một khoảng theo phương thẳng đứng bằng $2$ tại cùng hoành độ. Chỉ một bảng ghi dấu và chiều đi chưa quyết định được tung độ từng điểm.

Tự kiểm một hình vừa vẽ: điểm đã đánh dấu có thỏa công thức không; chiều đường cong có khớp dấu đạo hàm không; hướng gần tiệm cận có đúng giới hạn một phía không; có vô tình thêm một điểm bị loại không?

2.1. Những thông tin cần giữ

Với $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, $a\ne0$, tập xác định là $\mathbb R$ và $$f^\prime(x)=3ax^2+2bx+c.$$ Dấu của tam thức này quyết định chiều biến thiên. Khi có hai nghiệm phân biệt, xét đủ các khoảng; khi có nghiệm kép, kiểm việc đạo hàm không đổi dấu; khi không có nghiệm thực, dấu không đổi trên $\mathbb R$.

Đồ thị hàm bậc ba không có tiệm cận và có tâm đối xứng là điểm trên đồ thị có hoành độ $x_0=-\frac{b}{3a}$. Vì vậy phải lấy cả tung độ $f(x_0)$, không nhầm $x_0$ với một điểm. Quy tắc dấu và cực trị xem Đơn điệu và cực trị.

Nguồn đối chiếu: Sách giáo khoa Toán 12, tập một, bộ Kết nối tri thức với cuộc sống, Bài 4, trang 27.

2.2. Ví dụ 02 — Hai cực trị và một nghiệm kép của hàm

Khảo sát $f(x)=x^3-3x+2$.

Tập xác định là $\mathbb R$. Ta có $$f^\prime(x)=3(x-1)(x+1),$$ nên hàm đồng biến trên $(-\infty;-1)$, $(1;+\infty)$ và nghịch biến trên $(-1;1)$. Hàm đạt cực đại tại $x=-1$ với giá trị $4$, cực tiểu tại $x=1$ với giá trị $0$. $$\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.$$

Vì $f(x)=(x-1)^2(x+2)$, giao với trục hoành là $(-2;0)$ và $(1;0)$; giao với trục tung là $(0;2)$. Tâm đối xứng là $I(0;2)$. Đồ thị không có tiệm cận. Tại $(1;0)$, đường cong chạm trục hoành rồi đi lên; tại $(-2;0)$, nó đi qua trục hoành.

Hai giao điểm với trục hoành không phải hai điểm cực trị: phải đọc riêng nghiệm của hàm và nghiệm của đạo hàm.

2.3. Ví dụ 03 — Đạo hàm bằng không mà không có cực trị

Với $g(x)=x^3+1$, tập xác định là $\mathbb R$, $$g^\prime(x)=3x^2,\qquad g^\prime(0)=0.$$ Đạo hàm dương ở cả hai phía của $0$. Hàm đồng biến trên $\mathbb R$, không có cực trị tại $0$ hoặc nơi nào khác. $$\lim_{x\to-\infty}g(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty.$$

Các giao điểm với trục hoành và trục tung lần lượt là $(-1;0)$ và $(0;1)$; tâm đối xứng $I(0;1)$; không có tiệm cận. Điểm có tiếp tuyến ngang vẫn nằm trên một đường cong tiếp tục đi lên qua điểm ấy.

Hàm $u(x)=x^3+x$ ở Ví dụ 01 cũng không có cực trị, nhưng đạo hàm của nó không bằng $0$ ở đâu. Hai trường hợp cùng không có cực trị cần được phân biệt.

3.1. Từ công thức đến hai nhánh

Với $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$, điều kiện $c\ne0$, $ad-bc\ne0$ bảo đảm đây không phải hàm hằng sau rút gọn. Ta xét mẫu khác $0$, tính đạo hàm và các giới hạn. Không kết luận đơn điệu trên “toàn tập xác định” chỉ từ một dấu đạo hàm nếu tập xác định gồm hai khoảng rời.

Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng; hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai tiệm cận là các trục đối xứng. Khi dùng hình để nhận đối xứng, hai trục tọa độ phải có cùng tỉ lệ độ dài.

Nguồn đối chiếu: Sách giáo khoa Toán 12, tập một, bộ Kết nối tri thức với cuộc sống, Bài 4, trang 28–29.

3.2. Ví dụ 04 — Ghép biến thiên với tiệm cận ngang

Khảo sát $$f(x)=\frac{2x+1}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}.$$ Tập xác định $D=\mathbb R\setminus\{1\}$. Đạo hàm $$f^\prime(x)=-\frac{3}{(x-1)^2}<0\quad(x\ne1).$$ Hàm nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$, không có cực trị. $$\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty;$$ $$\lim_{x\to-\infty}f(x)=2,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=2.$$ Hai tiệm cận là $x=1$, $y=2$.

Ở mốc $x=1$, các kí hiệu $-\infty$ và $+\infty$ trong hàng $f(x)$ biểu thị giới hạn từ bên trái và bên phải; chúng không phải giá trị $f(1)$, vì $1$ không thuộc tập xác định. Đồ thị đi qua $\left(-\frac{1}{2};0\right)$, $(0;-1)$; có tâm $I(1;2)$ và hai trục đối xứng $y-2=x-1$, $y-2=-(x-1)$. Với $x<1$, đồ thị nằm dưới $y=2$; với $x>1$, nằm trên $y=2$.

Không đặt một điểm đặc ở giao hai tiệm cận: tâm đối xứng không thuộc đồ thị này.

4.1. Phần thương, phần dư và đối xứng

Sau phép chia, phân thức trong phạm vi bài có dạng “đa thức bậc nhất cộng phần dư trên mẫu bậc nhất”. Phần dư khác $0$ là điều cần giữ theo điều kiện của họ hàm. Tìm tiệm cận xiên bằng giới hạn của hiệu giữa hàm số và đa thức thương, với biến tiến tới từng đầu vô cực.

Đồ thị nhận giao điểm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên làm tâm đối xứng, nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi các tiệm cận làm các trục đối xứng. Không mặc định đường ngang hoặc đường thẳng vuông góc tiệm cận xiên là trục đối xứng.

Nguồn đối chiếu: Sách giáo khoa Toán 12, tập một, bộ Kết nối tri thức với cuộc sống, Bài 4, trang 30–32.

4.2. Ví dụ 05 — Tiệm cận xiên và hai cực trị

Khảo sát $$u(x)=\frac{x^2}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1},\qquad D=\mathbb R\setminus\{1\}.$$ Ta có $$u^\prime(x)=1-\frac{1}{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}.$$ Đạo hàm bằng $0$ tại $0$, $2$. Hàm đồng biến trên $(-\infty;0)$, $(2;+\infty)$; nghịch biến trên $(0;1)$, $(1;2)$. Cực đại tại $x=0$, giá trị $0$; cực tiểu tại $x=2$, giá trị $4$. $$\lim_{x\to1^-}u(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to1^+}u(x)=+\infty,$$ $$\lim_{x\to-\infty}u(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}u(x)=+\infty.$$ Đường $x=1$ là tiệm cận đứng. Vì $$\lim_{x\to-\infty}[u(x)-(x+1)]=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}[u(x)-(x+1)]=0,$$ đường $y=x+1$ là tiệm cận xiên.

Giá trị $x=1$ không thuộc tập xác định, nên hai nhánh được xét riêng trên các khoảng ở hai phía của $1$. Hai nghiệm của phương trình $u^\prime(x)=0$ là $x=0$ và $x=2$.

Đồ thị giao cả hai trục tại $O(0;0)$, tâm đối xứng $I(1;2)$. Nhánh bên trái ở dưới đường xiên; nhánh bên phải ở trên. Hai trục đối xứng là hai đường phân giác của $x=1$ và $y=x+1$, không phải chính hai tiệm cận.

Giá trị cực đại $0$ nhỏ hơn giá trị cực tiểu $4$ vẫn có thể xảy ra. Cực đại tại $x=0$ chỉ được so sánh với giá trị của hàm số ở các điểm đủ gần $0$; cực tiểu tại $x=2$ chỉ được so sánh với giá trị ở các điểm đủ gần $2$. Hai kết luận này không yêu cầu giá trị cực đại phải lớn hơn mọi giá trị cực tiểu.

4.3. Ví dụ 06 — Cùng tiệm cận, không có cực trị

Với $$v(x)=\frac{x^2-2}{x-1}=x+1-\frac{1}{x-1},$$ tập xác định vẫn là $\mathbb R\setminus\{1\}$, nhưng $$v^\prime(x)=1+\frac{1}{(x-1)^2}>0.$$ Hàm đồng biến trên từng khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$, không có cực trị. $$\lim_{x\to1^-}v(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to1^+}v(x)=-\infty;$$ $$\lim_{x\to-\infty}v(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}v(x)=+\infty;$$ $$\lim_{x\to-\infty}[v(x)-(x+1)]=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}[v(x)-(x+1)]=0.$$

Tiệm cận và tâm vẫn là $x=1$, $y=x+1$, $I(1;2)$. Đồ thị giao với trục hoành tại $\left(-\sqrt{2};0\right)$, $\left(\sqrt{2};0\right)$, giao điểm với trục tung tại $(0;2)$. Nhánh trái nằm trên đường xiên, nhánh phải nằm dưới.

5.1. Ba câu hỏi trước khi diễn giải

Đang xét tập nào? Giá trị nào được đạt trong tập đó? Kết luận đang nói về mô hình được cho hay về thực tế chưa được kiểm chứng?

Các bài dưới đây dùng mô hình chi phí giả định. Biến và đơn vị phải được giữ rõ trong mỗi kết luận; công thức chỉ được dùng trên tập đã cho.

5.2. Ví dụ 07 — Chi phí trung bình có cận nhưng không có giá trị nhỏ nhất

Giả sử tổng chi phí để sản xuất $x$ tấn hàng là $C(x)=2x+12$ triệu đồng, mô hình áp dụng với $x\ge1$. Chi phí trung bình mỗi tấn: $$A(x)=\frac{C(x)}{x}=2+\frac{12}{x}$$ tính bằng triệu đồng mỗi tấn.

Ta có $A^\prime(x)=-\frac{12}{x^2}<0$, nên $A$ giảm trên $[1;+\infty)$. Tại $x=1$, ta được $A(1)=14$. $$\lim_{x\to+\infty}A(x)=2,\qquad A(x)>2\quad(x\ge1).$$ Giá trị lớn nhất là $14$, đạt tại $x=1$. Không có giá trị nhỏ nhất: với mỗi $x\ge1$, chọn khối lượng lớn hơn thì chi phí trung bình nhỏ hơn; không khối lượng hữu hạn nào làm phần $\frac{12}{x}$ bằng $0$.

Đường $y=2$ mô tả xu hướng khi $x\to+\infty$ trong mô hình. Đồ thị của hàm số với tập xác định $[1;+\infty)$ không có nhánh ứng với $x<0$ hoặc tiệm cận đứng $x=0$. Nếu chỉ tìm giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[1;6]$, ta được $A(6)=4$, đạt khi sản xuất $6$ tấn. Như vậy, cùng một công thức nhưng xét trên hai tập khác nhau có thể cho kết luận khác nhau về giá trị nhỏ nhất.

Điểm dừng 05

Tự nhớ đủ quy trình, tính đúng và hình khớp thì ghi bằng chứng bậc ba sau khoảng trễ này. Nếu lỗi, xem mục bậc ba, chọn Nhiệm vụ 27 của Sửa lỗi, ý b chưa gặp trước đó. Ý a xác nhận riêng trường hợp không có cực trị. Sau sửa quay về đây; không ghi đạt hai họ phân thức từ lượt này.

Điểm dừng 06

Nếu ý a còn sai, xem lại phân thức bậc nhất, rồi tự làm Nhiệm vụ 28 của Sửa lỗi, ý a nếu chưa gặp trước đó. Nếu ý b còn sai, xem lại cách giải thích kết quả trong mô hình, rồi dùng ý d của nhiệm vụ ấy. Sau đó quay lại Điểm dừng này, ghi kết quả từng ý và trợ giúp đã dùng. Việc sửa đúng ngay sau khi xem lời giải chưa cho biết em còn nhớ cách làm sau một thời gian.

Điểm dừng 07

Nếu còn lỗi, xem phân thức bậc hai, rồi tự làm Nhiệm vụ 28 của Sửa lỗi, ý b nếu chưa gặp trước đó. Ý c kiểm trường hợp không có cực trị, không thay cho trường hợp có cực trị ở ý b. Sau khi sửa, quay lại Điểm dừng này và ghi phần em tự làm được, phần đã dùng hỗ trợ. Lượt ôn này kiểm tra cách khảo sát hàm phân thức bậc hai có cực trị; làm đúng bài này chưa cho biết kết quả ở mọi dạng hàm khác. Nếu vừa xem lời giải rồi làm lại, chưa thể dựa vào lần đó để kết luận mình còn nhớ sau một thời gian.

Luyện tập

Nhiệm vụ 10 — Khảo sát một hàm bậc ba

Lời giải và tiêu chí đối chiếu

Tập xác định là $\mathbb R$. Ta có $f^\prime(x)=3x(x-2)$. Hàm số đồng biến trên $(-\infty;0)$ và $(2;+\infty)$, nghịch biến trên $(0;2)$. Hàm đạt cực đại tại $x=0$, giá trị cực đại bằng $4$; đạt cực tiểu tại $x=2$, giá trị cực tiểu bằng $0$. Các điểm cực trị tương ứng của đồ thị là $(0;4)$ và $(2;0)$. $$\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty,\qquad\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.$$

Bảng biến thiên

$x$	$-\infty$		$0$		$2$		$+\infty$
Biến thiên	$-\infty$	$\nearrow$	$4$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$	$+\infty$

Dấu đạo hàm bằng $0$ tại $0$, $2$; dấu trên các khoảng là dấu đã ghi ở trên. $f(x)=(x+1)(x-2)^2$, nên giao điểm với trục hoành tại $(-1;0)$, $(2;0)$; giao điểm với trục tung tại $(0;4)$. Tâm $I(1;2)$; không có tiệm cận. Đồ thị đi qua trục hoành tại $-1$, chạm rồi đổi chiều tại $2$.

Tiêu chí: không nhầm hai nghiệm của hàm với hai hoành độ cực trị; hình phải phù hợp cả bảng và giao điểm.

Xem đề bài.

Nhiệm vụ 11 — Không có cực trị theo hai cách

Xem đề bài.

Nhiệm vụ 12 — Khảo sát phân thức với hai nhánh tăng

Lời giải và tiêu chí đối chiếu

$f(x)=3-\frac{2}{x-2}$, $D=\mathbb R\setminus\{2\}$, $f^\prime(x)=\frac{2}{(x-2)^2}>0$. Đồng biến trên từng khoảng $(-\infty;2)$ và $(2;+\infty)$; không cực trị. $$\lim_{x\to2^-}f(x)=+\infty,\quad\lim_{x\to2^+}f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to-\infty}f(x)=3,\quad\lim_{x\to+\infty}f(x)=3.$$

Bảng biến thiên

$x$	$-\infty$		$2$		$+\infty$
Dấu đạo hàm		$+$	$\parallel$	$+$
Biến thiên	$3$	$\;\nearrow\;+\infty$	$\parallel$	$-∞\;\nearrow$	$3$

Tiệm cận $x=2$, $y=3$; tâm $I(2;3)$; các trục đối xứng $y-3=\pm(x-2)$. Đồ thị giao với trục hoành $\left(\frac{8}{3};0\right)$, trục tung $(0;4)$.

Xem đề bài.

Nhiệm vụ 13 — Khảo sát phân thức có tiệm cận xiên

Lời giải và tiêu chí đối chiếu

$h(x)=x+2+\frac{4}{x}$, $D=\mathbb R\setminus\{0\}$, $$h^\prime(x)=1-\frac{4}{x^2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x^2}.$$ Đồng biến trên $(-\infty;-2)$, $(2;+\infty)$; nghịch biến trên $(-2;0)$, $(0;2)$. Cực đại tại $-2$, giá trị $-2$; cực tiểu tại $2$, giá trị $6$. $$\lim_{x\to0^-}h(x)=-\infty,\qquad\lim_{x\to0^+}h(x)=+\infty;$$ $$\lim_{x\to-\infty}h(x)=-\infty,\qquad\lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty;$$ $$\lim_{x\to-\infty}[h(x)-(x+2)]=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}[h(x)-(x+2)]=0.$$

Bảng biến thiên

$x$	$-\infty$		$-2$		$0$		$2$		$+\infty$
Dấu đạo hàm bên trong		$+$		$-$	$\parallel$	$-$		$+$
Biến thiên	$-\infty$	$\nearrow$	$-2$	$\searrow\;-∞$	$\parallel$	$+\infty\;\searrow\;$	$6$	$\nearrow$	$+\infty$

Đạo hàm bằng $0$ tại $-2$, $2$. Tiệm cận $x=0$, $y=x+2$; tâm $I(0;2)$. Tử $(x+1)^2+3>0$, nên không giao điểm với trục hoành; không có điểm trên trục tung vì $0$ bị loại. Hai trục đối xứng là hai phân giác của hai tiệm cận.

Cực trị là so sánh trong lân cận; hai cực trị thuộc hai nhánh khác nhau. Không lấy quan hệ giữa hai giá trị ấy để bác bỏ kết quả.

Xem đề bài.

Nhiệm vụ 14 — Dấu trừ làm thay đổi hai nhánh