Đọc dữ liệu và đo xu thế trung tâm

2.1. Số trung bình và trung vị

Số trung bình cho biết tổng chia đều cho mỗi quan sát là bao nhiêu. Năm người có thời gian chờ $2;3;3;4;8$ phút. Tổng thời gian chờ là $20$ phút. Nếu tổng ấy được chia đều cho năm người thì mỗi người ứng với $\frac{20}{5}=4$ phút. Đó là thời gian chờ trung bình.

Có thể kiểm lại bằng cách thay năm thời gian bằng $4;4;4;4;4$: tổng vẫn là $20$ phút. Phép thay này giúp hiểu ý nghĩa của số trung bình; thời gian chờ thực tế vẫn là $2;3;3;4;8$ phút, không phải ai cũng đã chờ $4$ phút.

Với một mẫu gồm $n$ giá trị, $n\geq1$, gọi các giá trị là $x_1,x_2,\ldots,x_n$ và số trung bình là $\overline{x}$. Nếu thay mỗi giá trị bằng $\overline{x}$ thì tổng mới là $n\overline{x}$. Muốn tổng mới bằng tổng ban đầu, ta cần

$$n\overline{x}=x_1+x_2+\cdots+x_n.$$

Chia hai vế cho $n$, ta được

$$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}.$$

Vì sao có thể xem trung bình là một mức cân bằng? So với $4$ phút, thời gian $2$ phút thấp hơn $2$ phút; mỗi thời gian $3$ phút thấp hơn $1$ phút. Ba phần thiếu cộng lại là $2+1+1=4$ phút. Thời gian $8$ phút vượt mức $4$ phút đúng $4$ phút; thời gian $4$ phút không thiếu cũng không vượt. Phần thiếu và phần vượt bằng nhau.

Gọi $x_i-\overline{x}$ là độ lệch của giá trị thứ $i$ so với trung bình. Độ lệch âm biểu thị thấp hơn, độ lệch dương biểu thị cao hơn. Kí hiệu $\sum_{i=1}^{n}$ có nghĩa là cộng biểu thức phía sau với $i$ lần lượt từ $1$ đến $n$. Cộng các độ lệch tức là lấy tổng ban đầu trừ đi $n$ lần số trung bình:

$$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})=(x_1+\cdots+x_n)-n\overline{x}=0.$$

Một giá trị thay đổi làm trung bình thay đổi thế nào? Nếu chỉ thay thời gian $8$ phút bằng $28$ phút, tổng tăng từ $20$ lên $40$ phút, còn số người vẫn là $5$. Trung bình tăng từ $\frac{20}{5}=4$ lên $\frac{40}{5}=8$ phút. Bốn người còn lại không đổi thời gian chờ, nhưng trung bình vẫn tăng vì tổng đã tăng.

Tổng quát, khi chỉ một giá trị tăng thêm $\Delta$ và số giá trị vẫn là $n$, tổng tăng thêm $\Delta$, nên trung bình tăng thêm $\frac{\Delta}{n}$. Nếu $\Delta<0$, giá trị đó giảm và trung bình giảm tương ứng. Kết luận này xét việc thay một giá trị, không phải thêm một quan sát mới.

Trung vị trả lời câu hỏi: sau khi sắp từ nhỏ đến lớn, giá trị ở giữa bằng bao nhiêu? Dãy $2;3;3;4;8$ đã được sắp. Quan sát thứ ba đứng ở giữa: có hai quan sát đứng trước và hai quan sát đứng sau. Giá trị tại đó là $3$ phút, gọi là trung vị, kí hiệu $M_e$. “Thứ ba” chỉ vị trí trong danh sách; $3$ phút mới là thời gian chờ.

Khi thay $8$ bằng $28$, dãy mới là $2;3;3;4;28$. Giá trị cuối vẫn đứng cuối, giá trị thứ ba vẫn bằng $3$. Vì vậy trung vị không đổi, trong khi trung bình tăng lên $8$ phút.

Để tìm trung vị, trước hết sắp tất cả các giá trị theo thứ tự không giảm, giữ đủ cả các giá trị trùng nhau. Nếu số quan sát lẻ, lấy giá trị ở vị trí chính giữa. Nếu số quan sát chẵn, không có một quan sát duy nhất đứng giữa; theo định nghĩa, trung vị được lấy bằng trung bình cộng của hai giá trị giữa. Chẳng hạn, mẫu $2;3;7;10$ có hai giá trị giữa là $3$ và $7$, nên trung vị bằng $\frac{3+7}{2}=5$, dù mẫu không có giá trị $5$.

Trong mẫu $2;3;3;4;8$, ta có thể thực hiện hai phép đếm riêng:

• Các quan sát có giá trị không lớn hơn trung vị $3$ là $2;3;3$: có ba quan sát.
• Các quan sát có giá trị không nhỏ hơn $3$ là $3;3;4;8$: có bốn quan sát.

Hai quan sát bằng $3$ thỏa cả hai điều kiện so sánh, nên xuất hiện trong cả hai phép đếm. Ta đang kiểm tra hai điều kiện, không chia mẫu thành hai nhóm tách biệt. Vì vậy, hai số đếm có thể cùng lớn hơn một nửa cỡ mẫu.

Tổng quát, có ít nhất một nửa số quan sát không lớn hơn trung vị và ít nhất một nửa không nhỏ hơn trung vị. Điều này không có nghĩa đúng một nửa nhỏ hơn và đúng một nửa lớn hơn trung vị.

Trong hình, mỗi chấm là một người với thời gian chờ tương ứng; các chấm trùng thời gian được xếp cao lên để vẫn nhìn thấy đủ. Hai hàng dùng cùng một trục thời gian. Đường nét đứt đỏ chỉ trung bình: từ $4$ chuyển sang $8$ phút. Đường liền xám chỉ trung vị: vẫn ở $3$ phút. Nhãn bên cạnh mỗi đường ghi rõ số đặc trưng tương ứng.

Vì sao có lúc trung bình chưa mô tả tốt thời gian chờ của phần lớn nhóm? Trong mẫu thứ hai, bốn trong năm người chỉ chờ từ $2$ đến $4$ phút. Nếu chỉ thông báo “thời gian chờ đại diện là $8$ phút”, người đọc có thể tưởng thời gian chờ của phần lớn nhóm gần $8$ phút. Số trung bình cao hơn khoảng thời gian của bốn người ấy vì thời gian $28$ phút chiếm phần lớn tổng $40$ phút.

Nếu muốn mô tả người ở giữa khi xếp theo thời gian chờ, trung vị $3$ phút phù hợp hơn. Một báo cáo rõ hơn có thể viết: “Trung vị thời gian chờ là $3$ phút; bốn trong năm người chờ từ $2$ đến $4$ phút, còn một người chờ $28$ phút.” Người chờ lâu vẫn được ghi nhận. Nếu quan tâm tổng thời gian chờ, trung bình $8$ phút vẫn hữu ích vì $5\cdot8=40$ phút.

Trung vị không phải lúc nào cũng giữ nguyên. Nếu thay $2$ bằng $30$ trong mẫu $2;3;3;4;28$, ta phải sắp lại thành $3;3;4;28;30$; giá trị giữa lúc này bằng $4$. Khi một giá trị thay đổi, cần xem nó có làm thay đổi giá trị ở giữa sau sắp xếp hay không.

Vì thế, không có quy tắc “hễ có một giá trị rất lớn thì bỏ trung bình”. Cần xác định câu hỏi: muốn biết tổng chia đều cho mỗi người, thời gian của người ở giữa, hay muốn mô tả cả những người chờ lâu khác biệt?

Vì sao phải tính đủ số lần xuất hiện của mỗi giá trị? Trong mẫu $2;3;3;4;8$, giá trị $3$ xuất hiện hai lần nên phải được cộng hai lần. Do đó

$$\overline{x}=\frac{2+2\cdot3+4+8}{1+2+1+1}=4.$$

Số lần xuất hiện của một giá trị gọi là tần số. Mẫu trên có bốn giá trị khác nhau $2,3,4,8$, với tần số tương ứng $1,2,1,1$; tổng tần số là $5$, chính là số quan sát. Khi có $k$ giá trị khác nhau $a_1,\ldots,a_k$ với tần số tương ứng $f_1,\ldots,f_k$, ta viết gọn

$$\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^{k}f_i a_i}{\sum_{i=1}^{k}f_i}.$$

Ở tử số, mỗi giá trị được nhân với số lần nó xuất hiện. Ở mẫu số, ta cộng các tần số để đếm đủ mọi quan sát. Tần số được gọi là trọng số vì nó cho biết mỗi giá trị được tính bao nhiêu lần trong phép lấy trung bình.

Gộp hai nhóm có số quan sát khác nhau. Giả sử nhóm thứ nhất có $2$ quan sát, trung bình $10$; nhóm thứ hai có $8$ quan sát, trung bình $20$. Ta khôi phục tổng của từng nhóm: $2\cdot10=20$ và $8\cdot20=160$. Cả hai nhóm có tổng $180$ và có $10$ quan sát, nên trung bình chung là $\frac{180}{10}=18$.

Phép tính $\frac{10+20}{2}=15$ tính hai nhóm ngang nhau: mỗi trung bình nhóm được tính một lần, dù nhóm thứ hai có số quan sát gấp bốn lần nhóm thứ nhất. Trong mẫu gộp, hai nhóm thực sự chiếm $\frac{2}{10}$ và $\frac{8}{10}$ số quan sát. Vì vậy, để mỗi quan sát được tính một lần, ta nhân từng trung bình nhóm với số quan sát tương ứng, cộng các tích rồi chia cho tổng số quan sát. Nếu cỡ hai nhóm bằng nhau thì công thức này rút gọn thành trung bình cộng của hai trung bình; nếu hai trung bình bằng nhau thì hai cách cũng cho cùng kết quả.

Khi đổi từ phút sang giây, trung bình và trung vị đổi thế nào? Năm thời gian $2;3;3;4;8$ phút được viết thành $120;180;180;240;480$ giây. Mỗi giá trị nhân với $60$, nên tổng cũng nhân với $60$: tổng $20$ phút tương ứng $1200$ giây. Số người vẫn là $5$, do đó trung bình là $\frac{1200}{5}=240$ giây, đúng bằng $4$ phút.

Nhân mọi giá trị với cùng số dương $60$ không làm đổi thứ tự. Giá trị giữa là $180$ giây, đúng bằng trung vị $3$ phút. Với mẫu chẵn, cả hai giá trị giữa đều nhân với $60$ nên trung bình cộng của chúng cũng nhân với $60$. Đổi đơn vị làm đổi con số viết ra nhưng vẫn nói về cùng một thời gian; $4$ phút không thể được ghi thành $4$ giây.

Một việc khác: mọi thời gian đều tăng thêm như nhau. Nếu mỗi người phải chờ thêm $2$ phút thì thời gian thực tế đã thay đổi. Tổng tăng thêm $5\cdot2=10$ phút, nên trung bình tăng $\frac{10}{5}=2$ phút. Thứ tự không đổi và giá trị giữa cũng tăng $2$ phút; với mẫu chẵn, trung bình của hai giá trị giữa tăng $2$ phút. Tổng quát, khi cộng cùng một số $c$ vào cả $n$ giá trị, tổng tăng thêm $nc$, còn trung bình và trung vị đều tăng thêm $c$.

Căn cứ toán học: Toán 10, Tập một, Kết nối tri thức với cuộc sống, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, Bài 13, trang 78–79.

2.2. Tứ phân vị: chia theo thứ tự

Biết trung vị rồi, ta đã hình dung được vị trí của những giá trị còn lại chưa? Xét hai mẫu giả định đã sắp:

$$\begin{aligned} A &: 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 6;\ 7;\ 8,\\ B &: 1;\ 4;\ 4;\ 4;\ 5;\ 5;\ 5;\ 8. \end{aligned}$$

Cả hai mẫu cùng có tổng $36$, trung bình $4{,}5$ và trung vị $4{,}5$. Chỉ biết hai số ấy, ta chưa thấy mẫu B có sáu trong tám giá trị tập trung tại $4$ và $5$, còn mẫu A có đủ các giá trị nguyên từ $1$ đến $8$.

Ta xét thêm từng nửa của dãy đã sắp. Nửa dưới của A là $1;2;3;4$, có trung vị $\frac{2+3}{2}=2{,}5$. Nửa dưới của B là $1;4;4;4$, có trung vị $\frac{4+4}{2}=4$. Hai kết quả ấy là tứ phân vị thứ nhất, kí hiệu $Q_1$, của từng mẫu.

Nửa trên của A là $5;6;7;8$, có trung vị $\frac{6+7}{2}=6{,}5$. Nửa trên của B là $5;5;5;8$, có trung vị $5$. Đây là tứ phân vị thứ ba, kí hiệu $Q_3$. Cùng với trung vị của toàn mẫu, gọi là tứ phân vị thứ hai $Q_2$, ta có ba mốc $Q_1,Q_2,Q_3$.

Như vậy, $Q_1$ và $Q_3$ bổ sung thông tin về các giá trị ở nửa dưới và nửa trên của mẫu. Chúng giúp thấy một sự khác nhau mà trung vị chung $4{,}5$ chưa cho thấy. Ta xác định các tứ phân vị bằng cách xét các quan sát trong dãy đã sắp, rồi tìm trung vị của toàn dãy và của từng nửa. Ta không chia đoạn từ giá trị nhỏ nhất đến lớn nhất thành bốn đoạn dài bằng nhau. Hai mẫu đều có hai đầu là $1$ và $8$ nhưng có $Q_1,Q_3$ khác nhau.

Cách xác định tứ phân vị bằng trung vị của hai nửa, theo Toán 10, Tập một, bộ Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 80–81, được thực hiện như sau:

1. Sắp các giá trị theo thứ tự không giảm, giữ đủ những giá trị trùng nhau.
2. Tìm trung vị $Q_2$. Nếu cỡ mẫu chẵn, chia dãy thành hai nửa có số giá trị bằng nhau. Nếu cỡ mẫu lẻ, nửa dưới gồm các quan sát đứng trước vị trí chính giữa; nửa trên gồm các quan sát đứng sau vị trí ấy.
3. Tìm trung vị của nửa dưới để được $Q_1$ và trung vị của nửa trên để được $Q_3$.

Chẳng hạn, với năm giá trị đã sắp $1;2;3;4;5$, quan sát thứ ba xác định $Q_2=3$; hai nửa dùng tiếp là $1;2$ và $4;5$. Ta chỉ không đưa quan sát ở vị trí chính giữa vào hai nửa ấy, không xóa tất cả các giá trị bằng trung vị. Quan sát đó vẫn thuộc mẫu ban đầu.

Trong mẫu B, $Q_1=4$. Tuy nhiên, chỉ có một trong tám quan sát nhỏ hơn $4$, còn có bốn trong tám quan sát không lớn hơn $4$. Hai tỉ lệ lần lượt là $\frac{1}{8}$ và $\frac{4}{8}$; không tỉ lệ nào bằng $25\%$.

Nguyên nhân là ba quan sát cùng mang giá trị $4$: nếu đếm các giá trị nhỏ hơn $4$ thì không tính cả ba; nếu đếm các giá trị không lớn hơn $4$ thì tính cả ba. Vì thế, không thể hiểu ba tứ phân vị là những mốc luôn chia các giá trị của mẫu thành bốn nhóm, mỗi nhóm có đúng $25\%$ số quan sát. Khi tìm $Q_1,Q_2,Q_3$, ta cần thực hiện cách xác định bằng trung vị của hai nửa đã nêu; đổi dấu “nhỏ hơn” thành “không lớn hơn” không khắc phục được sự khác nhau về số đếm này.

Trong Ví dụ 01, nửa dưới gồm các vị trí từ $1$ đến $8$, nửa trên từ $9$ đến $16$. Vì thế

$$\begin{aligned} Q_1&=\frac{182+185}{2}=183{,}5; \\ Q_2&=\frac{190+190}{2}=190; \\ Q_3&=\frac{193+195}{2}=194. \end{aligned}$$

Cả ba tứ phân vị đều có đơn vị mm. Số $183{,}5$ mm là trung vị của tám số đo ở nửa dưới; số $194$ mm là trung vị của tám số đo ở nửa trên; $190$ mm là trung vị của toàn bộ 16 số đo.

Căn cứ toán học: Toán 10, Tập một, Kết nối tri thức với cuộc sống, Bài 13, trang 80–81. Khi dùng phần mềm hoặc đọc một kết quả phân vị khác, cần kiểm tra phương pháp tính: phần mềm có thể cung cấp quy ước khác với cách lấy trung vị của hai nửa.

2.3. Mốt: giá trị xuất hiện nhiều nhất

Một cửa hàng muốn biết cỡ giày nào được hỏi mua nhiều nhất. Trong danh sách giả định $36;36;36;37;37;38;38;39;40$, cỡ $36$ xuất hiện ba lần, nhiều hơn từng cỡ còn lại. Đây là câu hỏi về tần số, khác với chia đều tổng hoặc tìm vị trí giữa. Trung vị của danh sách là $37$; nó không trả lời cỡ nào xuất hiện nhiều nhất.

Cỡ $36$ chỉ chiếm $\frac{3}{9}$ số lượt hỏi. Vì vậy, “nhiều nhất” không đồng nghĩa “quá một nửa”. Nếu cần dự kiến nhiều cỡ hàng, cửa hàng phải xem cả bảng tần số; chỉ giữ một cỡ nổi trội sẽ bỏ qua sáu lượt hỏi còn lại. Tình huống này minh họa ý nghĩa của mốt, chưa phải một dự báo nhu cầu bán hàng.

Tần số của một giá trị là số lần giá trị ấy xuất hiện trong mẫu. Mốt là giá trị có tần số lớn nhất. Theo quy ước của Toán 10, Tập một, bộ Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 81, khi các giá trị khác nhau có tần số bằng nhau thì mẫu không có mốt. Với mẫu có ít nhất hai giá trị khác nhau, ta phân biệt ba trường hợp:

• Không có mốt: tất cả các giá trị khác nhau đều xuất hiện cùng một số lần. Ta dùng quy ước mẫu không có mốt, vì không có giá trị nào nổi trội về tần số.
• Một mốt: có đúng một giá trị xuất hiện nhiều lần hơn mỗi giá trị còn lại. Giá trị ấy là mốt.
• Nhiều mốt: có từ hai giá trị trở lên cùng đạt tần số lớn nhất, đồng thời vẫn có giá trị khác mang tần số nhỏ hơn. Tất cả các giá trị đạt tần số lớn nhất ấy đều là mốt.

Vì vậy, khi các tần số không đồng loạt bằng nhau, tìm mốt là tìm đủ các giá trị có tần số lớn nhất. Không chỉ đếm xem một giá trị có lặp lại hay không; cần so sánh số lần xuất hiện của nó với các giá trị khác.

Ví dụ, mẫu $1;1;2;2;3;3$ không có giá trị nào xuất hiện nhiều hơn giá trị khác: các tần số đều bằng $2$, nên không có mốt theo quy ước trên. Còn mẫu $1;1;2;2;3$ có hai mốt là $1$ và $2$: chúng cùng có tần số lớn nhất $2$, lớn hơn tần số $1$ của giá trị $3$. Mốt là các giá trị $1$ và $2$, không phải số lần xuất hiện $2$.

Ở mẫu 16 giá trị, $195$ xuất hiện ba lần, nhiều hơn các giá trị khác, nên mốt là $195$ mm. Khi mở rộng đến toàn bộ 49 giá trị Adélie 2007, các số $180$, $190$, $195$ đều xuất hiện năm lần và cùng đạt tần số lớn nhất. Mẫu lớn này có ba mốt.

Nếu muốn biết chiều dài nào được ghi nhận nhiều lần nhất trong nhóm chim này, mốt trả lời câu hỏi ấy. Nó không khẳng định phần lớn cá thể đều có chiều dài đó.

Không thể mang mốt của một phần trích sang mẫu lớn hơn mà không đếm lại.

Căn cứ toán học: Toán 10, Tập một, Kết nối tri thức với cuộc sống, Bài 13, trang 81, gồm định nghĩa và hai nhận xét về nhiều mốt, không có mốt; đối chiếu thêm Sách giáo viên Toán 10, trang 144–145. Xem lưu ý về định nghĩa và quy ước mốt khi mẫu chỉ có một giá trị khác nhau. Các tần số Penguins ở trên được tính từ dữ liệu Adélie 2007.

4.1. Số trung bình của mẫu ghép nhóm

Giả sử bảng chỉ cho biết một giá trị thuộc $[0;10)$. Ta biết giá trị đó từ $0$ đến dưới $10$, nhưng chưa biết chính xác là bao nhiêu. Muốn tính gần đúng trung bình từ bảng nhóm, ta cần chọn một số để thay tạm cho các giá trị chưa biết trong khoảng này.

Quy tắc tính trung bình ghép nhóm chọn trung điểm $5$. Số $5$ cách mỗi đầu mút một khoảng bằng $5$. Nếu chọn $2$ thì gần đầu $0$ hơn, nhưng cách đầu $10$ đến $8$; một giá trị gần $10$ có thể khác số thay thế $2$ khá nhiều. Chọn trung điểm bảo đảm khoảng cách từ bất kì giá trị nào trong $[0;10)$ tới số thay thế không vượt quá $5$.

Điều này không cho biết trung bình thật của nhóm bằng $5$. Nếu hai giá trị thật là $1;1$ thì trung bình là $1$; nếu là $9;9$ thì trung bình là $9$. Cả hai trường hợp đều được ghi thành “hai giá trị thuộc $[0;10)$”. Bảng không cho biết trường hợp nào đã xảy ra. Trung điểm là số thay thế theo quy tắc, không phải giá trị được xác nhận xuất hiện nhiều nhất hoặc có khả năng xảy ra lớn nhất.

Với khoảng $[a;b)$, $a<b$, trung điểm là $c=\frac{a+b}{2}$. Giả sử nhóm thứ $i$ có $f_i$ quan sát và trung điểm $c_i$. Thay mỗi quan sát của nhóm bằng $c_i$ nghĩa là thay tổng của nhóm bằng $f_i c_i$. Cộng các tổng thay thế rồi chia cho tổng số quan sát, ta được số trung bình của mẫu ghép nhóm:

$$\overline{x}_{\text{nhóm}}=\frac{\sum_i f_i c_i}{n}, \qquad n=\sum_i f_i.$$

Tần số $f_i$ giữ vai trò trọng số: nhóm có bao nhiêu quan sát thì trung điểm được tính bấy nhiêu lần. Nếu chỉ cộng các trung điểm rồi chia cho số nhóm, ta đã tính mỗi nhóm một lần, dù số quan sát của các nhóm khác nhau.

Với hai mẫu A và B, bảng nhóm cho cùng kết quả $\frac{2\cdot5+2\cdot15}{4}=10$. Kết quả này khác trung bình gốc của A là $6$ và của B là $14$, ngay cả khi không làm tròn. Sự khác nhau phát sinh từ việc thay các giá trị thật bằng trung điểm.

Sai khác giữa hai số trung bình có thể lớn đến đâu? Xét một nhóm rộng $5$ mm, chẳng hạn $[180;185)$, có trung điểm $182{,}5$ mm. Mọi số đo trong nhóm đều cách trung điểm không quá $2{,}5$ mm. Vì vậy, khi thay một số đo bằng trung điểm, số đó có thể tăng hoặc giảm, nhưng lượng thay đổi không vượt quá $2{,}5$ mm.

Nếu cả $n$ số đo đều thuộc các nhóm rộng $5$ mm, tổng mới có thể lệch tổng cũ không quá $n\cdot2{,}5$ mm. Hai số trung bình đều được tính bằng cách chia tổng tương ứng cho cùng số $n$, nên chúng chênh nhau không quá $\frac{n\cdot2{,}5}{n}=2{,}5$ mm.

Với độ rộng chung $h$, lập luận tương tự cho giới hạn $\frac{h}{2}$: mỗi giá trị thay đổi không quá $\frac{h}{2}$; tổng thay đổi không quá $n\cdot\frac{h}{2}$; chia cho $n$ thì hai trung bình chênh nhau không quá $\frac{h}{2}$.

Đây là mức sai khác không thể vượt quá, không phải sai khác thực tế của mọi mẫu. Chẳng hạn, hai số đo $181$ mm và $184$ mm cùng thuộc $[180;185)$. Thay cả hai bằng $182{,}5$ mm làm số thứ nhất tăng $1{,}5$ mm và số thứ hai giảm $1{,}5$ mm. Tổng không đổi, nên trung bình cũng không đổi.

Nhóm hẹp hơn làm giới hạn $\frac{h}{2}$ nhỏ hơn. Nhưng sai khác thực tế còn tùy những lượng tăng và giảm có bù lại cho nhau hay không; vì vậy, nó không nhất thiết giảm sau mỗi lần chia nhóm hẹp hơn. Nhiệm vụ 11 giúp đối chiếu hai điều này bằng dữ liệu thật.

4.2. Trung vị và tứ phân vị của mẫu ghép nhóm

Ta có một mẫu giả định gồm $26$ giá trị và muốn ước lượng trung vị khi chỉ còn bảng ghép nhóm. Cách ước lượng sau đây tìm một mốc sao cho số giá trị ở phía dưới mốc ấy được tính gần đúng bằng một nửa mẫu, tức là $13$ giá trị.

Bảng nhóm cho biết:

• Có $8$ giá trị nhỏ hơn $20$.
• Có $10$ giá trị thuộc khoảng $[20;30)$.

Nếu lấy mốc $20$, phía dưới mốc mới có $8$ giá trị, chưa đủ $13$. Nếu lấy mốc $30$, phía dưới mốc đã có $8+10=18$ giá trị, vượt quá $13$. Vì vậy, ta tìm mốc ước lượng bên trong nhóm $[20;30)$.

Bảng chưa cho biết mười giá trị trong nhóm tập trung gần $20$, gần $30$, hay phân bố theo cách nào khác. Nếu còn danh sách đã sắp xếp, ta sẽ lấy trung bình cộng của giá trị thứ $13$ và thứ $14$ để tính trung vị. Nhưng bảng nhóm chỉ cho biết cả hai giá trị ấy thuộc $[20;30)$, chưa cho biết chúng bằng bao nhiêu.

Để tính một giá trị ước lượng, ta giả sử tần số được phân bố đều theo độ rộng của nhóm. Theo cách tính gần đúng này:

• Nửa khoảng đầu $[20;25)$, từ $20$ đến dưới $25$, được tính là chứa một nửa tần số của nhóm, tức $5$.
• Nửa khoảng sau $[25;30)$, từ $25$ đến dưới $30$, được tính là chứa tần số $5$ còn lại.

Hai phần không chồng lấn: giá trị bằng $25$ thuộc phần sau.

Khi đó, tần số phía dưới mốc $25$ được ước tính là $8+5=13$: $8$ ở các nhóm trước và $5$ trong nửa đầu nhóm đang xét. Vì vậy, theo cách ước lượng này, ta chọn $25$.

Có thể viết lại cách tính ấy thành công thức. Sau $8$ giá trị ở các nhóm trước, ta còn cần thêm $13-8=5$. Phần cần thêm chiếm

$$\frac{13-8}{10}=\frac{1}{2}$$

tần số của nhóm. Theo giả thiết phân bố đều, ta đi thêm cùng tỉ lệ ấy trên độ rộng $30-20$. Bắt đầu từ đầu trái $20$, ta được

$$\begin{aligned} M_{e,\text{nhóm}} &=20+\frac{13-8}{10}\cdot(30-20)\\ &=20+5\\ &=25. \end{aligned}$$

Trong công thức, số $10$ dưới mẫu là tần số của nhóm; còn $30-20=10$ là độ rộng của nhóm. Tỉ số cho biết cần lấy bao nhiêu phần tần số; nhân với độ rộng cho biết cần đi thêm bao xa từ đầu trái.

Kết quả $25$ là trung vị ước lượng từ bảng nhóm. Trung vị chính xác của mẫu gốc vẫn là

$$M_e=\frac{x_{13}+x_{14}}{2},$$

nhưng hai giá trị $x_{13}$ và $x_{14}$ chưa được biết. Mức $13$ trong phép ước lượng biểu thị một nửa tổng tần số; ta không lấy riêng giá trị thứ $13$ làm trung vị.

Bước chuyển từ tỉ lệ tần số sang tỉ lệ độ rộng dựa vào giả thiết phân bố đều. Bảng không tự bảo đảm giả thiết ấy đúng, cũng không bảo đảm có đúng năm giá trị thật nhỏ hơn $25$ trong nhóm đang xét. Vì thế, kết quả tính từ bảng có thể khác trung vị tính trực tiếp từ dữ liệu gốc.

Cách ước lượng vừa dùng được gọi là nội suy tuyến tính: biết tần số tích lũy tại hai biên nhóm, ta tạm coi tần số ấy tăng đều giữa hai biên để tìm mốc cần đạt. Với trung vị, mốc cần đạt là $50\%$ tổng tần số; với tứ phân vị thứ nhất và thứ ba, các mốc tương ứng là $25\%$ và $75\%$. Ta sẽ viết công thức chung cho cách tính này rồi áp dụng vào bảng số đo cánh bơi.

Gọi:

• $a$ là đầu trái của nhóm và $h>0$ là độ rộng nhóm;
• $F$ là tần số tích lũy trước nhóm, còn $f>0$ là tần số của nhóm;
• $r$ là mức tần số tích lũy cần đạt;
• $q$ là giá trị cần ước lượng, có cùng đơn vị với dữ liệu.

Trước nhóm đã tích lũy được $F$, nên phần còn thiếu là $r-F$. Phần ấy chiếm tỉ lệ $\frac{r-F}{f}$ của tần số nhóm. Theo giả thiết tăng đều, ta lấy cùng tỉ lệ ấy của độ rộng $h$, rồi cộng vào đầu trái $a$. Do đó

$$q=a+\frac{r-F}{f}\,h.$$

Cũng có thể diễn đạt bằng phương trình: tại giá trị $q$, phần độ rộng đã xét là $q-a$, chiếm tỉ lệ $\frac{q-a}{h}$ của cả nhóm. Tần số tích lũy ước lượng tại đó là $F+f\frac{q-a}{h}$. Yêu cầu đạt mức $r$ cho

$$F+f\frac{q-a}{h}=r \quad\Longrightarrow\quad q-a=\frac{r-F}{f}\,h \quad\Longrightarrow\quad q=a+\frac{r-F}{f}\,h.$$

Chọn mức tích lũy và chọn nhóm. Với mẫu gồm $n$ giá trị, các mức tần số tích lũy cần đạt là $r=\frac{n}{2}$ cho trung vị, $r=\frac{n}{4}$ cho $Q_1$ và $r=\frac{3n}{4}$ cho $Q_3$. Từ bảng cộng dồn, chọn nhóm có mức trước nhóm $F$ và mức đến hết nhóm $F+f$ thỏa $F\leq r\leq F+f$, với $f>0$. Nếu $F<r<F+f$, kết quả nằm bên trong nhóm.

Nếu mức cần đạt $r$ đúng bằng tần số tích lũy ở biên chung của hai nhóm kề nhau có tần số dương, ta có thể tính từ nhóm đứng trước hoặc nhóm đứng sau. Hai phép tính cùng cho giá trị ở biên ấy.

Chẳng hạn, bảng ở Nhiệm vụ 27 có nhóm $[215;220)$ với $F=10$, $f=7$ và nhóm $[220;225)$ với $F=17$, $f=11$. Khi cần đạt $r=17$:

• Tính từ nhóm $[215;220)$, ta cần thêm đủ $17-10=7$ quan sát, bằng toàn bộ tần số của nhóm. Vì vậy, ta đi hết độ rộng nhóm và được $215+\frac{17-10}{7}\cdot5=220$ mm.
• Tính từ nhóm $[220;225)$, tần số tích lũy trước nhóm đã bằng $17$. Ta không cần đi thêm vào nhóm, nên được $220+\frac{17-17}{11}\cdot5=220$ mm.

Đây là hai cách tìm cùng một giá trị biên. Quy tắc xếp số đo vào nhóm vẫn giữ nguyên: một số đo bằng $220$ thuộc $[220;225)$, không thuộc $[215;220)$.

Nếu có nhóm tần số bằng $0$. Nhóm ấy không chứa quan sát nào, nên không được chọn để thay vào công thức có mẫu số $f$. Cần phân biệt trường hợp này với hai nhóm có tần số dương ở ngay cạnh nhau. Nếu giữa chúng có một hoặc nhiều nhóm không chứa quan sát, tần số tích lũy giữ nguyên trên cả khoảng trống ấy. Khi mức cần đạt đúng bằng mức đang giữ nguyên, điều kiện về tần số tích lũy chưa chọn được một giá trị duy nhất trong khoảng trống. Vì vậy, không áp dụng kết luận “hai cách tính cho cùng một biên” qua khoảng trống này; muốn chọn một giá trị cụ thể cần thêm quy tắc cho tình huống đó.

Vì sao mẫu lẻ dùng vị trí giữa, còn bảng nhóm dùng $\frac{n}{2}$? Với danh sách $49$ số đo gốc đã sắp, ta có thể tìm chính xác giá trị ở vị trí thứ $25$. Khi chỉ còn bảng nhóm, ta không biết giá trị ấy. Phép ước lượng tìm giá trị tại đó tần số tích lũy tăng đều đạt $\frac{49}{2}=24{,}5$, tức $50\%$ tổng tần số. Mức $24{,}5$ thuộc cách mô tả liên tục này; nó không phải số thứ tự của một cá thể hay “nửa cá thể” thật. Hai cách trả lời hai việc khác nhau — tìm giá trị từ danh sách đã biết và ước lượng từ bảng — nên có thể cho kết quả khác nhau.

4.3. Mốt của mẫu ghép nhóm

Khi còn danh sách từng số đo, ta tìm mốt bằng cách đếm xem giá trị nào xuất hiện nhiều nhất. Nhưng khi các số đo đã được ghép thành từng khoảng, bảng chỉ cho biết mỗi khoảng chứa bao nhiêu giá trị, không còn cho biết mỗi giá trị xuất hiện bao nhiêu lần.

Trở lại bảng $49$ số đo chiều dài cánh bơi của chim Adélie năm 2007. Nhóm $[180;185)$ mm có tần số lớn nhất là $15$. Hai nhóm liền trước và liền sau có tần số như sau:

Bảng cho biết có $15$ cá thể mang số đo từ $180$ mm đến dưới $185$ mm. Tuy nhiên, ta chưa biết các số đo ấy là bao nhiêu và số đo nào lặp lại nhiều nhất. Vì vậy, biết nhóm đông nhất chưa đủ để tìm lại mốt của mẫu gốc.

Để tính mốt của mẫu ghép nhóm, trước hết ta chọn nhóm có tần số lớn nhất. Nhóm này được gọi là nhóm chứa mốt. Sau đó, ta dùng một quy tắc ước lượng để chọn một giá trị từ nhóm ấy, có xét thêm tần số của hai nhóm liền kề.

Từ ba cột tần số đến một giá trị ước lượng. Ba nhóm đang xét đều rộng $5$ mm. Ta biểu diễn chúng bằng ba hình chữ nhật có cùng chiều rộng và có chiều cao lần lượt là $3$, $15$, $10$.

Chỉ riêng cột cao nhất chưa giúp ta chọn một điểm cụ thể từ $180$ đến $185$: toàn bộ cạnh trên của cột đều cao như nhau. Cách dựng dưới đây sử dụng thêm chiều cao của hai cột bên cạnh:

• Vẽ đoạn thẳng đi lên, từ mức $3$ ở cạnh trái của cột giữa đến mức $15$ ở cạnh phải.
• Vẽ đoạn thẳng đi xuống, từ mức $15$ ở cạnh trái của cột giữa đến mức $10$ ở cạnh phải.

Trong hình, đoạn đi lên được vẽ bằng nét liền đỏ; đoạn đi xuống bằng nét đứt xám. Hai đoạn cắt nhau bên trong cột giữa được tô vàng nhạt. Từ giao điểm, kẻ đường vuông góc xuống trục chiều dài cánh bơi. Giá trị đọc được trên trục là mốt ước lượng theo cách dựng này.

Đây là một quy tắc ước lượng từ bảng nhóm. Bảng không cho biết cách phân bố cụ thể của các số đo bên trong mỗi nhóm, nên không thể tự nó xác nhận vị trí nào là mốt của mẫu gốc. Phép dựng hai đoạn thẳng giúp xác định giá trị mà công thức mốt ghép nhóm sẽ cho.

Tính vị trí giao điểm. Gọi $t$ là khoảng cách theo phương ngang từ đầu trái $180$ đến vị trí cần tìm, tính bằng mm. Cả nhóm rộng $5$ mm, nên phần độ rộng đã đi qua là

$$\frac{t}{5}.$$

Đoạn thẳng đi lên bắt đầu ở mức $3$ và kết thúc ở mức $15$, tức tăng tổng cộng

$$15-3=12.$$

Vì đây là đoạn thẳng, đi qua bao nhiêu phần chiều rộng thì độ cao tăng thêm bấy nhiêu phần của $12$. Do đó, tại vị trí cách đầu trái $t$ mm, độ cao của đoạn này là

$$3+12\cdot\frac{t}{5}.$$

Tương tự, đoạn thẳng đi xuống bắt đầu ở mức $15$ và kết thúc ở mức $10$, tức giảm tổng cộng

$$15-10=5.$$

Tại cùng vị trí ấy, độ cao của đoạn này là

$$15-5\cdot\frac{t}{5}.$$

Tại giao điểm, hai đoạn thẳng có cùng độ cao. Vì vậy,

$$3+12\cdot\frac{t}{5} = 15-5\cdot\frac{t}{5}.$$

Chuyển các số hạng và thu gọn, ta được

$$(12+5)\cdot\frac{t}{5}=12,$$

suy ra

$$\frac{t}{5}=\frac{12}{12+5}, \qquad t=\frac{12}{17}\cdot5.$$

Như vậy, từ đầu trái $180$, ta đi thêm $\frac{12}{17}$ độ rộng nhóm. Mốt ước lượng là

$$\begin{aligned} M_{o,\text{nhóm}} &=180+\frac{12}{17}\cdot5\\ &\approx183{,}53\ \text{mm}. \end{aligned}$$

Hai số $12$ và $5$ trong tỉ số có nguồn gốc cụ thể: $12=15-3$ là mức tăng của đoạn đi lên; $5=15-10$ là mức giảm của đoạn đi xuống. Chúng xuất hiện trong công thức khi ta tìm vị trí mà hai đoạn có cùng độ cao.

Công thức tổng quát. Xét bảng có ít nhất hai nhóm liên tiếp cùng độ rộng và có đúng một nhóm đạt tần số lớn nhất. Gọi:

• $a$ là đầu trái của nhóm có tần số lớn nhất;
• $h>0$ là độ rộng nhóm;
• $f$ là tần số của nhóm ấy;
• $f_-$ và $f_+$ lần lượt là tần số của nhóm liền trước và nhóm liền sau.

Trong cách dựng vừa xét, đoạn đi lên tăng $f-f_-$, còn đoạn đi xuống giảm $f-f_+$. Vì vậy, phần độ rộng cần lấy từ đầu trái là

$$\frac{f-f_-}{(f-f_-)+(f-f_+)}.$$

Nhân tỉ số ấy với độ rộng $h$, rồi cộng vào đầu trái $a$, ta được

$$M_{o,\text{nhóm}} = a+ \frac{f-f_-}{(f-f_-)+(f-f_+)}\,h.$$

Nếu nhóm có tần số lớn nhất đứng đầu bảng, ta dùng quy ước $f_-=0$; nếu đứng cuối bảng, ta dùng $f_+=0$.

Khi chỉ có một nhóm đạt tần số lớn nhất, cả hai độ chênh $f-f_-$ và $f-f_+$ đều dương. Tỉ số trong công thức vì thế nằm giữa $0$ và $1$, nên giá trị tính được nằm bên trong nhóm đã chọn.

Công thức cũng cho thấy vai trò của hai nhóm liền kề:

• Nếu hai nhóm ấy có cùng tần số, hai độ chênh bằng nhau. Tỉ số bằng $\frac{1}{2}$, nên kết quả là trung điểm của nhóm chứa mốt.
• Nếu nhóm bên phải có tần số lớn hơn nhóm bên trái, độ chênh về phía phải nhỏ hơn. Tỉ số lớn hơn $\frac{1}{2}$, nên kết quả nằm về bên phải trung điểm.

Trong ví dụ trên, nhóm bên phải có tần số $10$, lớn hơn tần số $3$ của nhóm bên trái. Kết quả $183{,}53$ mm vì thế lớn hơn trung điểm $182{,}5$ mm, đúng với vị trí giao điểm trên hình.

Điều kiện cần kiểm trước khi tính. Công thức trên dùng cho các nhóm cùng độ rộng. Nếu một nhóm rộng hơn nhóm khác, nhóm ấy có thể chứa nhiều quan sát hơn chỉ vì khoảng của nó rộng hơn. Khi đó, so sánh riêng tần số chưa đủ để xác định nơi dữ liệu tập trung nhiều hơn; không thay trực tiếp vào công thức này. Ví dụ 09 sẽ minh họa trường hợp các nhóm khác độ rộng.

Nếu tất cả các nhóm có cùng tần số, quy ước đang dùng là mẫu ghép nhóm không có mốt.

Nếu có nhiều nhóm cùng đạt tần số lớn nhất. Trước hết, xác định những nhóm ấy và xem chúng có kề nhau không. Số nhóm có tần số lớn nhất chưa cho biết sẽ có bao nhiêu giá trị mốt khác nhau khi tính bằng công thức.

Chẳng hạn, bốn nhóm $[0;10)$, $[10;20)$, $[20;30)$, $[30;40)$ có tần số lần lượt là $3;8;8;2$. Hai nhóm ở giữa cùng có tần số lớn nhất. Nếu xét nhóm $[10;20)$, hai độ chênh là $8-3=5$ và $8-8=0$, nên công thức cho $10+\frac{5}{5+0}\cdot10=20$. Nếu xét nhóm $[20;30)$, hai độ chênh là $8-8=0$ và $8-2=6$, nên công thức cho $20+\frac{0}{0+6}\cdot10=20$. Hai nhóm được xét nhưng chỉ có một giá trị tính được: biên chung $20$.

Nếu một nhóm và cả hai nhóm liền kề đều cùng đạt tần số lớn nhất, cả hai độ chênh đều bằng $0$. Công thức khi ấy có mẫu số bằng $0$, nên không tính được giá trị mốt từ nhóm đang xét. Trong bài làm, cần chỉ ra các nhóm cùng đạt tần số lớn nhất và nói rõ công thức không xác định ở nhóm nào. Nếu đề chưa cho quy tắc xử lí thêm, ta dừng ở kết luận đó, không tự chọn một trung điểm làm mốt. Trường hợp này khác với quy ước không có mốt khi tất cả các nhóm có cùng tần số.