Độ phân tán và so sánh dữ liệu

$n=5$, $\bar{x}=\frac{29}{5}=5{,}8$; trung vị $5$, $Q_1=4$, $Q_3=8$. Hai nửa dùng tính tứ phân vị là $3;5$ và $7;9$.

Có $1+3+2=6$ quan sát. Trung bình là $\frac{1\cdot2+3\cdot4+2\cdot6}{6}=\frac{13}{3}$. Chia tổng ba giá trị cho $3$ đã bỏ qua số lần xuất hiện.

$(-2)^2=4$, $\sqrt9=3$. Căn bậc hai số học là số không âm.

$10\notin[5;10)$ vì khoảng này gồm các số $x$ thỏa $5\le x<10$. Biên phải $10$ không được lấy.

Hai tổng đều bằng $50$, cỡ mẫu đều $5$, nên trung bình bằng $10$. Giá trị chính giữa của mỗi mẫu là $10$. Tuy vậy, mẫu $A$ trải từ $8$ đến $12$, mẫu $B$ từ $2$ đến $18$; các giá trị ngoài cùng của $B$ cách trung tâm xa hơn. Câu trả lời phải chỉ ra sự khác nhau của vị trí các giá trị, không chỉ lặp lại hai trung bình.

$R=12$, $Q_1=4$, $Q_3=7$, $\Delta_Q=3$; $L=-0{,}5$, $U=11{,}5$. Giá trị $14$ bị đánh dấu. Cần kiểm số liệu ghi gốc, đơn vị và điều kiện quan sát để phân biệt lỗi ghi nhận với một trường hợp hiếm nhưng thật. Thay $14$ bằng $24$ làm $R$ thành $22$, còn $\Delta_Q=3$ vì các vị trí quyết định hai tứ phân vị giữ nguyên.

Trung bình là $3$; các độ lệch $-2;-1;0;1;2$ cộng thành $0$. Tổng bình phương độ lệch bằng $10$, nên $s^2=2$ và $s=\sqrt2\approx1{,}41$. Trung bình khoảng cách tuyệt đối là $\frac{2+1+0+1+2}{5}=\frac65=1{,}2$, khác $\sqrt2$. Độ lệch chuẩn lấy căn sau khi lấy trung bình các bình phương, không lấy trung bình trực tiếp các khoảng cách tuyệt đối.

Khoảng biến thiên $R_g=30$ phút; $Q_1=10$, $Q_3=20$, nên $\Delta_{Q,g}=10$ phút. Trung bình nhóm $15$ phút; phương sai $50$ phút bình phương, độ lệch chuẩn $\sqrt{50}\approx7{,}07$ phút.

Nhập trung điểm $5;15;25$ cùng tần số $2;4;2$, tổng tần số $8$. Hai biên ngoài không phải hai giá trị thật đã biết; tứ phân vị được nội suy; trung điểm thay các giá trị bên trong nhóm. Vì thiếu các giá trị gốc, không được gọi những số đo này là chính xác của mẫu gốc.

Trong hai mẫu đã quan sát, $A$ có thời gian trung bình thấp hơn $5$ phút; $B$ có độ lệch chuẩn nhỏ hơn nên thời gian ít phân tán quanh trung bình của chính nó hơn theo số đo này. Muốn chọn dịch vụ cần nêu ưu tiên, chẳng hạn thời gian trung bình hay tính ổn định, và có thể cần dữ liệu về trễ hạn. Độ lệch chuẩn nhỏ hơn chưa đủ cho kết luận “tốt hơn” mọi mặt.

Mẫu sắp xếp là $181;181;186;186;190;190;193;193;195;195$. Tổng bằng $1\,890$ mm nên $\bar{x}=189$ mm. $R=195-181=14$ mm; nửa dưới có trung vị $186$, nửa trên có trung vị $193$, nên $\Delta_Q=7$ mm.

Tổng bình phương độ lệch quanh $189$ là

$$2\cdot8^2+2\cdot3^2+2\cdot1^2+2\cdot4^2+2\cdot6^2=252.$$

Do đó $s^2=25{,}2$ mm bình phương và $s\approx5{,}02$ mm. Hai ngưỡng là $175{,}5$ và $203{,}5$ mm; không giá trị nào bị đánh dấu. Có thể nói phần giữa của mười quan sát có khoảng tứ phân vị $7$ mm, hoặc nêu độ lệch chuẩn cùng mẫu và đơn vị. Chưa đủ căn cứ khẳng định độ lệch chuẩn của toàn loài Adélie bằng $5{,}02$ mm: đây chỉ là mẫu trích theo thứ tự lưu, quy mô nhỏ.

Cả hai mẫu có trung bình $6$, khoảng biến thiên $4$. Với $A$, $Q_1=4{,}5$, $Q_3=7{,}5$, nên $\Delta_Q=3$; tổng bình phương độ lệch bằng $10$, phương sai $2$. Với $B$, $Q_1=5$, $Q_3=7$, nên $\Delta_Q=2$; tổng bình phương độ lệch bằng $8$, phương sai $1{,}6$. Mẫu $B$ có ba quan sát đúng ở trung bình, trong khi hai đầu mút giống $A$. Khoảng biến thiên chưa ghi lại sự tập trung ấy.

$n=12$. Chỉ các nhóm từ $[5;10)$ tới $[15;20)$ có số liệu, nên $R_g=20-5=15$ phút. Tần số tích lũy của ba nhóm có số liệu là $3;9;12$. Mốc $\frac n4=3$ cho $Q_1=10$; mốc $\frac{3n}{4}=9$ cho $Q_3=15$; $\Delta_{Q,g}=5$ phút.

Các trung điểm có tần số dương là $7{,}5;12{,}5;17{,}5$, trung bình nhóm $12{,}5$ phút. Phương sai bằng $\frac{3\cdot25+6\cdot0+3\cdot25}{12}=12{,}5$ phút bình phương; độ lệch chuẩn $\sqrt{12{,}5}\approx3{,}54$ phút. Khoảng biến thiên thật chưa biết: ta chỉ biết giá trị nhỏ nhất ít nhất $5$, lớn nhất nhỏ hơn $20$, nên khoảng biến thiên thật nhỏ hơn $15$ phút.

Cả hai bảng đều có tần số $2;2$. Trung bình hai mẫu đều $10$. Phương sai $A$ là $64$, phương sai $B$ là $4$. Dùng trung điểm $5;15$ với tần số $2;2$ được trung bình nhóm $10$ và phương sai $25$.

Với $A$, phương sai nhóm thấp hơn phương sai thật; với $B$, phương sai nhóm cao hơn phương sai thật. Hai trường hợp phản bác hai khẳng định “luôn tăng” và “luôn giảm”. Việc ghép nhóm làm mất vị trí trong nhóm, không quyết định một chiều sai khác cố định.

Phương sai ban đầu là $0{,}16$ cm bình phương. Đổi sang mm: trung bình $160$ mm, phương sai $16$ mm bình phương, độ lệch chuẩn $4$ mm. Cộng thêm $5$ mm vào mỗi giá trị làm trung bình thành $165$ mm; phương sai vẫn $16$, độ lệch chuẩn vẫn $4$ theo các đơn vị tương ứng, vì trung bình cũng tăng $5$ nên mọi độ lệch được giữ nguyên.

Cân $A$: trung bình $103$ g, phương sai $0$, trung bình cách chuẩn $3$ g. Cân $B$: trung bình $100$ g, phương sai $\frac23$ g bình phương, trung bình trùng chuẩn. Mẫu kết quả $A$ lặp lại ổn định hơn theo phương sai, nhưng sai lệch có hệ thống so với chuẩn. Phương sai xét độ lệch quanh trung bình mẫu, không xét độ lệch quanh giá trị chuẩn.

1. $n=8$, tổng $72$, trung bình $9$ phút. $R=18-6=12$ phút. Hai nửa cho $Q_1=7$, $Q_3=9$, nên $\Delta_Q=2$ phút. 1,25 điểm: trung bình 0,25; khoảng biến thiên 0,25; hai tứ phân vị 0,5; hiệu 0,25.

2. Tổng bình phương độ lệch so với $9$ là $9+4+4+1+1+0+0+81=100$. Do đó $s^2=12{,}5$ phút bình phương, $s\approx3{,}54$ phút. 1 điểm: phương sai 0,5; căn và kết quả 0,25; đơn vị 0,25.

3. Ngưỡng dưới $7-1{,}5\cdot2=4$, ngưỡng trên $9+1{,}5\cdot2=12$; $18$ bị đánh dấu. Kiểm lại việc ghi giờ, đơn vị và tình huống chuẩn bị trước khi quyết định có lỗi số liệu hay có một đơn hàng thật sự kéo dài. 0,75 điểm: ngưỡng 0,25; giá trị 0,25; giải thích cần kiểm thêm 0,25.

1. $n=20$, $R_g=50-10=40$ phút. Tần số tích lũy $2;8;16;20$.

$$Q_1=20+\frac{5-2}{6}\cdot10=25,\qquad Q_3=30+\frac{15-8}{8}\cdot10=38{,}75.$$

Vậy $\Delta_{Q,g}=13{,}75$ phút. 1,25 điểm: khoảng biến thiên 0,25; mỗi tứ phân vị 0,25; khoảng tứ phân vị 0,5.

2. Trung điểm $15;25;35;45$. Tổng có trọng số $640$ nên $\bar{x}_g=32$ phút. Tổng bình phương trung điểm có trọng số là $22\,100$:

$$s_g^2=\frac{22\,100}{20}-32^2=81,\qquad s_g=9.$$

Đơn vị lần lượt là phút bình phương và phút. 1,25 điểm: trung bình 0,5; phương sai 0,5; độ lệch chuẩn và đơn vị 0,25.

3. Câu báo cáo chưa đúng. $9$ phút là độ lệch chuẩn tính từ trung điểm và tần số nhóm; bảng không cho từng thời gian thật bên trong nhóm. Không được gọi nó là số chính xác của mẫu gốc. 0,5 điểm: phân biệt đối tượng 0,25; giải thích thông tin mất và phép thay thế 0,25.

1. Đúng. Trung bình giữ nguyên; tử số có trọng số và cỡ mẫu đều gấp đôi, nên phương sai không đổi.

2. Sai. Trung bình cũng tăng $3$, nên từng độ lệch quanh trung bình không đổi; phương sai giữ nguyên.

3. Đúng. Tổng các bình phương không âm bằng $0$ buộc từng bình phương bằng $0$.

4. Sai. Biên nhóm chỉ giới hạn vị trí của giá trị ngoài cùng; nhiều mẫu gốc có thể có cùng bảng nhóm và khoảng biến thiên khác nhau.

5. Sai. Hai trung bình đều bằng $2$, nhưng phương sai lần lượt là $\frac83$ và $\frac23$. Trung bình chưa ghi lại độ lớn của các độ lệch quanh nó.

Mỗi ý 0,5 điểm khi kết luận kèm lí do hoặc phản ví dụ đúng; chỉ khoanh đúng mà chưa giải thích nhận 0,25 điểm mỗi ý.

1. $A$ có thời gian trung bình thấp hơn $1$ phút; $B$ có độ lệch chuẩn nhỏ hơn, nên ít phân tán quanh trung bình của chính mẫu đó hơn theo số đo này. 0,5 điểm.

2. Không. Trung bình và độ lệch chuẩn không cho từng giá trị hoặc hai đầu mút; chưa chứng minh mọi lượt của $A$ đều nhanh hơn mọi lượt của $B$. 0,5 điểm.

3. Chẳng hạn: “Nếu ưu tiên thời gian trung bình trong hai mẫu quan sát, chọn $A$; nếu ưu tiên độ phân tán quanh trung bình nhỏ, $B$ đáp ứng tiêu chí ấy hơn.” Có thể chấp nhận lựa chọn khác khi tiêu chí rõ và được dữ liệu hỗ trợ. 0,5 điểm.

Trung bình $6$ phút; $R=8$ phút. Hai nửa $3;4;5$ và $6;7;11$ cho $Q_1=4$, $Q_3=7$, nên $\Delta_Q=3$ phút. Tổng bình phương độ lệch bằng $9+4+1+0+1+25=40$; $s^2=\frac{20}{3}$ phút bình phương, $s\approx2{,}58$ phút.

Hai ngưỡng là $-0{,}5$ và $11{,}5$ phút; không có giá trị bị đánh dấu. Khoảng biến thiên dùng $3$ và $11$, còn khoảng tứ phân vị dùng các vị trí ở phần giữa; chúng mô tả hai mặt khác nhau, không có yêu cầu phải bằng nhau.

Khi cộng $5$ phút, các đầu mút, tứ phân vị và trung bình đều tăng $5$ phút. Các hiệu và độ lệch quanh trung bình giữ nguyên, nên cả bốn số đo độ phân tán không đổi.

$n=10$; trung điểm $2;6;10;14$; trung bình nhóm $8{,}8$ phút. $R_g=16$ phút. Mốc $2{,}5$ thuộc nhóm thứ hai, mốc $7{,}5$ thuộc nhóm thứ ba:

$$Q_1=4+\frac{2{,}5-1}{3}\cdot4=6,\qquad Q_3=8+\frac{7{,}5-4}{4}\cdot4=11{,}5.$$

Do đó $\Delta_{Q,g}=5{,}5$ phút. Tổng bình phương trung điểm có trọng số là $904$; $s_g^2=\frac{904}{10}-8{,}8^2=12{,}96$ phút bình phương, $s_g=3{,}6$ phút.

Khoảng cách không quá một độ lệch chuẩn tới trung bình nhóm tương ứng với $[5{,}2;12{,}4]$. Bảng có một người chờ trong $[0;4)$, nên ít nhất một thời gian thật nằm ngoài khoảng này. Bảng không chứng minh nhận xét; trái lại, đã đủ bác nhận xét đó. Đây còn là ví dụ cho thấy độ lệch chuẩn không phải khoảng cách lớn nhất.

Với mẫu $2;6;6;6;6;10$, hai nửa đều có trung vị $6$, nên $Q_1=Q_3=6$ và $\Delta_Q=0$. Trung bình bằng $6$, nhưng $s^2=\frac{16+0+0+0+0+16}{6}=\frac{16}{3}>0$. Hai đầu mút vẫn khác $6$. Khoảng tứ phân vị bằng $0$ chưa buộc mọi quan sát bằng nhau.

1. Trung bình mẫu $A$ trùng chuẩn, trung bình mẫu $B$ thấp hơn chuẩn $2$ g. $B$ có độ lệch chuẩn nhỏ hơn nên ít phân tán quanh trung bình của chính nó hơn theo số đo này.

2. Một gam bằng $0{,}001$ kg. Độ lệch chuẩn của $A,B$ lần lượt là $0{,}003$ kg và $0{,}001$ kg; phương sai lần lượt $0{,}000009$ và $0{,}000001$ kg bình phương.

3. Chưa đủ. Cần biết số quan sát dưới ngưỡng hoặc phân bố dữ liệu cùng cỡ mẫu nếu so số sản phẩm; trung bình và độ lệch chuẩn chưa xác định số sản phẩm dưới $195$ g. Không dùng “phân tán ít” để thay cho việc đếm theo ngưỡng.

4. Trung điểm là $2;6;10$, cỡ mẫu $4$, trung bình nhóm $6$. Phương sai nhóm bằng $\frac{16+2\cdot0+16}{4}=8$ phút bình phương. Cả $C,D$ đều có tần số nhóm $1;2;1$ và trung bình $6$. Phương sai mẫu $C$ bằng $\frac{25+1+1+25}{4}=13$; của $D$ bằng $\frac{9+1+1+9}{4}=5$ phút bình phương. Vì $5<8<13$, giá trị từ bảng có thể thấp hơn hoặc cao hơn phương sai mẫu gốc; không phải một cận chung.

Hai mẫu cùng trung bình $5$ và $R=8$. Phương sai $A$ là $\frac{16+9+0+9+16}{5}=10$; phương sai $B$ là $\frac{16+1+0+1+16}{5}=6{,}8$. Đạt khi nêu rõ hai giá trị bên trong đã chuyển gần trung bình hơn nhưng hai đầu mút không đổi, nên khoảng biến thiên chưa phản ánh thay đổi ấy.

Trung bình bằng $2$. Tổng độ lệch có dấu là $-2-2+4=0$; trung bình khoảng cách tuyệt đối là $\frac83$; phương sai $\frac{4+4+16}{3}=8$, nên độ lệch chuẩn $2\sqrt2$. Đạt khi phân biệt sự triệt tiêu dấu, lấy trị tuyệt đối và bình phương rồi lấy căn.

$n=6$, $\bar{x}=\frac{4\cdot1+2\cdot3}{6}=\frac53$.

$$s^2=\frac{4\left(1-\frac53\right)^2+2\left(3-\frac53\right)^2}{6}=\frac89.$$

Có sáu đóng góp từ sáu quan sát, không phải hai. Gấp ba mọi tần số làm cả tổng có trọng số và cỡ mẫu gấp ba, giữ trung bình và phương sai. Đạt khi giải thích đúng mẫu số và tính bất biến này.

Các nhóm có số liệu trải từ $4$ đến $12$, nên $R_g=8$. Có $n=4$; mốc $1$ thuộc $[4;8)$, mốc $3$ thuộc $[8;12)$. Nội suy cho $Q_1=4+\frac12\cdot4=6$, $Q_3=8+\frac{3-2}{2}\cdot4=10$, nên $\Delta_{Q,g}=4$. Trung điểm $6;10$ với tần số $2;2$ cho trung bình $8$, phương sai $4$.

Chẳng hạn mẫu $7;7;8;8$ phù hợp với bảng nhưng có khoảng biến thiên $1$, trung bình $7{,}5$ và phương sai $0{,}25$. Đạt đúng lỗi đang sửa khi bỏ đúng nhóm trống ngoài cùng, chọn đúng nhóm và nội suy đúng tứ phân vị nếu đó là chỗ đã sai, hoặc dùng một mẫu gốc cụ thể để chỉ ra số đo thật chưa được bảng xác định. Không lấy việc đúng một phép tính thay cho xác nhận các phép tính còn lại.

$Q_1=5{,}5$, $Q_3=7$, $\Delta_Q=1{,}5$. Hai ngưỡng $3{,}25$ và $9{,}25$, nên $20$ bị đánh dấu. Cần phân biệt lỗi nhập/đo với một quan sát hiếm nhưng đúng. Đạt khi tính đúng ngưỡng và không coi ngưỡng là bằng chứng tự động cho phép xóa.

Độ lệch chuẩn $5$ cm; đổi đơn vị được phương sai $2\,500$ mm bình phương và độ lệch chuẩn $50$ mm. Cộng $100$ mm vào mọi giá trị không đổi độ lệch so với trung bình, nên hai số đo phân tán giữ nguyên. Đạt khi phân biệt hệ số $10$ của độ lệch chuẩn với hệ số $100$ của phương sai.

Mẫu $A$ ít phân tán quanh trung bình hơn theo độ lệch chuẩn. Trung bình mẫu $B$ gần chuẩn hơn: khoảng cách $0{,}1$ g so với $1$ g của $A$. Chưa biết từng giá trị nên không kết luận mọi phép đo của $B$ gần chuẩn hơn mọi phép đo của $A$. Đạt khi phân biệt so sánh độ phân tán, so sánh trung bình với chuẩn và khẳng định về từng quan sát.

$Q_1=Q_3=8$, nên $\Delta_Q=0$. Trung bình $8$, tổng bình phương độ lệch $25+25=50$, nên $s^2=\frac{50}{8}=6{,}25$. Mẫu vẫn có $3$ và $13$. Đạt khi giải thích được khoảng tứ phân vị chỉ phản ánh phần giữa, còn điều kiện phương sai bằng $0$ liên quan đến mọi quan sát.