Chương trình giáo dục nâng cao trong trường trung học phổ thông chuyên nhằm mục đích phát triển năng khiếu của học sinh đối với môn học, trên cơ sở bảo đảm giáo dục phổ thông toàn diện. Giúp học sinh có khả năng tự học, nghiên cứu khoa học và sáng tạo. Giáo dục học sinh thành người có lòng yêu nước, tinh thần vượt khó, tự hào, tự tôn dân tộc, có sức khỏe tốt để có thể tiếp tục đào tạo thành nhân tài đáp ứng yêu cầu phát triển đất nước.

Chương trình giáo dục nâng cao các môn chuyên kế thừa, nâng cao từ nội dung chương trình môn học quy định tại chương trình giáo dục phổ thông. Chương trình giáo dục nâng cao môn học hệ thống hoá, nâng cao kiến thức, phát triển kĩ năng và giá trị cốt lõi của học sinh đã được học từ chương trình giáo dục phổ thông nhằm phát triển năng khiếu của học sinh đối với từng môn chuyên. Nội dung giáo dục môn chuyên tại trường trung học phổ thông chuyên bao gồm nội dung chương trình môn học được ban hành tại chương trình giáo dục phổ thông và chương trình giáo dục nâng cao môn học.

Đối với môn Toán, bên cạnh việc tiếp thu, kế thừa thành công, ưu điểm của chương trình giáo dục nâng cao môn Toán hiện hành của Việt Nam, Chương trình môn Toán nâng cao được xây dựng trên cơ sở nghiên cứu chuyên sâu chương trình môn Toán của một số quốc gia, vùng lãnh thổ. Kết quả nghiên cứu đó cho phép rút ra các xu hướng chung trong xây dựng chương trình giáo dục nâng cao môn Toán vận dụng cho Việt Nam.

I. Mục tiêu

Chương trình giáo dục nâng cao môn Toán dành cho học sinh đạt kết quả xuất sắc trong học tập nhằm phát triển năng khiếu về môn học trên cơ sở bảo đảm mục tiêu giáo dục toàn diện, tạo nguồn đào tạo nhân tài, đáp ứng yêu cầu phát triển của đất nước; đồng thời cùng các môn học và hoạt động giáo dục khác phát triển ở học sinh các phẩm chất chủ yếu và năng lực chung đã được hình thành trong giai đoạn giáo dục cơ bản, đặc biệt là tình yêu quê hương, đất nước; thái độ ứng xử đúng đắn với môi trường tự nhiên, xã hội; khả năng tự học, nghiên cứu khoa học và sáng tạo, khả năng định hướng nghề nghiệp.

II. Yêu cầu cần đạt

2.1. Yêu cầu cần đạt về phẩm chất chủ yếu và năng lực chung

Chương trình giáo dục nâng cao môn Toán dành cho học sinh trường trung học phổ thông chuyên góp phần hình thành và phát triển ở học sinh các phẩm chất chủ yếu và năng lực chung theo các mức độ phù hợp với môn học, cấp học đã được quy định tại chương trình giáo dục phổ thông; đó là phẩm chất yêu nước, nhân ái, chăm chỉ, trung thực, trách nhiệm, tự chủ và tự học và các năng lực cốt lõi, đặc thù ở mức độ cao, phù hợp với học sinh trường chuyên.

2.2. Yêu cầu cần đạt về năng lực đặc thù

Chương trình giáo dục nâng cao môn Toán dành cho học sinh trường trung học phổ thông chuyên góp phần hình thành và phát triển cho học sinh các năng lực cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán.

III. Nội dung giáo dục

Chương trình giáo dục nâng cao môn Toán dành cho học sinh trường trung học phổ thông chuyên gồm nội dung giáo dục nâng cao bắt buộc và nội dung giáo dục nâng cao lựa chọn. Cụ thể:

3.1. Nội dung giáo dục nâng cao bắt buộc

3.1.1. Khái quát nội dung nâng cao

BẤT ĐẲNG THỨC

Chuyên đề. Bất đẳng thức

Các phương pháp đại số chứng minh bất đẳng thức.
Các phương pháp giải tích chứng minh bất đẳng thức
Các bài toán cực trị

TOÁN RỜI RẠC

Chuyên đề 1. Một số nguyên lý toán rời rạc

Nguyên lý Dirichlet. Khởi đầu cực trị, bất biến
Một số bài toán trò chơi

Chuyên đề 2. Bài toán đếm

Ứng dụng công thức, quy tắc cộng và quy tắc nhân
Công thức tổ hợp trong khai triển đa thức
Tính số phần tử của tập hợp bằng áp dụng công thức tổ hợp

Chuyên đề 3. Hình học tổ hợp

Hình lồi
Đường kính của hình
Mạng lưới ô vuông

Chuyên đề 4. Lý thuyết đồ thị

Các khái niệm cơ bản của đồ thị
Một số loại đồ thị cơ bản

HÌNH HỌC PHẲNG

Chuyên đề 1. Ứng dụng của véc tơ, tỉ số đơn, tỉ số kép

Ứng dụng của véc-tơ trong hình học phẳng
Độ dài đại số, tỉ số đơn, tỉ số kép và ứng dụng

Chuyên đề 2. Hệ thức lượng trong tam giác và trong đường tròn

Ứng dụng của hệ thức lượng trong tam giác
Ứng dụng của hệ thức lượng trong đường tròn
Cực và đối cực đối với đường tròn

Chuyên đề 3. Các phép biến hình trong mặt phẳng

Các phép dời hình trong mặt phẳng
Các phép đồng dạng trong mặt phẳng
Phép nghịch đảo

Chuyên đề 4. Ứng dụng của số phức trong hình học phẳng

SỐ HỌC

Chuyên đề. Số học

Đồng dư
Phương trình nghiệm nguyên

GIẢI TÍCH

Chuyên đề. Giải tích

Phương trình hàm
Các định lý cơ bản của Giải tích và ứng dụng

ĐA THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

Chuyên đề. Đa thức và phương trình đại số

Đa thức và nghiệm
Nội suy đa thức
Phương trình, hệ phương trình đa thức và quy về đa thức

3.1.2. Nội dung các chuyên đề và yêu cầu cần đạt

STT	Chuyên đề		Yêu cầu cần đạt	Ghi chú
BẤT ĐẲNG THỨC
1	Bất đẳng thức	1. Các phương pháp đại số chứng minh bất đẳng thức Sử dụng các bất đẳng thức cổ điển(trung bình cộng-trung bình nhân (AM-GM), Cauchy-Schwarz, Bernoulli, Holder, hoán vị) Các phương pháp biến đổi đại số: SOS, dồn biến, PQR.	Sử dụng được các bất đẳng thức cổ điển (AM-GM, Cauchy-Schwarz, Bernoulli, Holder, hoán vị) để chứng minh bất đẳng thức. Vận dụng được các phương pháp biến đổi đại số: SOS, dồn biến, PQR.	Lớp 10 Lớp 11
		2. Các phương pháp giải tích chứng minh bất đẳng thức PHân loại lớp các hàm đơn điệu. Hàm lồi và bất đẳng thức.	Phân loại được lớp các hàm đơn điệu (đơn điệu, đơn điệu tuyệt đối, đơn điệu có tính tuần hoàn, đơn điệu từng khúc,…). Nhận biết được khái niệm hàm lồi, hàm lồi khả vi và bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức Karamata.
		3. Các bài toán cực trị Cực trị hàm một biến. Bất đẳng thức và bài toán cực trị. Cực trị hàm nhiều biến.	Giải được các bài toán cực trị hàm một biến bằng đại số (phân tích ra thừa số) và giải tích (khảo sát hàm số). Áp dụng được bất đẳng thức vào bài toán cực trị. Vận dụng phương pháp giảm dần các biến số.
TOÁN RỜI RẠC
2	1. Một số nguyên lý toán rời rạc	1.1. Nguyên lý Dirichlet. Khởi đầu cực trị, bất biến	Hiểu nguyên lý Dirichlet, vận dụng giải bài toán bằng áp dụng nguyên lý Dirichlet. Hiểu nguyên lý khởi đầu cực trị, vận dụng được nguyên lý vào chứng minh và giải bài toán. Hiểu khái niệm bất biến. Vận dụng bất biến giải một số bài toán không có thể thực hiện được.	Lớp 10
2	1. Một số nguyên lý toán rời rạc	1.2. Một số bài toán trò chơi	Tìm được bất biến trong bài toán trò chơi, vận dụng bất biến để tìm thuật toán chiến thắng.	Lớp 10
3	2. Bài toán đếm	2.1. Ứng dụng công thức, quy tắc cộng và quy tắc nhân	Vận dụng các công thức tổ hợp, phân chia bài toán để áp dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân. Phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp, áp dụng công thức tính tổ hợp.	Lớp 10
		2.2. Công thức tổ hợp trong khai triển đa thức	Tính được hệ số của đa thức bằng các công thức tổ hợp. Vận dụng hệ số đa thức giải bài toán đếm.	Lớp 11
		2.3. Tính số phần tử của tập hợp bằng cách áp dụng công thức tổ hợp	Hiểu được công thức tính số phần tử của một hợp các tập hợp. HIểu được một số công thức tính số phần tử của các tập hợp con.	Lớp 12
4	3. Hình học tổ hợp	3.1. Hình lồi	Hiểu được khái niệm hình lồi. Xác định được giao và hợp của chúng. Biết cách xây dựng bao lồi của một tập hợp điểm cho trước. Hiểu cách vận dụng và cách chứng minh định lý về giao khác rỗng của một họ các hình lồi cho trước.	Lớp 11
		3.2. Đường kính của hình	Hiểu được khái niệm đường kính của hình. Hiểu cách chia một hình thành các hình có đường kính nhỏ hơn. Vận dụng kết quả để giải quyết các bài toán liên quan. Hiểu phương pháp chứng minh một hình có thể phủ được bởi một hình đặc biệt (hình tròn, hình vuông, hình tam giác đều và hình lục giác đều).	Lớp 11
		3.3. Mạng lưới ô vuông	Hiểu được khái niệm tam giác đơn, phân biệt tam giác đơn và tam giác nguyên. Vận dụng định lý Pick vào giải một bài toán với đa giác nguyên. Nhận biết hình lồi đối xứng tâm tọa độ và áp dụng được định lý Minkowski.	Lớp 11
5	4. Lý thuyết đồ thị	4.1. Các khái niệm cơ bản của đồ thị	Hiểu và phân biệt đồ thị được khái niệm tam giác đơn, phân biệt tam giác đơn và tam giác nguyên. Vận dụng định lý Pick vào giải một bài toán với đa giác nguyên. Nhận biết hình lồi đối xứng tâm tọa độ và áp dụng được định lý Minkowski.	Lớp 12
5	4. Lý thuyết đồ thị	4.2. Một số loại đồ thị cơ bản.	Hiểu được các khái niệm đồ thị đầy đủ, đồ thị đều, cây, đồ thị lưỡng phân và đồ thị phẳng. Vận dụng kiến thức đồ thị giải quyết một số bài toán cho các lớp đồ thị đặc biệt này.	Lớp 12
HÌNH HỌC PHẲNG
6	1. Ứng dụng của véc-tơ, tỉ số đơn, tỉ số kép	1.1. Ứng dụng của véc-tơ trong hình học phẳng Tâm tỉ cự Tọa độ véc-tơ Độ dài đại số của đoạn thẳng Tích vô hướng của hai véc-tơ Định lý đường thẳng Gauss, định lý Thales, định lý Menelaus, định lý Ceva, định lý Desargue, định lý Papus, định lý Carnot.	Hiểu được các khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm, trọng tâm hệ điểm. Hiểu được phép chiếu song song véc-tơ lên một hệ trục. BIết cách xác định tọa độ của véc-tơ trên một trục, biết xác định độ dài đại số của một đoạn thẳng trên một trục khi đã chọn hướng cho trước. Biết cách phân tích một véc-tơ trong mặt phẳng thành tổ hợp tuyến tính của hai véc-tơ không cùng phương. Vận dụng được véc-tơ và tâm tỉ cự để chứng minh các đường thẳng đồng quy hay các điểm thẳng hàng; chứng minh điểm là trung điểm đoạn thẳng; chứng minh định lý đường thẳng Gauss. Vận dụng được tích vô hướng giữa hai véc-tơ để: tính góc tạo bởi các véc-tơ hoặc các đường thẳng; tính độ dài các đoạn thẳng; chứng minh các đường thẳng vuông góc. Chứng minh được định lý Carnot về ba đường thẳng đồng quy. Biết cách xác định tỉ lệ các độ dài đại số của các đoạn thẳng trên cùng một đường thẳng. Vận dụng độ dài đại số để thiết lập được định lý Thales, định lý Menelaus, định lý Ceva. Vận dụng được tỉ lệ độ dài đại số để chứng minh ba điểm thẳng hàng qua phép chiếu song song lên các trục không cùng phương.	Lớp 10
6	1. Ứng dụng của véc-tơ, tỉ số đơn, tỉ số kép	1.2. Độ dài đại số, tỉ số đơn, tỉ số kép và vận dụng Tỉ số đơn, tỉ số kép Hàng điểm điều hòa, chùm điều hòa, tứ giác toàn phần	Biết cách xác định tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng, tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng và mối liên hệ giữa chúng. Biết cách xác định tỉ số kép của chùm đường thẳng. HIểu được khái niệm hàng điểm điều hòa và các tính chất (hệ thức Newton và hệ thức Maclaurin), chùm đường thẳng điều hòa. Hiểu được định lý tứ giác toàn phần. Vận dụng được khái niệm và định lý trên trong các bài toán liên quan.	Lớp 10
7	2. Hệ thức lượng trong tam giác và trong đường tròn	2.1. Ứng dụng của hệ thức lượng trong tam giác Hệ thức lượng trong tam giác Định lý Ceva, định lý Ceva-sin, định lý Jacobi, các định lý liên quan đến cevian.	Vận dụng được hệ thức lượng trong tam giác để xây dựng các công thức tính độ dài trung tuyến, phân giác, đường cao và tính diện tích của tam giác theo độ dài cạnh và số đo các góc của tam giác. Hiểu và vận dụng được phương pháp diện tích để giải các bài toán hình học phẳng. Vận dụng được hệ thức lượng và phương pháp diện tích để thiết lập các định lý: Ceva, Ceva-sin, Jacobi và các định lý liên quan đến cevian về sự đồng quy của các đường thẳng. Vận dụng được các định lý trên trong các bài toán liên quan.	Lớp 10
		2.2. Ứng dụng của hệ thức lượng trong đường tròn Hệ thức Sa-Lơ, các tiêu chuẩn cho tứ giác nội tiếp Phương tích của một điểm đối với một đường tròn, trục đẳng phương của hai đường tròn, tâm đẳng phương của ba đường tròn, chùm đường tròn Tỉ số kép của bốn điểm trên đường tròn, tứ giác điều hòa Đường thẳng Simson, đường thẳng Steiner, điểm Anti-Steiner, định lý Pascal, định lý Brianchon.	Sử dụng góc định hướng để chứng minh được bốn điểm nằm trên đường tròn, biết cách sử dụng hệ thức Sa-Lơ cho góc định hướng. Chứng minh được định lý điểm Miquel cho tam giác và cho tứ giác toàn phần. Hiểu được khái niệm: phương tích của một điểm đối với đường tròn; trục đẳng phương của hai đường tròn; tâm đẳng phương của ba đường tròn; hai đường tròn trực giao; các đường tròn đồng trục (thuộc cùng một chùm đường tròn). Chứng minh được hệ thức Euler cho đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác. Hiểu được khái niệm đường tròn Apolonius đối với hai điểm, ba đường tròn Apolonius trong một tam giác và sự đồng trục của chúng. Chứng minh được định lý: “Đường phân giác góc A, đường trung bình ứng với đỉnh B, đường nối hai tiếp điểm của hai đường tròn nội tiếp với hai cạnh CA và CB của tam giác ABC đồng quy.” Chứng minh được các định lý cổ điển: Định lý về đường thẳng Simson; định lý về đường thẳng Steiner; định lý về điểm Anti-Steiner; định lý Pascal; định lý Brianchon. Xác định được tỉ số kép của bốn điểm trên một đường tròn. Biết được khái niệm tứ giác điều hòa, đường đối trung của tam giác và các tính chất đơn giản của chúng. Vận dụng được các khái niệm và định lý trên trong các bài toán liên quan.	Lớp 10
		2.3. Cực và đối cực với các đường tròn Hai điểm liên hợp với đường tròn Cực của đường thẳng và đối cực của một điểm đối với đường tròn Định lý Lahire, định lý Brocard	Hiểu được khái niệm hai điểm liên hợp đối với đường tròn, cực của một đường thẳng và đối cực của một điểm đối với một đường tròn. Xác định được đường đối cực của một điểm đối với một đường tròn, biết cách xác định cự của một đường thẳng đối với một đường tròn. HIểu và chứng minh được các định lý: Định lý Lahire, định lý Brocard. Vận dụng được khái niệm cực, đối cực và các định lý trên trong các bài toán liên quan.	Lớp 11
8	3. Các phép biến hình trong mặt phẳng	3.1. Các phép dời hình trong mặt phẳng Đại cương về phép dời hình, phép dời hình trong mặt phẳng Phép dời hình thuận, dời hình nghịch Phép quay véc-tơ	Hiểu được khái niệm phép biến hình trong mặt phẳng, khái niệm phép dời hình trong mặt phẳng. Nhận biết được dạng chính của các phép dời hình thuận (tịnh tiến, quay), dạng chính tắc của dời hình nghịch (đối xứng trượt). Hiểu được các tính chất cơ bản của phép dời hình trong mặt phẳng: Bảo toàn tính thẳng hàng, độ dài đoạn thẳng, số đo của góc, diện tích của hình, tỉ số đơn, tỉ số kép. BIết được tính chất của hợp thành hai phép dời hình. Hiểu được phép quay véc-tơ trong mặt phẳng và các tính chất cơ bản: Bảo toàn góc giữa các véc-tơ, độ dài của véc-tơ,… Vận dụng được phép dời hình vào các bài toán liên quan.	Lớp 11
		3.2. Các phép đồng dạng trong mặt phẳng Đại cương về phép đồng dạng trong mặt phẳng Phép vị tự, vị tự quay, vị tự đối xứng	Hiểu được khái niệm phép đồng dạng trong mặt phẳng. Hiểu được các tính chất cơ bản của các phép đồng dạng: bảo toàn tính thẳng hàng và tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng. Hiểu được định nghĩa của các phép đồng dạng: phép vị tự, phép vị tự quay, phép vị tự đối xứng. Nhận biết được tính chất của hợp thành hai phép đồng dạng. Hiểu và chứng minh được định lý Monge về tâm vị tự của hợp thành của hai phép vị tự đối với các đường tròn. Xác định được tâm của phép vị tự quay biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng cho trước hoặc biến một đường tròn thành một đường tròn cho trước. Vận dụng được phép đồng dạng vào các bài toán liên quan.	Lớp 11
		3.3. Phép nghịch đảo Phép nghịch đảo Ảnh của đường thẳng, đường tròn qua phép nghịch đảo Phép nghịch đảo đối xứng	Hiểu được định nghĩa của phép nghịch đảo. Xác định được ảnh qua một phép nghịch đảo của: Đường thẳng đi qua cực nghịch đảo; đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo; đường tròn đi qua cực nghịch đảo; đường tròn không đi qua cực nghịch đảo; hai điểm đối xứng qua một đường thẳng. Chứng minh được các tính chất cơ bản của phép nghịch đảo: Bảo toàn góc; bảo toàn tỉ số kép của bốn điểm. Tính được khoảng cách của ảnh của hai điểm qua phép nghịch đảo. Chứng minh được tính chất cơ bản về hợp thành của hai phép nghịch đảo (cùng cực nghịch đảo và khác cực nghịch đảo). Hiểu được định nghĩa phép nghịch đảo đối xứng. Vận dụng phép nghịch đảo đối xứng để chứng minh các tính chất đơn giản của đường tròn Mixtilinear. Vận dụng được phép nghịch đảo và phép nghịch đảo đối xứng vào các bài toán liên quan.	Lớp 11 Xem thêm kiến thức liên quan về cực và đối cực đối với một đường tròn.
7	4. Ứng dụng của số phức trong hình học phẳng	Biểu diễn hình học của số phức Phương trình của đường thẳng, đường tròn theo tọa độ phức Tọa độ các điểm đặc biệt của tam giác nội tiếp đường tròn đơn vị, biểu diễn tỉ số đơn, tỉ số kép	Hiểu được biểu diễn hình học của số phức, tọa độ phức của một điểm. Chứng minh được điều kiện để các điểm biểu diễn của ba số phức thẳng hàng, các điểm biểu diễn của bốn số phức nằm trên một đường tròn. Sử dụng đường tròn đơn vị trong giải toán hình học phẳng dùng số phức. Biết tọa độ phức của tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác có ba đỉnh nằm trên đường tròn đơn vị có tâm là gốc tọa độ. Viết được phương trình dưới dạng tọa độ phức của đường thẳng đi qua hai điểm. Viết được công thức của tỉ số đơn của ba điểm và tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng thông qua tọa độ phức của chúng. Vận dụng số phức để giải các bài toán hình học phẳng liên quan.	Lớp 12 Đại cương về số phức trong Đại số Xem kiến thức liên quan về phép biến hình trong mặt phẳng trong chuyên đề Phép biến hình
SỐ HỌC
10	Số học	1. Đồng dư Đồng dư. Các định lý cơ bản của lý thuyết đồng dư. Thặng dư bình phương. Cấp và căn nguyên thủy. Tổng theo các ước và các hàm số học cơ bản.	Nhận biết được đồng dư; nghịch đảo modulo và phương trình đồng dư bậc nhất. Vận dụng được các định lý cơ bản của lý thuyết đồng dư: ilson; Fermat; Euler; Wolstenhome; Fermat-Euler; Lucas; định lý Trung hoa số dư. Thặng dư bình phương. Cấp và căn nguyên thủy. Tổng theo các ước và các hàm số học cơ bản (\(\phi\), \(\tau\), \(\sigma\), \(\mu\),…), công thức nghịch đảo Mobius.	Lớp 10
10	Số học	2. Phương trình nghiệm nguyên. Thuật toán Euclid và thuật toán Euclid mở rộng. Định lý Bezout và ứng dụng. Phương pháp mô-đun. Phương pháp đánh giá, chặn nghiệm. Một số dạng phương trình Diophant bậc hai tiêu biểu.	Mô tả được thuật toán Euclid và thuật toán Euclid mở rộng. Giải thích được Định lý Bezout về điều kiện cần và đủ để hai số nguyên a, b nguyên tố cùng nhau. Vận dụng được Định lý Bezout trong phương trình Diophant \(ax + by = c\). Vận dụng được phương pháp mô-đun. Giải được phương trình nghiệm nguyên đánh giá, chặn nghiệm. Giải được các dạng phương trình Diophant bậc hai: bộ ba Pythagore, phương trình Pell và dạng Pell, phương pháp gien và phương trình dạng Markov.	Lớp 10 Lớp 11
GIẢI TÍCH
11	Giải tích	1. Phương trình hàm Lớp hàm số liên quan đến các phép biến hình Lớp hàm số sinh bởi các phép tính số học Phương trình hàm tuyến tính và phân tuyến tính Bất phương trình hàm cơ bản Phương trình hàm trên tập số nguyên (dãy số)	Biết tính chẵn, lẻ, tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính, nhân tính, hàm đối hợp. Hiểu được phương trình hàm Cauchy và khái niệm về lớp hàm số sinh bởi các phép tính số học, các đại lượng trung bình. Hiểu được phương trình hàm tuyến tính và phân tuyến tính. Giải được bất phương trình hàm cơ bản. Vận dụng giải phương trình hàm trên tập số nguyên để xác định các dãy số.	Chủ yếu Lớp 11 và Lớp 12
11	Giải tích	2. Các định lý cơ bản của giải tích và ứng dụng Dãy số và một số định lý về giới hạn dãy số (Stolz, Cesaro, nguyên lý kẹp,…) Các định lý cơ bản của giải tích Ứng dụng các định lý trên trong giải toán.	Hiểu và vận dụng được các định lý về giới hạn dãy số để chứng minh sự hội tụ của dãy số và tìm giới hạn của chúng. Hiểu các định lý cơ bản của giải tích từ bổ đề Fermat, bổ đề về dãy đoạn thẳng lồng nhau, tính chất của hàm liên tục, các định lý Rolle, Lagrange, Cauchy, quy tắc L’Hopitale. Hiểu được phương trình hàm tuyến tính và phân tuyến tính. Vận dụng được các định lý trên trong giải toán: Tìm điều kiện có nghiệm; chứng minh bất đẳng thức; đánh giá tổng; tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị; tính giới hạn.	Chủ yếu Lớp 11 và Lớp 12.
ĐA THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
12	Đa thức và phương trình đại số	1. Đa thức và nghiệm Cơ bản về số phức. Đa thức. Các phép toán trên đa thức. Bậc của đa thức. Nghiệm của đa thức. Khái niệm nghiệm bội. Các định lý cơ bản của lý thuyết đa thức. Đa thức bất khả quy.	Nhận biết số phức ở dạng đại số, các phép toán số học. Nhận biết dạng lượng giác của số phức, công thức Moivre, lũy thừa và khai căn số phức. Căn của đơn vị. Hiểu được các khái niệm cơ bản của đa thức: Các phép toán trên đa thức; bậc của đa thức; nghiệm của đa thức; khái niệm nghiệm bội. Biết và vận dụng được các định lý quan trọng của đa thức: Định lý Bezout; định lý Vi-et thuận và đảo; định lý cơ bản của đại số và các hệ quả Hiểu được khái niệm đa thức bất khả quy. Biết cách chứng minh một đa thức là bất khả quy trong các tình huống cơ bản (sử dụng tiêu chuẩn Eisenstein, dùng phản chứng,…).	Lớp 11
		2. Nội suy đa thức Nội suy Langrange. Nội suy Newton, nội suy Hermite. Đa thức Chebysev, các hệ đa thức trực giao.	Vận dụng được công thức nội suy Langrange. Hiểu được nội suy Newton, nội suy Hermite. Nhận biết được đa thức Chebysev, các hệ đa thức trực giao.	Lớp 11
		2. Phương trình, hệ phương trình đa thức và quy về đa thức Phương trình đại số bậc cao. Phương pháp giải các hệ phương trình đa thức. Phương trình, hệ phương trình chứa căn thức.	Giải được phương trình bậc 3, 4. Biết nguyên tắc cơ bản để giải một số dạng phương trình đại số bậc cao. Sử dụng được một số phương pháp để giải hệ phương trình đa thức (khử dần các biến số, sử dụng đa thức đối xứng, chuyển về phương trình đẳng cấp). Chuyển đổi được các phương trình, hệ phương trình chứa căn thức về phương trình đa thức bằng cách đặt ẩn phụ hoặc biến đổi tương đương.	Lớp 10

3.2. Nội dung giáo dục nâng cao lựa chọn

Trên cơ sở các nội dung giáo dục nâng cao bắt buộc nêu tại mục 3.1 phần III và thực tế dạy học tại nhà trường, các trường trung học phổ thông chuyên có thể lựa chọn một số chuyên đề khác (nếu cần), tự xây dựng nội dung và yêu cầu cần đạt để tổ chức dạy cho học sinh.

IV. Phương pháp dạy học và kiểm tra, đánh giá

4.1. Phương pháp dạy học

Dạy học tập trung vào việc phát huy cao nhất tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh; hình thành ở học sinh phương pháp và nhu cầu tự học, tạo niềm vui, hứng thú trong học tập.
Sử dụng tối đa các phương pháp dạy học tích cực, đề cao vai trò trung tâm nhận thức của học sinh như thảo luận, tranh luận, đặt và giải quyết vấn đề, dự án, viết báo cáo,…; phát huy các mặt tích cực của những phương pháp dạy học hiện có như thuyết trình, đàm thoại, so sánh,…
Chú trọng tổ chức quá trình dạy học theo hướng kiến tạo, trong đó học sinh được tham gia tìm tòi, phát hiện, suy luận giải quyết vấn đề; tăng cường tự học và tự nghiên cứu.
Linh hoạt trong việc vận dụng các phương pháp, kĩ thuật dạy học tích cực; kết hợp sáng tạo việc vận dụng các phương pháp, kĩ thuật dạy học truyền thống, các hoạt động dạy học trong lớp học với hoạt động thực hành trải nghiệm, vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn.

4.2. Đánh giá kết quả học tập của học sinh

Bảo đảm việc đánh giá kết quả học tập của học sinh theo đúng quy định của Bộ GDĐT.
Việc đánh giá được thực hiện theo các mức độ biết, hiểu và vận dụng; trong đó, cần tăng cường nhiều hơn việc đánh giá theo mức độ vận dụng; yêu cầu, tạo điều kiện và khuyến khích học sinh giải quyết vấn đề và sáng tạo trong học tập; nội dung đánh giá thường xuyên theo các chuyên đề nâng cao.
Nội dung đánh giá căn cứ vào yêu cầu cần đạt về phẩm chất và năng lực đã được quy định trong nội dung dạy học môn Toán. Giáo viên cần dựa vào các yêu cầu cần đạt quy định trong nội dung dạy học môn Toán trong chương trình giáo dục phổ thông và chương trình giáo dục nâng cao (phần nội dung giáo dục nâng cao bắt buộc) dành cho học sinh trường trung học phổ thông chuyên để đánh giá kết quả học tập của học sinh.
Đa dạng hoá các hình thức đánh giá: đánh giá thông qua bài viết; đánh giá thông qua vấn đáp; thuyết trình; quan sát; thực hành; dự án học tập,…. Tạo điều kiện để học sinh tham gia vào việc đánh giá kết quả học tập của bạn, tự đánh giá kết quả học tập của học sinh.

V. Giải thích thuật ngữ và hướng dẫn thực hiện chương trình

5.1. Giải thích thuật ngữ

Biết: Nhận biết, nhớ lại các thông tin đã được tiếp nhận trước đó.

Hiểu: Hiểu được ý nghĩa của thông tin, diễn đạt được thông tin theo ý hiểu của cá nhân.

Vận dụng: Sử dụng thông tin đã biết vào một tình huống, điều kiện mới hoặc để giải quyết vấn đề.

5.2. Hướng dẫn thực hiện chương trình

a. Kế hoạch dạy học

Các trường trung học phổ thông chuyên chủ động xây dựng kế hoạch dạy học nội dung giáo dục nâng cao môn Toán cho từng khối lớp phù hợp với điều kiện thực tế của nhà trường trên cơ sở:

Thực hiện đầy đủ các nội dung quy định trong Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán cấp trung học phổ thông.
Thực hiện đầy đủ các chuyên đề bắt buộc quy định tại mục 3.1 phần III của văn bản này phù hợp với nội dung cốt lõi của Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán cấp trung học phổ thông.
Thực hiện các chuyên đề quy định tại mục 3.2 tại phần III của văn bản này (nếu có).
Căn cứ nội dung các chuyên đề quy định tại mục 3.1 và 3.2 phần III, các trường tự sắp xếp thứ tự các chuyên đề dạy ở từng khối lớp sao cho hợp lí, không nhất thiết phải thực hiện theo đúng thứ tự các chuyên đề nêu trong mục 3.1 phần III.
Tổng thời lượng dạy các nội dung nâng cao là 70 tiết/năm học/khối lớp, trong đó bao gồm cả thời lượng dùng để kiểm tra, đánh giá và thời lượng dạy học các chuyên đề thuộc nội dung nâng cao lựa chọn không quá 14 tiết (20% tổng thời lượng).

b. Nội dung dạy học

Căn cứ vào yêu cầu cần đạt quy định trong Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán cấp trung học phổ thông và yêu cầu cần đạt quy định tại mục 3 phần III của văn bản này, giáo viên lựa chọn nội dung dạy học cụ thể phù hợp với kế hoạch giáo dục của nhà trường.

c. Phương tiện dạy học

Bảo đảm đủ các phương tiện dạy học trong danh mục thiết bị dạy học tối thiểu mà Bộ GDĐT đã ban hành. Chú trọng việc sử dụng công nghệ thông tin nói chung và Internet nói riêng trong dạy và học, yêu cầu cao đối với việc khai thác, chọn lọc và hệ thống hoá, trình bày các thông tin, tư liệu từ Internet.

Việc sử dụng các phương tiện dạy học cần được thực hiện theo hướng tổ chức cho học sinh khai thác tri thức, tìm tòi, khám phá các kiến thức cần có từ các phương tiện, thiết bị dạy học; đồng thời, hướng dẫn, tổ chức để học sinh có thể xây dựng các tư liệu phục vụ học tập.
Ngoài ra, để có thể nâng cao chất lượng dạy học môn Toán, các trường cần trang bị và tạo thêm các phương tiện dạy học có tác dụng tốt đối với việc nâng cao chất lượng dạy học như các phần mềm, thiết bị dạy học tự làm phù hợp với nội dung học và các đối tượng học sinh.

Tóm tắt Chương trình giáo dục nâng cao môn Toán trong trường trung học phổ thông chuyên

Tinh thần cốt lõi của chương trình:

Phát triển năng khiếu Toán học trên nền tảng giáo dục toàn diện, hình thành người học có năng lực tự học, sáng tạo, nghiên cứu và cống hiến.

Cấu trúc tổng thể

Mục tiêu: Xác định rõ sứ mệnh - vừa bồi dưỡng năng khiếu, vừa nuôi dưỡng phẩm chất và năng lực công dân.
Yêu cầu cần đạt: Gồm
- Phẩm chất và năng lực chung (yêu nước, trung thực, tự học, sáng tạo, hợp tác),
- Năng lực đặc thù Toán học (tư duy, mô hình hóa, giải quyết vấn đề, giao tiếp, sử dụng công cụ).
Nội dung giáo dục:
- Bắt buộc - 6 mảng lớn: Bất đẳng thức, Toán rời rạc, Hình học phẳng, Số học, Giải tích, Đa thức & phương trình.
- Lựa chọn - phần mở, cho phép trường tự xây dựng chuyên đề mới.
Giải thích và hướng dẫn:
- Làm rõ các mức độ “Biết - Hiểu - Vận dụng”,
- Cho phép nhà trường và giáo viên tự chủ sắp xếp, chọn chuyên đề, ứng dụng công nghệ,
- Xác định rõ khung thời lượng và tinh thần dạy học hiện đại.

🌱 Điều quan trọng hơn cả

Đây không chỉ là một chương trình học, mà là một tầm nhìn về đào tạo nhân tài Toán học của Việt Nam: vừa có chiều sâu học thuật, vừa mở cửa hội nhập quốc tế, vừa khuyến khích tự chủ, sáng tạo, và ứng dụng công nghệ.

Đánh giá Chương trình giáo dục nâng cao môn Toán trong trường trung học phổ thông chuyên

I. Tổng quan

“Chương trình giáo dục nâng cao môn Toán trong trường THPT chuyên” là một văn bản có tính chiến lược: nó nối liền giáo dục phổ thông với nghiên cứu toán học và định hướng nhân tài quốc gia.

Về cấu trúc, chương trình gồm:

Mục tiêu - yêu cầu năng lực - nội dung bắt buộc và lựa chọn - hướng dẫn thực hiện.
Hệ thống chuyên đề được chọn rất kỹ, bao phủ toàn bộ phổ Toán hiện đại: từ đại số, giải tích, hình học cổ điển đến toán rời rạc, lý thuyết đồ thị, số học.

II. Điểm mạnh

Lĩnh vực	Điểm mạnh nổi bật
1. Tư tưởng giáo dục	Chương trình thể hiện quan điểm hiện đại: phát triển năng lực, khuyến khích tự học, sáng tạo, và hội nhập quốc tế. Không chỉ “truyền thụ kiến thức” mà “rèn luyện tư duy Toán học”.
2. Cấu trúc nội dung	Bao phủ rộng - sâu, cân bằng giữa Toán cổ điển (bất đẳng thức, hình học, giải tích) và Toán hiện đại (rời rạc, đồ thị, mô hình hóa). Giúp học sinh chuyên có nền tảng vững để theo các hướng Toán, Tin, Kỹ thuật, Kinh tế…
3. Liên thông học thuật	Các chuyên đề được chọn đúng trục phát triển: từ phổ thông → đại học → nghiên cứu (ví dụ: hệ thức lượng → hình học biến hình → hình học phức).
4. Tính mở và linh hoạt	Mục 3.2 cho phép nhà trường tự xây dựng chuyên đề mới. Đây là cơ chế mở, trao quyền sáng tạo cho giáo viên và học sinh.
5. Chuẩn năng lực rõ ràng	Việc dùng ba cấp “Biết - Hiểu - Vận dụng” giúp lượng hóa mức độ đạt được và gắn với thang Bloom. Dễ cho việc thiết kế kiểm tra - đánh giá.
6. Khuyến khích công nghệ và nghiên cứu	Phần hướng dẫn yêu cầu khai thác Internet, phần mềm, và phương pháp tự khám phá. Điều này mở đường cho mô hình dạy học tích cực, STEM, AI, và học qua dự án.
7. Phẩm chất nhân văn	Vẫn đặt trọng tâm vào yêu nước, trung thực, trách nhiệm - bảo đảm Toán học gắn với giáo dục nhân cách, chứ không đơn thuần là rèn kỹ năng trí tuệ.

III. Điểm yếu và hướng khắc phục

Nhóm vấn đề	Điểm yếu / Hạn chế	Gợi ý khắc phục hoặc phát triển thêm
1. Khối lượng - tải nhận thức	Nội dung quá dày, nhiều chuyên đề mang tính đại học; học sinh dễ quá tải nếu dạy theo cách truyền thống.	Cần xây dựng lộ trình phân hóa: mỗi trường hoặc mỗi nhóm học sinh chọn hướng chuyên sâu khác nhau (ví dụ: Toán rời rạc hoặc Giải tích).
2. Thiếu liên kết giữa các chuyên đề	Các mảng khá rời rạc, chưa thể hiện mối quan hệ logic (ví dụ: bất đẳng thức ↔︎ cực trị giải tích).	Thiết kế lại theo “trục tư duy”: chứng minh - mô hình hóa - ứng dụng - sáng tạo, để học sinh thấy sự liền mạch.
3. Thiếu mảng xác suất - thống kê - dữ liệu	Đây là lỗ hổng lớn nếu xét xu hướng Toán hiện đại và ứng dụng.	Bổ sung chuyên đề “Xác suất và thống kê ứng dụng” hoặc “Toán học dữ liệu - Mô hình hóa ngẫu nhiên”.
4. Thiếu định hướng năng lực số / công nghệ	Mặc dù khuyến khích CNTT, nhưng không nêu rõ nội dung số học tính toán, lập trình, Python, GeoGebra, Wolfram.	Thêm các mô-đun thực hành công cụ Toán học số - giúp kết nối Toán với Khoa học máy tính, kỹ thuật.
5. Đánh giá - kiểm tra còn định tính	Chưa nêu cụ thể cách kiểm tra năng lực “vận dụng”, “nghiên cứu nhỏ”.	Xây dựng khung đánh giá theo năng lực (portfolio, dự án, trình bày miệng, giải đề mở).
6. Thiếu hướng dẫn về đào tạo giáo viên	Chương trình yêu cầu cao, nhưng chưa đề cập cách chuẩn bị GV chuyên dạy các phần hiện đại (rời rạc, số học, giải tích sâu).	Cần có chương trình bồi dưỡng giáo viên chuyên Toán song hành.
7. Phương pháp dạy học	Vẫn còn ngôn ngữ “truyền thống”: “thực hiện nội dung”, “dạy học các chuyên đề”.	Nên chuyển mạnh sang mô hình lớp học nghiên cứu, bài toán mở, học qua khám phá và trình bày.

IV. Tổng kết

Chương trình Toán nâng cao của trường chuyên là một nền móng học thuật xuất sắc, hội tụ ba phẩm chất: sâu, mở, hiện đại. Tuy nhiên, để thật sự “nâng cao” đúng nghĩa thế kỷ 21, nó cần:

Một lộ trình linh hoạt, tránh quá tải;

Liên kết nội dung để học sinh thấy tư duy toán là một hệ thống thống nhất;

Và tích hợp công nghệ, xác suất, dữ liệu, phương pháp nghiên cứu - những yếu tố làm nên Toán học của thời đại mới.

“What is Mathematics” của Richard Courant & Herbert Robbins

“Chương trình Toán nâng cao” và “What is Mathematics?” của Richard Courant & Herbert Robbins (sau này được Ian Stewart chỉnh sửa).

Ta có thể nói rằng nếu chương trình Việt Nam là một bản thiết kế hành động, thì cuốn What is Mathematics? lại là linh hồn triết học của Toán học hiện đại.

I. “What is Mathematics?” - tinh thần và cấu trúc

Courant viết cuốn này với một tôn chỉ rất rõ:

“Toán học không chỉ là công cụ tính toán, mà là một phần của văn hóa tư duy - một nghệ thuật của trí tuệ con người.”

Sách được xây dựng không phải để “dạy kỹ năng” mà để dẫn người đọc đi từ bản chất logic, trực giác, cấu trúc và vẻ đẹp của Toán học, qua ba khối lớn:

Số học và Đại số (bản chất của số, nguyên lý ước - bội, phương trình Diophantine, cấu trúc số phức);
Hình học và Tô-pô (ý tưởng về không gian, đường cong, diện tích, độ cong, phép chiếu);
Giải tích và Vô cùng (giới hạn, dãy, liên tục, đạo hàm, tích phân, và triết học của vô hạn).

Courant coi Toán học là một chỉnh thể thống nhất, nơi mỗi lĩnh vực soi sáng lẫn nhau. Ông không tách Toán thành “chuyên đề” mà kể một câu chuyện xuyên suốt: từ số - đến hình - đến giới hạn - đến cấu trúc.

II. Khi soi chương trình Toán nâng cao qua lăng kính Courant

Nếu bạn để ý, giữa chương trình và cuốn sách có nhiều điểm giao thoa sâu sắc, dù cách trình bày khác biệt:

Góc nhìn của Courant	Biểu hiện trong Chương trình Toán nâng cao
Toán là “cấu trúc thống nhất của tư duy”	Các chuyên đề bao phủ đầy đủ trục tư duy: đại số - giải tích - hình học - số học - rời rạc
Tư duy chứng minh là linh hồn của Toán học	Hầu hết chuyên đề (Bất đẳng thức, Số học, Giải tích) đều hướng tới lập luận, chứng minh, phản biện
Vẻ đẹp của Toán nằm trong sự liên hệ giữa lĩnh vực	Dù chương trình chia theo chuyên đề, nhưng bản chất của nó (bất đẳng thức ↔︎ cực trị ↔︎ hàm lồi ↔︎ giải tích) thể hiện cùng logic liên thông
Toán học nuôi dưỡng tinh thần nhân văn: kỷ luật, trung thực, sáng tạo	Thể hiện trong mục tiêu và phẩm chất ở phần I-II (yêu nước, trung thực, tự chủ, sáng tạo)
Toán học hiện đại cần liên hệ thực tiễn và khoa học	Mục 3.2 và phần 5.2 cho phép dạy mở, dùng CNTT, mô hình hóa - tuy chưa rõ bằng Courant, nhưng hướng đi đã tương tự

Nói cách khác:

Chương trình Việt Nam là “bản hành chính hóa” của tinh thần Courant. Nó lấy cái đẹp tư duy mà Courant trình bày bằng văn chương, chuyển thành khung năng lực, chuyên đề, và tiết học.

III. Nhưng khác biệt căn bản vẫn còn

Về mục đích

Courant: khơi mở tri thức cho mọi người, hướng tới người học tự do, muốn hiểu “Toán là gì” ở tầng bản thể.
Chương trình Việt Nam: hướng tới đào tạo học sinh năng khiếu, chuẩn bị thi học sinh giỏi, thi đại học, bồi dưỡng nhân tài quốc gia.

Courant dạy vì hiểu biết, còn chương trình dạy để phát triển năng lực. Một bên là philosophy, một bên là pedagogy.

Về cấu trúc tư duy

Courant xây dựng Toán như một dòng chảy logic và lịch sử - từ số đến vô hạn.
Chương trình chuyên chia thành các “mảng độc lập”, thiên về hệ thống hóa và phân loại.

Cấu trúc của chương trình mang tính điều hành, còn cấu trúc của Courant mang tính thẩm mỹ và nhận thức luận.

Về cảm xúc học thuật

Ở Courant, Toán học là vẻ đẹp và niềm vui của phát hiện.
Ở chương trình, Toán học là nhiệm vụ và năng lực cần đạt.

Một bên là “khám phá”, một bên là “chuẩn đầu ra”. Nhưng nếu kết hợp được hai, ta có một hệ dạy học tuyệt vời.

IV. Gợi mở cho bạn - nếu ZO Math nối hai thế giới này

Bạn đang đứng ở vị trí lý tưởng để đan kết hai tinh thần đó:

Lấy khung cấu trúc - năng lực - chuẩn đầu ra từ chương trình hiện hành;
Và truyền vào nó hơi thở Courant: kể chuyện, khám phá, khơi mở, cảm xúc, vẻ đẹp của tư duy.

Nói cách khác, ZO Math có thể trở thành “What is Mathematics - phiên bản Việt hóa và hành động hóa.” Một chương trình mà học sinh không chỉ biết cách giải bài toán, mà còn hiểu tại sao Toán đáng để sống cùng nó.

Dạy và học toán thế nào

Nó chạm đúng chỗ giao nhau giữa Toán học như một hành trình tri thức (theo Courant) và Toán học như một hệ thống đào tạo có mục tiêu (theo chương trình quốc gia).

Câu trả lời của mình không nghiêng hẳn về bên nào, mà là một nguyên lý dung hòa:

Hãy dạy và học Toán theo tinh thần của Courant - nhưng trong cấu trúc của một chương trình chuẩn đầu ra.

1. Courant - dạy Toán như một nghệ thuật tư duy

Courant không viết cho học sinh thi HSG hay đại học, ông viết cho người muốn hiểu bản chất của Toán. Ông tin rằng Toán học có vẻ đẹp nội tại, một thứ “niềm vui trí tuệ” mà ai cũng có thể nếm nếu biết cách tiếp cận.

Nếu ta dạy theo Courant:

Mỗi định lý không chỉ là “điều phải nhớ”, mà là một phát hiện nhân loại - ta kể lại hành trình đi tới nó.
Học sinh không chỉ biết “cách giải”, mà hiểu vì sao cách đó đúng, và vì sao điều đó đáng để biết.
Lớp học trở thành phòng thí nghiệm tư duy, nơi ta khám phá, đặt câu hỏi, phản biện và chiêm nghiệm.

Giá trị của Courant là nuôi dưỡng tâm hồn toán học, giúp học sinh yêu Toán suốt đời. Nhưng nếu chỉ đi theo Courant, bạn sẽ thấy: học sinh khó đạt các chuẩn thi, vì không có khung kỹ năng rõ ràng và thời lượng bị phân tán.

2. Chương trình chuẩn - dạy Toán như một hệ thống năng lực

Chương trình nâng cao hiện nay đại diện cho một xu hướng khác:

Xây dựng mục tiêu, nội dung, yêu cầu rõ ràng, có thể đo lường.
Phát triển năng lực phân tích, chứng minh, giải quyết vấn đề.
Tạo hành lang thống nhất cho hàng nghìn giáo viên và học sinh trong hệ thống.

Giá trị của chương trình chuẩn là đảm bảo tính khả thi và công bằng: ai cũng biết phải học gì, đạt mức nào. Nhưng nếu chỉ dạy theo chương trình, Toán học dễ trở thành chuỗi kỹ năng khô khan, mất đi ánh sáng của tư duy.

3. Vì sao cần dung hòa hai hướng?

Toán học - cũng như đời sống - cần cả hồn lẫn khung.

Courant cho ta hồn Toán học - niềm say mê, sự hiểu biết bản chất.
Chương trình cho ta khung Toán học - con đường, thang bậc, chuẩn năng lực.

Nếu chỉ có Courant, ta có nhà mơ mộng. Nếu chỉ có chương trình, ta có người thi cử giỏi. Nhưng nếu kết hợp, ta có người học biết tư duy và biết hành động.

4. Lời khuyên cho bạn - với tư cách người dạy Toán

Hãy dạy theo Courant, nhưng thiết kế theo chương trình.

Khi bạn lên lớp, đừng bắt đầu bằng công thức; hãy bắt đầu bằng câu hỏi Courant: “Vì sao con người nghĩ đến điều này?”
Khi bạn trình bày định lý, đừng dừng ở phát biểu; hãy chỉ cho học sinh thấy ý tưởng nảy sinh ra nó.
Nhưng khi bạn xây dựng chương trình ZO Math, hãy tôn trọng cấu trúc chuẩn năng lực: Biết → Hiểu → Vận dụng → Phát triển.

Nói cách khác:

Dạy như một người kể chuyện tri thức, nhưng thiết kế như một kiến trúc sư giáo dục.

5. Lời khuyên cho học sinh

Học theo chương trình để có kỷ luật, học theo Courant để có tâm hồn.

Khi làm bài tập, hãy luyện theo chuẩn đầu ra - đó là rèn cơ bắp Toán học.
Nhưng mỗi khi gặp định lý, hãy tự hỏi: “Tại sao định lý này đúng? Ai đã phát hiện ra? Liệu còn con đường nào khác?” - đó là rèn trái tim Toán học.

Nếu học sinh làm được hai việc này song song, các em sẽ:

Thi tốt,
Hiểu sâu,
Và quan trọng nhất: thấy Toán là một phần của đời sống tư duy, chứ không phải chỉ là môn học.

Tổng kết

Courant	Chương trình
Toán là nghệ thuật, là văn hóa	Toán là năng lực, là kỹ năng
Dạy để hiểu bản chất	Dạy để đạt chuẩn
Cảm hứng, khám phá, tư duy mở	Cấu trúc, hệ thống, tư duy chính xác
Học để yêu Toán	Học để làm chủ Toán
→ Kết hợp: Dạy có cảm hứng, học có kỷ luật.

Nếu mình được chọn một câu để gửi đến bạn và học sinh, mình sẽ mượn chính lời Courant:

“Mathematics is an expression of the human mind reflecting the active will, the contemplative reason, and the desire for aesthetic perfection.” - Richard Courant

Và thêm một lời Việt hóa nhỏ cho ZO Math:

Học Toán là rèn ý chí, nuôi lý trí, và gìn giữ cái đẹp trong tư duy.

Nguyên lý giáo dục ZO Math

Dưới đây là bản “Nguyên lý giáo dục ZO Math” - được viết dựa trên tinh thần dung hòa giữa Courant và chương trình Toán nâng cao Việt Nam, đồng thời phản chiếu rõ triết lý “Làm - Soi - Học” mà bạn đã định hình cho hệ sinh thái ZO Math. Bản này có thể dùng nguyên vẹn cho phần “Triết lý dạy và học Toán” trong tài liệu giới thiệu hoặc website ZO Math.

Nguyên lý giáo dục ZO Math: Hòa quyện giữa tinh thần Courant và chuẩn năng lực Việt Nam

1. Toán học là một hành trình, không chỉ là một môn học.

Mỗi khái niệm Toán học ẩn chứa trong nó lịch sử của tư duy con người. ZO Math không dạy để học sinh thuộc định nghĩa, mà để các em thấy vì sao nó ra đời, hiểu điều gì khiến nó đúng, và cảm được vẻ đẹp của cách tư duy dẫn đến nó.

2. Học Toán để rèn ý chí, nuôi lý trí và gìn giữ cái đẹp trong tư duy.

Toán học là một nghệ thuật của sự chính xác và giản dị. Người học Toán phải trung thực trong lập luận, kiên trì trong suy nghĩ, và tinh tế trong cảm nhận. Mỗi bài toán không chỉ rèn năng lực phân tích mà còn rèn nhân cách: điềm tĩnh, rõ ràng, khiêm tốn trước cái đúng.

3. Dạy Toán theo cảm hứng Courant, nhưng thiết kế theo chuẩn năng lực.

ZO Math coi chuẩn đầu ra là khung, nhưng cảm hứng khám phá là hồn. Mỗi bài học được tổ chức như một hành trình tìm hiểu - từ quan sát, đặt câu hỏi, phát hiện, đến mô hình hóa và tổng kết. Giáo viên là người kể lại câu chuyện của tư duy, còn học sinh là người nối tiếp mạch suy luận ấy bằng chính trí tuệ của mình.

4. Học theo mô hình “Làm - Soi - Học”.

Làm: học sinh chủ động thử nghiệm, giải quyết vấn đề, phạm sai lầm.
Soi: học sinh và giáo viên cùng phân tích, phản biện, đối chiếu với chân lý Toán học.
Học: học sinh khái quát hóa, hình thành khái niệm và phương pháp mới. Cách học này biến mỗi bài toán thành một cuộc khám phá, chứ không chỉ là một đáp án.

5. Từ Toán học đến năng lực sống.

Học sinh ZO Math không học Toán để tách rời đời sống, mà để hiểu vì sao đời sống có thể được nhìn qua lăng kính Toán học. Mỗi bài học là cơ hội để phát triển năm năng lực cốt lõi: tư duy, mô hình hóa, giải quyết vấn đề, giao tiếp, và sáng tạo. Từ đó, các em hình thành khả năng học suốt đời - không chỉ học Toán, mà học cách tư duy trong mọi lĩnh vực.

6. Tự chủ và hội nhập.

ZO Math khuyến khích nhà giáo và học sinh tự thiết kế hành trình học riêng, trong khuôn khổ chuẩn mực Toán học. Tính tự chủ và tính chuẩn mực không mâu thuẫn - chúng giống như hình và bóng: chuẩn mực giữ vững nền, tự chủ thắp lên ngọn lửa. Từ nền tảng Việt Nam, ZO Math hướng tới hội nhập với tinh thần Toán học toàn cầu - giản dị, logic, sáng tạo và nhân bản.

Vị trí của What Is Mathematics?

I. Vị trí và vai trò của What Is Mathematics? trong đời sống Toán học thế giới

1. Giới thiệu và ý đồ ban đầu

What Is Mathematics? là cuốn sách nổi tiếng của Richard Courant và Herbert Robbins, lần đầu xuất bản năm 1941.
Mục đích của nó không phải là giáo trình dạy học chi tiết, mà là để cung cấp “vantage points from which the substance and driving forces of modern mathematics can be surveyed” - tức là mở ra góc nhìn tổng quan, giúp người đọc nhìn thấy bản chất, kết cấu và động lực của Toán học hiện đại.
Nó được dịch ra nhiều thứ tiếng, và được xem như một “cổ điển” trong việc giới thiệu Toán học cho những người muốn hiểu sâu hơn (dù không phải chuyên ngành).

2. Ảnh hưởng trong văn hóa học thuật & giáo dục Toán

Cuốn sách thường được nhắc đến như một trong những tác phẩm “cầu nối” giữa Toán học hàn lâm cao cấp và người học phổ thông / sinh viên năm đầu - giúp người học vượt khỏi lối học “gắn công thức - giải bài” để thấy Toán như một cấu trúc ý tưởng.
Nhiều giáo viên, người làm giáo dục Toán, dùng What Is Mathematics? như nguồn cảm hứng, trích dẫn trong giờ học “Toán học là gì?”, để gieo cái nhìn sâu - cái nhìn về Toán học là hoạt động trí tuệ, khám phá, có bản sắc.
Tuy nhiên, sách không được dùng phổ biến làm giáo trình bắt buộc trong các hệ thống đào tạo Toán chuyên tại nhiều nước - vì nó không cấu trúc bài học, không có bài tập “có đáp án chi tiết” và không hướng theo chuẩn năng lực cụ thể học sinh cần đạt.

3. Ưu điểm & giới hạn của What Is Mathematics?

Ưu điểm:

Mang tầm triết học Toán học, giúp ta đặt các chuyên đề nhỏ vào một khung cấu trúc lớn hơn.
Giúp phát triển tư duy “liên ngành bên trong Toán” - thấy được mối liên hệ giữa đại số, hình học, giải tích, số học.
Thường viết theo phong cách lôi cuốn, câu chuyện tư duy, không khô khan như sách học thuật thuần túy.

Giới hạn (với giáo dục phổ thông / chuyên):

Không dành cho việc học từng chuyên đề theo tiết học hoặc bài kiểm tra - tức là không phù hợp làm giáo trình chính cho lớp chuyên mà không có bổ sung.
Nhiều phần trình bày khá “nhập môn cao” hoặc “ý tưởng hóa”, nếu người đọc chưa có nền tảng sâu, có thể khó tiếp thu nhanh.
Không có hướng dẫn chi tiết cho giáo viên về cách giảng từng chuyên đề, không có ngân hàng bài tập phong phú cho từng lớp - nên nếu dùng một mình, học sinh có thể “rớt” ở phần kỹ năng.
Có người bình luận rằng “Books such as Courant’s are not meant as textbooks, and, if interpreted as such, are incomprehensible.”

II. So sánh với các sách / tài liệu khác - và lựa chọn phù hợp

Bạn hỏi: “Có sách nào khác thích hợp hơn để dạy hoặc học toán?” Câu trả lời là có nhiều loại sách phụ trợ / giáo trình / tài liệu tổng hợp mà bạn có thể kết hợp với What Is Mathematics? để xây dựng một hệ tri thức phong phú và dễ áp dụng. Dưới đây là các loại sách / tài liệu mà bạn nên cân nhắc:

Loại sách / tài liệu	Vai trò / đặc điểm	Khi nào nên dùng
Sách giáo khoa nâng cao / giáo án chuyên	Có cấu trúc rõ ràng theo chương, có bài tập, đáp án, phù hợp với chuẩn năng lực	Dùng làm “xương sống” của chương trình dạy học hàng ngày
Sách tổng quan Toán học (như Courant, Polya, Stewart, Apostol, Hardy, etc.)	Đưa góc nhìn sâu, liên kết các lĩnh vực Toán, truyền cảm hứng	Dùng cho đọc mở rộng, bổ sung trong tiết chuyên đề, như “tham khảo” cho giáo viên và học sinh giỏi
Sách bài tập có lời giải chi tiết (Olympiad, tuyển chọn, biên soạn trong nước / quốc tế)	Rèn kỹ năng giải bài, luyện đề, khả năng vận dụng các phương pháp	Dùng song song với chương trình, nhất là cho học sinh muốn thi học sinh giỏi / quốc tế
Tài liệu phương pháp dạy học Toán / nghiên cứu giáo dục Toán	Giúp bạn (giáo viên) xây dựng phương pháp, đổi mới cách dạy - học	Rèn năng lực sư phạm: cách đặt câu hỏi, hướng dẫn học sinh khám phá, đánh giá năng lực
Sách / tài liệu ứng dụng & mô hình hóa hiện đại (Toán ứng dụng, dữ liệu, xác suất, lập trình toán, toán máy tính)	Bổ sung những hướng Toán “mới” mà chương trình truyền thống ít nhấn mạnh	Đưa vào phần lựa chọn (như chương trình mở) để tạo sự hấp dẫn và phù hợp xu hướng thế giới

III. Lời khuyên cho bạn và học sinh: có nên “dốc sức vào Courant”?

Câu trả lời ngắn: Có thể, nhưng không nên làm điều đó một mình. Courant là nguồn cảm hứng lớn, nhưng nên dùng linh hoạt kết hợp với nhiều tài liệu khác.

Dưới đây lời khuyên cụ thể:

Đặt Courant vào vai trò “thư viện trí tuệ”, không phải tài liệu giảng dạy chính Hãy xem What Is Mathematics? là sách mở rộng để đọc, để “nâng tầm” hiểu biết, để gieo cảm hứng. Nhưng để dạy Toán chuyên, bạn vẫn cần giáo trình có cấu trúc, có bài tập, có chuẩn năng lực rõ ràng.
Chọn đọc những chương phù hợp với mức độ học sinh / giáo viên trước

Bạn không cần đọc toàn bộ cuốn sách từ đầu đến cuối ngay. Ví dụ, nếu học sinh đang học bất đẳng thức, bạn có thể dẫn vào phần liên quan trong Courant để mở rộng tầm nhìn. Dần dần, khi học sinh đã có nền tảng tốt, bạn dẫn họ qua phần số học, phần giải tích, để phát triển “sợi chỉ nối” của kiến thức.

Kết hợp với sách bài tập và giáo trình trong chuyên đề

Khi bạn dạy chuyên đề bất đẳng thức, bạn có sách chuyên về bất đẳng thức, sách Olympiad - học sinh làm bài, rèn kỹ năng. Sau đó, bạn dùng What Is Mathematics? hoặc đoạn trong đó để cho học sinh nhìn thấy “tại sao bất đẳng thức là một phần của cấu trúc Toán học lớn”. Như thế, học sinh vừa có kỹ năng vừa được hướng tới hiểu sâu.

Dành thời gian nhỏ để đọc và suy ngẫm, không cần ép tốc độ

Với giáo viên và bạn, mỗi tuần có thể dành 1-2 đoạn nhỏ (1-2 chương) của What Is Mathematics? để đọc, ghi chú, suy ngẫm. Qua thời gian, bạn sẽ “nuôi” được cách nghĩ Toán học sâu, có thể dùng trong giờ chuyên đề, trong lời mở đầu môn học, hoặc khi phản biện ý tưởng toán học.

Điều chỉnh cho học sinh theo năng lực / sự thích thú

Với học sinh giỏi, bạn có thể đưa What Is Mathematics? vào nhóm đọc mở hoặc chuyên đề tự chọn. Với học sinh vừa sức, bạn nên buộc họ thành thạo kiến thức chương trình trước, rồi mới dẫn dắt vào các câu chuyện sâu của Courant.
Luôn giữ tinh thần dung hòa như mình nói trước

Dạy Toán không phải chỉ dạy kỹ năng, cũng không chỉ nói triết học. Kết hợp: khi cần dạy bài, dùng giáo án, bài tập - khi muốn mở trí, dẫn vào Courant, dẫn vào câu chuyện Toán học lịch sử - tư duy.

IV. Kết luận

What Is Mathematics? có vị trí rất lớn trong văn hóa Toán học - nó là cuốn sách mở cánh cửa cho người học nhìn ra “rừng Toán học” từ những cây nhỏ.
Nhưng nó không phải là công cụ hoàn chỉnh để dạy Toán chuyên - nó thiếu cấu trúc giáo trình, bài tập hệ thống, kiểm tra - đánh giá chi tiết.
Vì vậy, bạn nên:
1. Dùng nó như tài liệu bổ trợ, nguồn cảm hứng, không làm “giáo án chính” từ đầu;
2. Kết hợp nó với giáo trình, bài tập, tài liệu chuyên đề;
3. Đọc từ từ, dẫn học sinh từng bước vào nó;
4. Điều chỉnh với năng lực, sở thích học sinh;
5. Và giữ tinh thần “Toán là hành trình khám phá, không đơn thuần là học để thi”.

“What Is Mathematics” và những sách khác

Dưới đây là phần so sánh chi tiết giữa What Is Mathematics? (Courant) và 3 cuốn sách đối trọng / bổ trợ rất thích hợp cho bạn và cho định hướng ZO Math - gồm cả sách gốc tiếng Anh (truyền cảm hứng, triết học, chuyên sâu) và sách tiếng Việt (dễ áp dụng cho dạy - học Toán chuyên).

1. What Is Mathematics? - Richard Courant & Herbert Robbins

Thể loại: Triết lý - Khám phá bản chất Toán học
Phong cách: Đối thoại tư duy, logic + lịch sử + thẩm mỹ
Đối tượng: Sinh viên, giáo viên, học sinh chuyên giỏi muốn hiểu “Toán là gì”

Ưu điểm	Hạn chế
Gợi mở sâu sắc bản chất và vẻ đẹp của Toán học.	Không theo cấu trúc giảng dạy; thiếu hệ thống bài tập.
Kết nối các lĩnh vực: số học, hình học, giải tích, logic.	Văn phong học thuật cổ điển, đòi hỏi trình độ nền tảng cao.
Là nguồn cảm hứng cho các triết lý giáo dục hiện đại (Polya, Stewart, Lockhart).	Không phù hợp trực tiếp cho dạy - học lớp chuyên nếu không có hướng dẫn.

Giá trị cho ZO Math: Dùng như sách nền tảng triết lý, để giáo viên và học sinh giỏi đọc song song với chương trình. Trích dẫn ý tưởng hoặc cấu trúc chương vào lời dẫn, “Hoạt động khám phá”, “Bình luận mở rộng”.

2. How to Solve It - George Pólya (1945)

Thể loại: Phương pháp học và dạy Toán
Phong cách: Sư phạm - khám phá - heuristic (gợi mở tư duy)
Đối tượng: Giáo viên, học sinh trung học, sinh viên năm đầu đại học

Ưu điểm	Hạn chế
Đưa ra phương pháp giải quyết vấn đề Toán học qua 4 bước (hiểu - lập kế hoạch - thực hiện - xem lại).	Không cung cấp nội dung Toán cụ thể; chỉ nói về phương pháp.
Là sách kinh điển về tư duy toán học sáng tạo, được các trường sư phạm trên thế giới sử dụng.	Một số ví dụ hơi cũ; cần được “hiện đại hóa” khi áp dụng.
Dễ tích hợp vào hoạt động lớp học, câu hỏi khám phá.	Không đề cập đến chuẩn năng lực hay cấu trúc chương trình.

Giá trị cho ZO Math: Pólya là bộ khung “Soi” trong triết lý “Làm - Soi - Học”. Mỗi hoạt động khám phá hoặc bài toán mở trong ZO Math đều có thể thiết kế theo tinh thần này.

3. **The Art and Craft of Problem Solving* - Paul Zeitz (1999)*

Thể loại: Bồi dưỡng Toán chuyên - Tư duy sáng tạo
Phong cách: Bài tập - chiến lược - khám phá
Đối tượng: Học sinh chuyên, sinh viên, người luyện thi Olympiad

Ưu điểm	Hạn chế
Hệ thống hóa các kỹ năng giải toán nâng cao (bất đẳng thức, tổ hợp, cực trị, số học, logic).	Sách khá dày và khó với học sinh chưa có nền tảng.
Giải thích cách “phát hiện ý tưởng” thay vì chỉ cho lời giải.	Cần giáo viên dẫn dắt để tránh “ngợp”.
Dùng rộng rãi trong các CLB Toán học Hoa Kỳ, các trại Olympiad.	Nhiều bài tập khó vượt chuẩn lớp chuyên phổ thông.

Giá trị cho ZO Math: > Là cẩm nang thực hành tư duy nâng cao, phù hợp cho chuyên đề “Thực hành Toán phổ thông nâng cao”, hoặc “CLB Toán tư duy”. Giúp ZO Math có chiều sâu kỹ thuật, nối giữa năng lực chuyên và khả năng sáng tạo. |

Tổng kết

Mục tiêu của bạn / học sinh	Sách gợi ý chủ đạo
Xây dựng triết lý giáo dục, hiểu bản chất Toán học	Courant - What is Mathematics?
Rèn năng lực tư duy, khám phá, thiết kế hoạt động “Soi”	Polya - How to Solve It*
Nâng cao năng lực giải quyết vấn đề, sáng tạo và thi học sinh giỏi	Zeitz - The Art and Craft of Problem Solving
Việt hóa, gắn với bối cảnh dạy học trong nước	*Hoàng Tụy / Nguyễn Cảnh Toàn / Lê Hải Châu

ZO Math cần biên soạn một một chương trình giáo dục môn Toán cấp trung học phổ thông từ cơ bản đến nâng cao một cách toàn diện dựa trên chương trình quốc gia Việt Nam. Mình cần bạn giúp đỡ, bạn có cần mình cung cấp thêm chương trình cơ bản (hình như là chương trình chung năm 2018) không?