Phần I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y=2x+1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=1\), \(x=2\) được xác định bằng công thức
A. \(S=\pi\int_1^2(2x+1)dx\).
B. \(S=\int_1^2(2x+1)^2dx\).
C. \(S=\pi\int_1^2(2x+1)^2dx\).
D. \(S=\int_1^2(2x+1)dx\).
Đáp án
D
Giải thích
Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y=2x+1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=1\), \(x=2\) được xác định bằng công thức
\[ S=\int_1^2\lvert 2x+1\rvert dx. \]
Vì \(2x+1>0\) với mọi \(x\) trên đoạn \([1;2]\), nên sau khi bỏ qua dấu giá trị tuyệt đối:
\[ S=\int_1^2 (2x+1) dx. \]
Trong trường hợp tổng quát, diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y=f(x), y=g(x)\) và hai đường thẳng \(x=a, x=b\) được tính bởi công thức:
\[ S=\int_a^b \left\lvert f(x)-g(x)\right\rvert dx. \]
Khi một trong hai đồ thị là trục hoành, ví dụ đó là đồ thị của hàm \(y=g(x)\), nghĩa là trong trường hợp \(g(x)=0\), diện tích trở thành:
\[ S=\int_a^b \left\lvert f(x)\right\rvert dx. \]
Đây là trường hợp riêng đã được áp dụng để giải Câu 1 của đề thi này.
Luyện tập
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục hoành
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f(x) = x^2 - 4\) và trục hoành trên đoạn \([-3; 3]\).
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(f(x) = \sin x\) và trục hoành trên đoạn \([0; 2\pi]\).
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(f(x) = x^3 - 3x\) và trục hoành trên đoạn \([-2; 2]\).
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(f(x) = \tan x\) và trục hoành trên đoạn \([-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}]\).
Diện tích giới hạn bởi hai đồ thị
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(y = x^2\) và \(y = x+2\).
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(y = \cos x\) và \(y = \sin x\) trên đoạn \([0; \pi]\).
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị \(y = x^2 - 1\) và \(y = -x\).
Cho hai đồ thị \(y = \ln x\) và \(y = 1 - x\), tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa chúng trên khoảng giao nhau.
Câu 2
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và nhận \(\vec{n}=(-1;0;3)\) làm một véc-tơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là
A. \(-x+3y=0\).
B. \(-y+3z=0\).
C. \(-x+3z=0\).
D. \(-x-3z=0\).
Đáp án
C
Giải thích
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), mặt phẳng nhận \(\vec{n}=(-1;0;3)\) làm một véc-tơ pháp tuyến và đi qua gốc tọa độ \(O(0;0;0)\) có phương trình:
\[ -1(x-0)+0(y-0)+3(z-0)=0, \]
tức là
\[ -x+3z=0. \]
Cơ sở của lập luận trên là tích vô hướng. Giả sử \(M(x;y;z)\) là một điểm thuộc mặt phẳng, khi đó véc-tơ \(\overrightarrow{OM}=(x;y;z)\) phải vuông góc với véc-tơ pháp tuyến \(\vec{n}=(-1;0;3)\). Do đó, tích vô hướng của hai véc-tơ bằng không: \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{OM}=0\). Tức là
\[ -1(x-0)+0(y-0)+3(z-0)=0. \]
Luyện tập
Câu 3
Nghiệm của phương trình \(2^{2x+1}=8\) là
A. \(x=1\).
B. \(x=\frac{5}{2}\).
C. \(x=3\).
D. \(x=\frac{3}{2}\).
Đáp án
A
Giải thích
Thay \(x=1\) vào vế trái:
\[ 2^{2x+1}=2^{2\cdot 1+1}=2^3=8. \]
Kết quả này bằng vế phải, nên \(x=1\) là nghiệm của phương trình.
Hoặc tiến hành giải phương trình bằng cách đưa về cùng cơ số. Ở đây, việc này được thực hiện bằng cách viết vế phải dưới dạng lũy thừa cơ số \(2\): \(8=2^3\). Khi đó, phương trình trở thành \(2^{2x+1}=2^3\). Do hai vế có cùng cơ số, nên hai số mũ phải bằng nhau, tức là \(2x+1=3\). Giải phương trình này thu được \(x=1\).
Một phương pháp giải khác là sử dụng lô-ga-rít. Ở đây, cần lấy lô-ga-rít cơ số \(2\) cả hai vế của phương trình: \(\log_2 2^{2x+1}=\log_2 8\). Kết quả cũng thu được \(2x+1=3\).
Luyện tập
Giải các phương trình sau bằng phương pháp đưa về cùng cơ số:
- \(4^x=64\),
- \(\left(\frac{1}{2}\right)^x=8\),
- \(9^{x-2}=27^{x+1}\),
- \(5^{x+1}=\frac{125}{25^x}\).
Giải các phương trình sau bằng cả hai phương pháp: đưa về cùng cơ số và sử dụng lô-ga-rít. So sánh xem phương pháp nào hiệu quả hơn trong từng trường hợp:
- \(3^{2x-1}=81^{x+1}\),
- \(2^{2+x}=5\cdot 2^x\),
- \(7^{2x}=49\cdot 7^x\),
- \(10^{x+1}=1000\).
Giải các phương trình sau bằng phương pháp sử dụng lô-ga-rít:
- \(2^x=7\),
- \(5^x=3^{x+1}\),
- \(e^{2x+1}=10\),
- \(7^{x+2}=11^{x-1}\).
Một chất phóng xạ có khối lượng ban đầu \(m_0=100\,\mathrm{g}\), sau \(3\) giờ chỉ còn \(60\,\mathrm{g}\). Hỏi sau bao lâu thì khối lượng còn lại là \(25\,\mathrm{g}\)? Biết rằng quá trình phân rã tuân theo công thức:
\[ m(t)=m_0\cdot e^{-kt}, \]
trong đó \(t\) là thời gian (đơn vị: giờ) và \(k>0\) là hằng số phân rã.
Câu 4
Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\sin x+\cos x\) là
A. \(\cos x+\sin x+C\).
B. \(\cos x-\sin x+C\).
C. \(-\cos x-\sin x+C\).
D. \(-\cos x+\sin x+C\).
Đáp án
D
Giải thích
Nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\sin x+\cos x\) là
\[ \begin{aligned} \int (\sin x + \cos x) dx &=\int \sin x dx + \int \cos x dx\\ &=(-\cos x + C_1) + (\sin x + C_2)\\ &=-\cos x + \sin x + C, \end{aligned} \]
trong đó \(C_1\), \(C_2\) và \(C\) là các hằng số.
Trong phép tính nguyên hàm trên, hàm \(f(x)=\sin x+\cos x\) được tách thành tổng của hai hàm \(\sin x\) và \(\cos x\). Khi lấy nguyên hàm từng phần, thu được:
\[ \int \sin x dx =-\cos x+C_1 \]
và
\[ \int \cos x dx =\sin x+C_2. \]
Khi cộng hai nguyên hàm này lại, thu được:
\[ (-\cos x+C_1)+(\sin x+C_2) =-\cos x+\sin x+(C_1+C_2). \]
Tổng \(C_1+C_2\) vẫn là một hằng số, nên có thể viết gọn thành \(C=C_1+C_2\), bởi tổng hai hằng số tùy ý vẫn là một hằng số tùy ý. Do đó, nguyên hàm tổng quát của \(f(x)\) có dạng:
\[ \int (\sin x+\cos x)dx =-\cos x+\sin x+C. \]
Luyện tập
Áp dụng tính chất tuyến tính của nguyên hàm
\(\int(\sin x-\cos x)dx\)
\(\int(x^2+x+1)dx\)
\(\int\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)dx\)
\(\int\left(\frac{1}{x}+\tan x\right)dx\)
\(\int(e^x+\ln x)dx\)
\(\int\left(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)dx\)
Biết \(F(x)=\int (\sin x+\cos x)dx\) và \(F\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\). Tìm biểu thức tường minh của \(F(x)\).
Câu 5
Cho hàm số \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\) \((ac\ne 0,\, ad-bc\ne 0)\) có bảng biến thiên như dưới đây.
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là
A. \(y=-2\).
B. \(x=-2\).
C. \(y=1\).
D. \(x=1\).
Đáp án
B
Giải thích
Nhận định \(x=-2\) là phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\), vì bảng biến thiên cho thấy hàm số không xác định tại \(x=-2\).
Chính thức hơn, từ bảng biến thiên có thể rút ra \[ \lim_{x\to -2^\pm}y(x) =\pm\infty, \]
tức là hàm số tiến ra vô cực khi \(x\) tiến tới \(-2\) từ hai phía. Theo định nghĩa, \(x=-2\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Luyện tập
Cho hàm số \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\) \((ac\ne 0,\, ad-bc\ne 0)\) có bảng biến thiên như dưới đây.
Tìm phương trình đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
Câu 6
Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_1=2\) và công sai \(d=3\). Giá trị của \(u_{5}\) bằng
A. \(14\).
B. \(15\).
C. \(17\).
D. \(12\).
Đáp án
A
Giải thích
Luyện tập
Câu 7
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((P): 2x-4y+3z-9=0\). Véc-tơ nào sau đây là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\)?
- \(\vec{n}_3=(-2;4;3)\).
- \(\vec{n}_1=(2;4;3)\).
- \(\vec{n}_4=(2;-4;3)\).
- \(\vec{n}_2=(2;4;-3)\).
Đáp án
C
Giải thích
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), mặt phẳng \((P): 2x-4y+3z-9=0\) nhận véc-tơ \(\vec{n}=(2;-4;3)\) làm véc-tơ pháp tuyến, với hoành độ, tung độ và cao độ lần lượt là các hệ số của \(x\), \(y\) và \(z\) trong phương trình.
Phương trình mặt phẳng \((P)\) có thể được viết lại dưới dạng:
\[ 2(x-0)-4(y-0)+3(z-3)=0. \]
Dạng này chứa nhiều thông tin hơn: không chỉ cho biết véc-tơ pháp tuyến \(\vec{n}=(2;-4;3)\), mà còn cho thấy mặt phẳng đi qua điểm \(A(0;0;3)\).
Hơn nữa, đẳng thức trên cũng thể hiện rõ cơ sở lập luận để tìm phương trình tổng quát của một mặt phẳng khi biết một véc-tơ pháp tuyến và một điểm đi qua.
Xét một điểm bất kỳ \(M(x;y;z)\) nằm trên mặt phẳng \((P)\). Khi đó, véc-tơ \(\overrightarrow{AM}=(x-0;y-0;z-3)\) là véc-tơ nằm trong mặt phẳng. Vì véc-tơ \(\vec{n}\) là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng nên phải vuông góc với mọi véc-tơ nằm trong mặt phẳng, do đó:
\[ \vec{n} \cdot \overrightarrow{AM} = 2(x - 0) - 4(y - 0) + 3(z - 3) = 0. \]
Rút gọn biểu thức trên thu được phương trình:
\[ 2x - 4y + 3z - 9 = 0. \]
Đây chính là phương trình tổng quát của mặt phẳng \((P)\).
Luyện tập
Hãy chỉ ra một véc-tơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng được xác định tương ứng bởi mỗi phương trình dưới đây.
- \(3x-y+2z-5=0\).
- \(-x+4y-72z=0\).
- \(-x+4y+4=0\).
- \(z=2x-y+1\).
Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(A(1;2;3)\) và nhận \(\vec{n}=(2;-1;3)\) làm một véc-tơ pháp tuyến.
Cho điểm \(A(0;0;1)\) và mặt phẳng \((P):x-y+2z-3=0\). Viết phương trình mặt phẳng \((Q)\) đi qua \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\).
Viết phương trình mặt phẳng chứa hai điểm \(A(1;0;2)\), \(B(3;1;1)\) và vuông góc với véc-tơ \(\vec{n}=(2;-1;4)\).
Viết lại phương trình \(2x-y+3z=0\) của mặt phẳng \((P)\) dưới dạng
\[ a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0, \]
với điểm \(A(x_0;y_0;z_0)\) thuộc mặt phẳng \((P)\) có tọa độ đơn giản nhất có thể.
Cho điểm \(A(0;0;3)\) và véc-tơ \(\vec{n}=(2;-4;3)\). Dùng lập luận hình học để thiết lập phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(\vec{n}\).
Có phải phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và có véc-tơ pháp tuyến \(\vec{n}=(a;b;c)\) có dạng:
\[ ax+by+cz=0. \]
Câu 8
Một người chia thời lượng (đơn vị: giây) thực hiện các cuộc gọi điện thoại của mình trong một tuần thành sáu nhóm và lập thành bảng tần số ghép nhóm như sau.
| Nhóm | \([0;30)\) | \([30;60)\) | \([60;90)\) | \([90;120)\) | \([120;150)\) | \([150;180)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Tần số | 10 | 11 | 8 | 6 | 4 | 1 |
Tứ phân vị thứ ba \(Q_3\) (đơn vị: giây) của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng
A. \(100\).
B. \(95\).
C. \(105\).
D. \(90\).
Đáp án
Giải thích
Luyện tập
Câu 9
Tập nghiệm của phương trình \(\sin x=1\) là
A. \(S=\left\{\frac{\pi}{2}+k2\pi\vert k\in\mathbb{Z}\right\}\).
B. \(S=\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\vert k\in\mathbb{Z}\right\}\).
C. \(S=\left\{k2\pi\vert k\in\mathbb{Z}\right\}\).
D. \(S=\left\{k\pi\vert k\in\mathbb{Z}\right\}\).
Đáp án
A
Giải thích
Có thể trực tiếp ghi nhớ rằng nghiệm của phương trình \(\sin x=1\) là
\[ x=\frac{\pi}{2}+k2\pi, \]
trong đó \(k\) là một số nguyên, tức \(k\in\mathbb{Z}\).
Dưới góc độ đại số, kết luận trên được hiểu như sau: hàm số \(\sin x\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(1\) tại \(x=\frac{\pi}{2}\), và lặp lại giá trị đó sau mỗi chu kỳ \(2\pi\). Do đó, nghiệm tổng quát là
\[ x=\frac{\pi}{2}+k2\pi. \]
Dưới góc độ hình học, giá trị lớn nhất của hàm số \(\sin x\) là \(1\), xảy ra khi góc \(x=\frac{\pi}{2}\) ứng với điểm cao nhất trên đường tròn đơn vị, có tọa độ \((0;1)\). Trên đường tròn lượng giác, quay thêm mỗi vòng cung \(2\pi\) sẽ đưa điểm trở lại vị trí cũ. Vì vậy, tất cả các góc có cùng hình chiếu lên trục tung bằng 1 đều có dạng:
\[ x=\frac{\pi}{2}+k2\pi. \]
Dưới đây là bảng công thức nghiệm các phương trình của \(\sin x=0\), \(\sin x=1\) và \(\sin x=-1\):
| Phương trình | Nghiệm tổng quát |
|---|---|
| \(\sin x = 0\) | \(x = k\pi\) |
| \(\sin x = 1\) | \(x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi\) |
| \(\sin x = -1\) | \(x = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi\) |
Ghi chú: Trong bảng trên, \(k\in \mathbb{Z}\).
Đường tròn lượng giác là công cụ trực quan giúp ghi nhớ và suy luận nghiệm của các phương trình này.
Trong trường hợp tổng quát, nếu vế phải là một giá trị \(a\) bất kỳ thỏa \(-1\leq a\leq 1\), phương trình \(\sin x =a\) có hai họ nghiệm:
\[ x=\arcsin a+k2\pi \]
hoặc
\[ x=\pi-\arcsin a+k2\pi. \]
Dưới đây là đường tròn lượng giác biểu diễn hai họ nghiệm này.
Luyện tập
Viết nghiệm tổng quát của các phương trình sau.
- \(\sin x = 0\).
- \(\sin x = 1\).
- \(\sin x = -1\).
- \(\sin x = \dfrac{1}{2}\).
- \(\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
Dựa vào đường tròn lượng giác, giải thích vì sao nghiệm của phương trình \(\sin x = -\dfrac{1}{2}\) là
\[ x = -\dfrac{\pi}{6} + k2\pi \]
hoặc
\[ x = -\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) + k2\pi. \]
Trên đoạn \([0; 2\pi]\), tìm tất cả các nghiệm của các phương trình sau và biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.
- \(\sin x = \dfrac{1}{2}\).
- \(\sin x = -\dfrac{1}{2}\).
- \(\sin x = \sqrt{3}/2\).
- \(\sin x = -1\).
- \(\sin x = 0\).
Giải thích tại sao phương trình \(\sin x = a\), với \(a \in (-1;1)\), luôn có đúng hai họ nghiệm.
Giải thích tại sao phương trình \(\sin x = 2\) không có nghiệm thực.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(a\) để phương trình sau có đúng một nghiệm thực thuộc khoảng \((0; 2\pi)\):
\[ \sin x = a. \]
Giải các phương trình sau.
- \(\sin(3x) = 1\).
- \(\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}\).
- \(2\sin x - 1 = 0\).
Câu 10
Cho khối chóp \(O.ABC\) có \(OA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\), tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và \(OA=2\), \(AB=3\), \(AC=6\). Thể tích của khối chóp \(O.ABC\) bằng
A. \(12\).
B. \(18\).
C. \(6\).
D. \(36\).
Đáp án
C
Giải thích
Khối chóp \(O.ABC\) với \(OA\perp (ABC)\), nên đoạn \(OA\) là đường cao từ đỉnh \(O\) đến mặt đáy tam giác \(ABC\).
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), nên diện tích tam giác đáy là:
\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 9. \]
Do đó, thể tích khối chóp là:
\[ V_{O.ABC} = \frac{1}{3} \cdot OA \cdot S_{ABC} = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 9 = 6. \]
Bình luận về cách ký hiệu
Cách sử dụng ký hiệu trong đề bài và trong lời giải trên có chỗ chưa chuẩn mực. Cụ thể, đó là không phân biệt giữa tên đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng. Ví dụ, ký hiệu \(OA\) đôi khi được hiểu là tên của một đoạn thẳng với hai đầu mút là \(O\) và \(A\) như trong cách nói “\(OA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\)”. Khi khác, ký hiệu đó lại được hiểu là độ dài của đoạn thẳng \(OA\), như trong “\(OA=2\)”.
Để tránh sự nhập nhằng giữa tên gọi của đối tượng hình học và giá trị của đối tượng hình học được gọi tên, nên sử dụng một hệ thống ký hiệu rõ ràng hơn như sau:
- Dùng \(\lvert OA \rvert\) để chỉ độ dài đoạn \(OA\).
- Dùng \(h_{OA}\) để chỉ độ dài đoạn \(OA\) nếu muốn nhấn mạnh \(OA\) là đường cao.
Dùng ký hiệu nhất quán để lập luận
Thể tích của khối chóp \(O.ABC\) được tính bằng công thức:
\[ V_{O.ABC} =\frac{1}{3}\cdot h_{OA}\cdot S_{ABC}, \]
trong đó \(h_{OA}\) là độ dài đường cao từ đỉnh \(O\) đến mặt phẳng đáy \((ABC)\), và \(S_{ABC}\) là diện tích tam giác \(ABC\).
Theo đề bài, \(OA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\). Do đó, khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \((ABC)\) chính là độ dài đoạn thẳng \(OA\):
\[ h_{OA} =\lvert OA\rvert =2. \]
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), nên diện tích \(S_{ABC}\) được tính bởi:
\[ S_{ABC} =\frac{1}{2}\cdot \lvert AB\rvert \cdot \lvert AC\rvert. \]
Với \(\lvert AB\rvert=3\) và \(\lvert AC\rvert=6\), có:
\[ S_{ABC} =\frac{1}{2}\cdot 3 \cdot 6 =9. \]
Thay \(h_{OA}=2\) và \(S_{ABC}=9\) vào công thức thể tích:
\[ V_{O.ABC} =\frac{1}{3}\cdot 2 \cdot 9 =6. \]
Luyện tập
Câu 11
Cho hình lăng trụ \(ABC.A^\prime B^\prime C^\prime\) (xem hình dưới). Đường thẳng \(B^\prime C^\prime\) song song với mặt phẳng nào sau đây?
A. \((B^\prime B C)\).
B. \((ABC)\).
C. \((A B^\prime C^\prime)\).
D. \((A^\prime B^\prime C^\prime)\).
Đáp án
B
Giải thích
Giải thích ngắn gọn
Đường thẳng \(B^\prime C^\prime\) song song với mặt phẳng \((ABC)\), vì \(B^\prime C^\prime\) nằm trong mặt phẳng \((A^\prime B^\prime C^\prime)\) mà hai mặt phẳng \((ABC)\) và \((A^\prime B^\prime C^\prime)\) lại song song với nhau.
Lập luận chi tiết
Một trong các tính chất cơ bản của hình lăng trụ là hai mặt đáy song song với nhau. Nghĩa là, chúng là hai mặt phẳng không trùng nhau, và không cắt nhau khi được mở rộng về mọi hướng. Nói cách khác, hai mặt phẳng song song là hai mặt phẳng không có điểm chung. Trong hình lăng trụ \(ABC.A^\prime B^\prime C^\prime\), hai mặt đáy \((ABC)\) và \((A^\prime B^\prime C^\prime)\) song song với nhau, viết \((ABC)\parallel (A^\prime B^\prime C^\prime)\).
Cũng tương tự như hai mặt phẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng khi chúng không có điểm chung. Đường thẳng \(B^\prime C^\prime\) nằm trong mặt phẳng \((A^\prime B^\prime C^\prime)\), mà \((A^\prime B^\prime C^\prime)\) không có điểm chung với \((ABC)\), nên \(B^\prime C^\prime\) cũng không có điểm chung với \((ABC)\). Tức là \(B^\prime C^\prime\) song song với \((ABC)\), viết \(B^\prime C^\prime \parallel (ABC)\).
Luyện tập
Cho hình lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\). Đường thẳng nào sau đây song song với mặt phẳng \((ABC)\)?
A. \(B^\prime C^\prime\).
B. \(AC^\prime\).
C. \(BD\).
D. \(A^\prime D\).
Trong hình lăng trụ \(ABC.A^\prime B^\prime C^\prime\), đường thẳng nào dưới đây không song song với mặt phẳng \((ABC)\)?
A. \(A^\prime C^\prime\).
B. \(B^\prime C^\prime\).
C. \(A^\prime B^\prime\).
D. \(AC\).
Cho hình lăng trụ \(ABCD.A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime\).
- Chứng minh \(A^\prime C^\prime \parallel (ABCD)\).
- Chứng minh \(A^\prime C^\prime \parallel AC\).
Phát biểu nào đúng và phát biểu nào sai trong các phát biểu dưới đây?
- Nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng song song với mặt phẳng khác thì đường thẳng đó có thể cắt mặt phẳng kia.
- Một đường thẳng chỉ song song với một mặt phẳng nếu nó nằm trong mặt phẳng đó.
- Nếu một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng, và mặt phẳng này song song với một mặt phẳng khác, thì đường thẳng cũng song song với mặt phẳng khác đó.
- Một đường thẳng không bao giờ song song với mặt phẳng.
Câu 12
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) (xem hình dưới). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. \(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD} =4\overrightarrow{SO}\).
B. \(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD} =2\overrightarrow{SO}\).
C. \(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD} =\overrightarrow{0}\).
D. \(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD} =\overrightarrow{SO}\).
Đáp án
A
Giải thích
Trong tổng \(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}\), lần lượt thay
\[ \overrightarrow{SA} =\overrightarrow{SO}+\overrightarrow{OA}, \]
\[ \overrightarrow{SB} =\overrightarrow{SO}+\overrightarrow{OB}, \]
\[ \overrightarrow{SC} =\overrightarrow{SO}+\overrightarrow{OC}, \]
\[ \overrightarrow{SD} =\overrightarrow{SO}+\overrightarrow{OD} \]
để có
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB} &+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}\\ &= \left(\overrightarrow{SO}+\overrightarrow{OA}\right) + \left(\overrightarrow{SO}+\overrightarrow{OB}\right) + \left(\overrightarrow{SO}+\overrightarrow{OC}\right) + \left(\overrightarrow{SO}+\overrightarrow{OD}\right)\\ &=4\overrightarrow{SO} + \left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)+\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\right) \end{aligned} \]
Tiếp tục thay \(\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}\) và \(\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OA}\) vào kết quả trên để đi đến kết quả cuối cùng:
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB} &+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}\\ &=4\overrightarrow{SO} + \left(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OA}\right)+\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OB}\right)\\ &=4\overrightarrow{SO}. \end{aligned} \]
Vì sao \(\overrightarrow{SA}=\overrightarrow{SO}+\overrightarrow{OA}\)?
Hãy tưởng tượng bạn đang đứng tại điểm \(S\), muốn đi đến điểm \(A\), nhưng lại quyết định ghé qua điểm \(O\) trước. Khi đó, bạn đi từ \(S\) đến \(O\), rồi từ \(O\) đến \(A\). Quãng đường bạn đi gồm hai chặn liên tiếp là \(\overrightarrow{SO}\) và \(\overrightarrow{OA}\). Do đó, đường đi từ \(S\) đến \(A\) qua \(O\) là \(\overrightarrow{SO}+\overrightarrow{OA}\). Nhưng nếu bạn không ghé qua \(O\), bạn sẽ đi thẳng từ \(S\) đến \(A\), đó chính là \(\overrightarrow{SA}\):
\[ \overrightarrow{SA}=\overrightarrow{SO}+\overrightarrow{OA}. \]
Đây là cách cộng hai véc-tơ nối tiếp nhau đầu-đuôi, còn gọi là quy tắc ba điểm: véc-tơ đầu kết thúc ở đâu, thì véc-tơ sau bắt đầu từ đó. Khi ghép hai véc-tơ như vậy, véc-tơ thu được là véc-tơ nối trực tiếp từ điểm đầu đến điểm cuối của hai véc-tơ được ghép.
Tuy nhiên, cần đặc biệt lưu ý rằng: đây không phải là phép cộng độ dài quãng đường. Trong nhiều trường hợp, tổng độ dài hai đoạn \(SO\) và \(OA\) còn lớn hơn cả độ dài đoạn \(SA\). Vậy tại sao đẳng thức trên vẫn đúng?
Câu trả lời nằm ở chỗ: véc-tơ không phải là một đoạn đường cụ thể, mà là một sự dời chỗ có hướng. Mỗi véc-tơ được đặc trưng bởi hướng và độ lớn (tức là mức độ dịch chuyển). Khi nói đến \(\overrightarrow{SO}\), cái đang diễn tả là sự dịch chuyển từ \(S\) đến \(O\), không phải đoạn đường \(SO\); còn \(\overrightarrow{OA}\) là sự dịch chuyển từ \(O\) đến \(A\), không phải đoạn đường \(OA\). Khi nối tiếp hai sự dời chỗ này - tức là thực hiện \(\overrightarrow{SO}\) sau đó là \(\overrightarrow{OA}\) - thì kết quả là sự dịch chuyển từ \(S\) đến \(A\), chính là \(\overrightarrow{SA}\).
Bản chất này cho thấy cái nhìn đúng đắn về phép cộng véc-tơ:
Phép cộng véc-tơ không phải là cộng độ dài, mà là kết hợp các sự dời chỗ theo hướng.
Ngoài ra, phép cộng véc-tơ còn có một cách hình dung khác gọi là quy tắc hình bình hành. Trong đó, tổng của hai véc-tơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) cùng gốc \(O\) là véc-tơ \(\vec{c}\) nằm trên đường chéo của hình bình hành tạo bởi hai véc-tơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\), véc-tơ \(\vec{c}\) cũng có cùng góc \(O\).
Nhưng nếu nhìn sâu hơn, quy tắc hình bình hành cũng chỉ là một hệ quả của quy tắc ba điểm: tạo một điểm trung gian sao cho véc-tơ thứ hai được “dịch chuyển song song” để nối tiếp véc-tơ thứ nhất - lúc đó, lại trở về quy tắc ba điểm.
Hiểu đúng phép cộng véc-tơ giúp không nhầm lẫn với việc cộng quãng đường, và cho thấy véc-tơ không đơn thuần là một đoạn thẳng, mà là một hành động chuyển dịch - một hiệu ứng, một thay đổi định hướng. Tư duy này là nền tảng cho cơ học, hình học giải tích và nhiều lĩnh vực trong vật lý, toán học.
Luyện tập
Cho ba điểm \(A\), \(B\), \(C\). Vẽ các véc-tơ \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}\) và \(\overrightarrow{AC}\). Dùng hình vẽ để kiểm chứng \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\).
Diễn tả hành trình sau bằng véc-tơ: “Đi từ nhà (điểm \(N\)) đến trường (điểm \(T\)) qua nhà một người bạn (điểm \(B\))”. Viết véc-tơ tương ứng và giải thích vì sao véc-tơ từ \(N\) đến \(T\) bằng tổng hai véc-tơ còn lại?
Cho hai véc-tơ \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) có cùng điểm đầu.
- Vẽ véc-tơ tổng theo quy tắc hình bình hành.
- Dịch chuyển \(\vec{b}\) để đầu trùng đuôi \(\vec{a}\), rồi cộng theo quy tắc ba điểm.
Cho véc-tơ \(\vec{u}\) dài \(4\, \mathrm{cm}\) theo hướng Đông, véc-tơ \(\vec{v}\) dài \(3\, \mathrm{cm}\) theo hướng Bắc. Vẽ véc-tơ tổng \(\vec{u}+\vec{v}\) và tính độ lớn của nó. So sánh với tổng độ dài hai véc-tơ.
Một người đi từ \(A\) đến \(B\), rồi từ \(B\) đến \(C\). Tổng quãng đường là \(10 \mathrm{km}\). Có phải véc-tơ tổng \(\overrightarrow{AC}\) có độ lớn bằng \(10 \mathrm{km}\)? Giải thích tại sao.
Cho hình bình hành \(OMNP\), với \(\overrightarrow{OM}=\vec{a}\), \(\overrightarrow{ON}=\vec{a}+\vec{b}\). Hãy xác định véc-tơ \(\overrightarrow{MP}\), \(\overrightarrow{PN}\), và chứng minh quy tắc hình bình hành là hệ quả của quy tắc ba điểm.
Cho hình chữ nhật \(ABCD\), gọi \(E\) là trung điểm \(AB\), \(F\) là trung điểm \(CD\). Tính \(\overrightarrow{EF}\) theo các véc-tơ \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) và giải thích bằng quy tắc cộng véc-tơ.
Một tàu đang di chuyển \(20\, \mathrm{km/h}\) về phía Đông. Một dòng chảy đẩy tàu về phía Bắc với vận tốc \(15\, \mathrm{km/h}\). Xác định véc-tơ vận tốc thực của tàu so với đất.
Hai lực cùng tác dụng tại một điểm, một lực \(5N\) theo hướng Tây, một lực \(12N\) theo hướng Nam. Tính hợp lực tác dụng và hướng của nó.
Phần II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a, b, c, d ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1
Cho hàm số \(f(x)=x^3-27x+81\).
- Hàm số đã cho có đạo hàm là \(f^\prime(x)=3x^2-27\).
- Phương trình \(f^\prime(x)=0\) có tập nghiệm là \(S=\{3\}\).
- \(f(3)=27\).
- Giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \([-4;4]\) bằng \(27\).
Đáp án
Giải thích
Luyện tập
Câu 2
Một phần mềm nhận dạng tin nhắn quảng cáo trên điện thoại bằng cách dựa theo từ khóa để đánh dấu một số tin nhắn được gửi đến. Qua một thời gian dài sử dụng, người ta thấy rằng trong số tất cả các tin nhắn gửi đến, có \(20%\) số tin nhắn bị đánh dấu. Trong số các tin nhắn bị đánh dấu, có \(10%\) số tin nhắn không phải là quảng cáo. Trong số các tin nhắn không bị đánh dấu, có \(10%\) số tin nhắn là quảng cáo.
Chọn ngẫu nhiên một số tin nhắn được gửi đến điện thoại.
a) Xác suất để tin nhắn đó không bị đánh dấu bằng \(0,8\).
b) Xác suất để tin nhắn đó không phải là quảng cáo, biết rằng nó không bị đánh dấu, bằng \(0,95\).
c) Xác suất để tin nhắn đó không phải là quảng cáo bằng \(0,76\).
d) Xác suất để tin nhắn đó không bị đánh dấu, biết rằng nó không phải là quảng cáo, nhỏ hơn \(0,95\).
Đáp án
Giải thích
Luyện tập
Câu 3
Đối với ngành nuôi trồng thủy sản, việc kiểm soát lượng thuốc tồn dư trong nước là một nhiệm vụ quan trọng nhằm đáp ứng các tiêu chuẩn an toàn về môi trường. Khi nghiên cứu một loại thuốc trị bệnh trong nuôi trồng thủy sản, người ta sử dụng thuốc đó một lần và theo dõi nồng độ thuốc tồn dư trong nước kể từ lúc sử dụng thuốc. Kết quả cho thấy nồng độ thuốc \(y(t)\) (đơn vị: \(\text{mg/lít}\)) tồn dư trong nước tại thời điểm \(t\) ngày (\(t\geq 0\)) kể từ lúc sử dụng thuốc, thỏa mãn \(y(t)> 0\) và \(y^\prime(t)=ky(t)\,(t\geq 0)\), trong đó \(k\) là hằng số khác không. Đo nồng độ thuốc tồn dư trong nước tại các thời điểm \(t=6\) (ngày); \(t=12\) (ngày) nhận được kết quả lần lượt là \(2\,\text{mg/lít}\); \(1\,\text{mg/lít}\). Cho biết \(y(t)=e^{g(t)}\, (t\geq 0)\).
a) \(g(t)=kt+C \, (t\geq 0)\) với \(C\) là một hằng số xác định.
b) \(k=-\frac{\ln 2}{6}\).
c) \(C=3\ln 2\).
d) Nồng độ thuốc tồn dư trong nước tại thời điểm \(t=20\) (ngày) kể từ lúc sử dụng thuốc lớn hơn \(0,4\,\text{mg/lít}\).
Đáp án
Giải thích
Luyện tập
Câu 4
Mô hình toán học sau đây được sử dụng trong quan sát chuyển động của một vật. Trong không gian cho hệ tọa độ \(Oxyz\) có \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\) lần lượt là các véc-tơ đơn vị trên các trục \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) và độ dài của mỗi véc-tơ đơn vị đó bằng \(1\) mét. Cho hai điểm \(A\) và \(B\), trong đó điểm \(A\) có tọa độ là \((6;6;0)\). Một vật (coi như là một hạt) chuyển động thẳng với tốc độ phụ thuộc thời gian \(t\) (giây) theo công thức \(v(t)=\beta t+300\) \(\text{(m/giây)}\), trong đó \(\beta\) là hằng số dương và \(0\leq t\leq 6\). Ở thời điểm ban đầu (\(t=0\)), vật đi qua \(A\) với tốc độ \(300\) m/giây và hướng tới \(B\). Sau \(2\) giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đi được quãng đường \(608\) \(\mathrm{m}\). Gọi \(\vec{u}=(a;b;c)\) là véc-tơ cùng hướng với véc-tơ \(\overrightarrow{AB}\). Biết rằng \(\lvert \vec{u}\rvert=1\) và góc giữa véc-tơ \(\vec{u}\) lần lượt với các véc-tơ \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\) có số đo tương ứng bằng \(60^\circ\), \(60^\circ\), \(45^\circ\).
a) \(a=\cos 60^\circ\).
b) Phương trình đường thẳng \(AB\) là \(\frac{x-6}{1}=\frac{y-6}{1}=\frac{z}{2}\).
c) \(\beta=3\).
d) Giả sử sau \(5\) giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đến điểm \(B(x_B;y_B;z_B)\). Khi đó \(x_B=781\).
Đáp án
Giải thích
Luyện tập
Phần III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1
Để đặt được một vật trang trí trên mặt bàn, người ta thiết kế một chân đế như sau. Lấy một khối gỗ có dạng khối chóp cụt tứ giác đều với độ dài hai cạnh đáy lần lượt bằng \(7,4\, \text{cm}\) và \(10,4\, \text{cm}\), bề dài của khối gỗ bằng \(1,5\, \text{cm}\). Sau đó khoét bỏ đi một phần của khối gỗ sao cho phần đó có dạng vật thể \(H\), ở đó \(H\) nhận được bằng cách cắt khối cầu bán kính \(5,7\, \text{cm}\) bởi một mặt phẳng cắt mà mặt cắt là hình tròn bán kính \(3,5\, \text{cm}\) (xem hình dưới).
Thể tích của khối chân đế bằng bao nhiêu xen-ti-mét khối (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười)?
Đáp án
Giải thích
Luyện tập
Câu 2
Nếu một doanh nghiệp sản xuất \(x\) sản phẩm trong một tháng \(\{x\in\mathbb{N}^\star: 1\leq 4\leq 4500\}\) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là \(F(x)=-0,01x^2+400x\) (nghìn đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm là \(G(x)=\frac{30000}{x}+270\) (nghìn đồng). Giả sử số sản phẩm sản xuất ra luôn được bán hết. Trong một tháng, doanh nghiệp đó cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được lớn hơn \(100\) triệu đồng?
Đáp án
Giải thích
Luyện tập
Câu 3
Bạn Nam tham gia cuộc thi giải một mật thư. Theo quy tắc của cuộc thi, người chơi cần chọn ra sáu số từ tập
\[ S=\{21;22;23;24;25;26;27;28;29\} \]
và xếp mỗi số vào đúng một vị trí trong sáu vị trí \(A\), \(B\), \(C\), \(M\), \(N\), \(P\) như hình bên dưới sao cho mỗi vị trí chỉ được xếp một số. Mật thư sẽ được giải nếu các bộ ba số xuất hiện ở những bộ ba vị trí \((A,M,B)\), \((B,N,C)\), \((C,P,A)\) tạo thành các cấp số cộng theo thứ tự đó. Bạn Nam chọn ngẫu nhiên sáu số trong tập \(S\) và xếp ngẫu nhiên vào các vị trí được yêu cầu. Gọi xác suất để bạn Nam giải được mật thư ở lần chọn và xếp đó là \(a\). Giá trị của \(\frac{2}{a}\) bằng bao nhiêu?
Đáp án
Giải thích
Luyện tập
Câu 4
Để gây quỹ từ thiện, câu lạc bộ thiện nguyện của một trường THPT tổ chức hoạt động bán hàng với hai mặt hàng là nước chanh và khoai chiên. Câu lạc bộ thiết kế hai thực đơn. Thực đơn 1 có giá \(35\) nghìn đồng, bao gồm hai cốc nước chanh và một túi khoai chiên. Thực đơn \(2\) có giá \(55\) nghìn đồng, bao gồm ba cốc nước chanh và hai túi khoai chiên. Biết rằng câu lạc bộ chỉ làm được không quá \(165\) cốc nước chanh và \(100\) túi khoai chiên. Số tiền lớn nhất mà câu lạc bộ có thể nhận được sau khi bán hết hàng bằng bao nhiêu nghìn đồng?
Đáp án
Giải thích
Luyện tập
Câu 5
Có bốn ngăn (trong một giá để sách) được đánh số thứ tự \(1,2,3,4\) và bảy quyển sách khác nhau. Bạn An xếp hết tám quyển sách nói trên vào bốn ngăn đó sao cho mỗi ngăn có ít nhất một quyển sách và các quyển sách được xếp thẳng đứng thành một hàng ngang với gáy sách quay ra ngoài ở mỗi ngăn. Khi đã xếp xong tám quyển sách, hai cách xếp của bạn An được gọi là giống nhau nếu chúng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau đây:
- Với từng ngăn, số lượng quyển sách ở ngăn đó là như nhau trong cả hai cách xếp;
- Với từng ngăn, thứ tự từ trái sang phải của các quyển sách được xếp là như nhau trong cả hai cách xếp.
Gọi \(T\) là số cách xếp đôi một khác nhau của bạn An. Giá trị của \(\frac{T}{600}\) bằng bao nhiêu?
Đáp án
Giải thích
Luyện tập
Câu 6
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi với \(\hat{ABC}=60^\circ\) và \(AB=2\). Biết rằng hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt phẳng \((ABCD)\) là trọng tâm \(H\) của tam giác \(ABC\) và \(SH=\sqrt{2}\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(SD\) bằng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?