Đề thi tốt nghiệp Trung Học Phổ Thông 2025

Phần I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1

Cho hình lăng trụ \(ABC.A^\prime B^\prime C^\prime\) (xem hình dưới). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{A^\prime C^\prime}=\overrightarrow{BC^\prime}\).

B. \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{A^\prime C^\prime}=\overrightarrow{C^\prime B^\prime}\).

C. \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{A^\prime C^\prime}=\overrightarrow{BC}\).

D. \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{A^\prime C^\prime}=\overrightarrow{A^\prime A}\).

Đáp án

Giải thích

Trong tổng \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{A^\prime C^\prime}\), thay \(\overrightarrow{A^\prime C^\prime}\) bởi \(\overrightarrow{AC}\) và áp dụng quy tắc ba điểm để cộng hai véc-tơ:

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{A^\prime C^\prime} &=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\\ &=\overrightarrow{BC}. \end{aligned} \]

Vì sao \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\)?

Đẳng thức này biểu diễn cách cộng hai véc-tơ đầu-đuôi nối tiếp nhau, còn gọi là quy tắc ba điểm: khi ghép hai véc-tơ mà đuôi của véc-tơ này là đầu của véc-tơ kia, véc-tơ thu được là véc-tơ nối trực tiếp từ điểm đầu còn lại đến điểm cuối còn lại của hai véc-tơ được ghép.

Đặc biệt lưu ý rằng: \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\) và \(BA+AC=BC\) là hai đẳng thức hoàn toàn khác nhau. Trong đẳng thức \(BA+AC=BC\), điểm \(A\) phải nằm giữa hai điểm \(B\) và \(C\), độ dài đoạn \(BC\) bằng tổng độ dài hai đoạn \(BA\) và \(AC\). Trong trường hợp tổng quát, điểm \(A\) không nhất thiết phải nằm giữa \(B\) và \(C\), đẳng thức được thay bằng bất đẳng thức \(BA+AC\geq BC\).

Phải hiểu đẳng thức \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\) thế nào?

Câu trả lời nằm ở chỗ: véc-tơ không phải là một khoảng cách, mà là một sự dời chỗ có hướng. Mỗi véc-tơ \(\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{BA}\), \(\overrightarrow{AC}\) mang hai đặc trưng hướng và độ dài; còn \(BC\), \(BA\), \(AC\) chỉ có một đặc trưng là độ dài. Khi nói đến \(\overrightarrow{BC}\), cái đang diễn tả là sự dời chỗ có hướng từ \(B\) đến \(C\), không chỉ đơn giản là khoảng cách từ \(B\) đến \(C\), mà còn bao gồm cả hướng từ \(B\) đến \(C\). Khi nối tiếp hai sự dời chỗ có hướng \(\overrightarrow{BA}\) và \(\overrightarrow{AC}\) - tức là thực hiện \(\overrightarrow{BA}\) sau đó là \(\overrightarrow{AC}\) - thì kết quả cũng chính là sự dời chỗ có hướng từ \(B\) đến \(C\), chính là \(\overrightarrow{BC}\).

Phép cộng véc-tơ không phải là cộng độ dài, mà là kết hợp các sự dời chỗ theo hướng.

Ngoài ra, phép cộng véc-tơ còn có một cách hình dung khác gọi là quy tắc hình bình hành. Trong đó, tổng của hai véc-tơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) cùng gốc \(O\) là véc-tơ \(\vec{c}\) nằm trên đường chéo của hình bình hành tạo bởi hai véc-tơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\), véc-tơ \(\vec{c}\) cũng có cùng góc \(O\).

Nhưng nếu nhìn sâu hơn, quy tắc hình bình hành cũng chỉ là một hệ quả của quy tắc ba điểm: tạo một điểm trung gian sao cho véc-tơ thứ hai được “dịch chuyển song song” để nối tiếp véc-tơ thứ nhất - lúc đó, lại trở về quy tắc ba điểm.

Hiểu đúng phép cộng véc-tơ giúp không nhầm lẫn với việc cộng quãng đường, và cho thấy véc-tơ không đơn thuần là một đoạn thẳng, mà là một hành động chuyển dịch - một hiệu ứng, một thay đổi định hướng. Tư duy này là nền tảng cho cơ học, hình học giải tích và nhiều lĩnh vực trong vật lý, toán học.

Luyện tập

Cho ba điểm \(A\), \(B\), \(C\). Vẽ các véc-tơ \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}\) và \(\overrightarrow{AC}\). Dùng hình vẽ để kiểm chứng \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\).
Diễn tả hành trình sau bằng véc-tơ: “Đi từ nhà (điểm \(N\)) đến trường (điểm \(T\)) qua nhà một người bạn (điểm \(B\))”. Viết véc-tơ tương ứng và giải thích vì sao véc-tơ từ \(N\) đến \(T\) bằng tổng hai véc-tơ còn lại?
Cho hai véc-tơ \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) có cùng điểm đầu.
1. Vẽ véc-tơ tổng theo quy tắc hình bình hành.
2. Dịch chuyển \(\vec{b}\) để đầu trùng đuôi \(\vec{a}\), rồi cộng theo quy tắc ba điểm.
Cho véc-tơ \(\vec{u}\) dài \(4\, \mathrm{cm}\) theo hướng Đông, véc-tơ \(\vec{v}\) dài \(3\, \mathrm{cm}\) theo hướng Bắc. Vẽ véc-tơ tổng \(\vec{u}+\vec{v}\) và tính độ lớn của nó. So sánh với tổng độ dài hai véc-tơ.
Một người đi từ \(A\) đến \(B\), rồi từ \(B\) đến \(C\). Tổng quãng đường là \(10 \mathrm{km}\). Có phải véc-tơ tổng \(\overrightarrow{AC}\) có độ lớn bằng \(10 \mathrm{km}\)? Giải thích tại sao.
Cho hình bình hành \(OMNP\), với \(\overrightarrow{OM}=\vec{a}\), \(\overrightarrow{ON}=\vec{a}+\vec{b}\). Hãy xác định véc-tơ \(\overrightarrow{MP}\), \(\overrightarrow{PN}\), và chứng minh quy tắc hình bình hành là hệ quả của quy tắc ba điểm.
Cho hình chữ nhật \(ABCD\), gọi \(E\) là trung điểm \(AB\), \(F\) là trung điểm \(CD\). Tính \(\overrightarrow{EF}\) theo các véc-tơ \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) và giải thích bằng quy tắc cộng véc-tơ.
Một tàu đang di chuyển \(20\, \mathrm{km/h}\) về phía Đông. Một dòng chảy đẩy tàu về phía Bắc với vận tốc \(15\, \mathrm{km/h}\). Xác định véc-tơ vận tốc thực của tàu so với đất.
Hai lực cùng tác dụng tại một điểm, một lực \(5N\) theo hướng Tây, một lực \(12N\) theo hướng Nam. Tính hợp lực tác dụng và hướng của nó.

Câu 2

Cho hình hộp \(ABCD.A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime\) (xem hình dưới). Đường thẳng \(AB\) song song với mặt phẳng nào sau đây?

A. \((C C^\prime A^\prime A)\).

B. \((B B^\prime C^\prime C)\).

C. \((A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime)\).

D. \((A A^\prime D^\prime D)\).

Đáp án

Giải thích

Giải thích ngắn gọn

Đường thẳng \(AB\) song song với mặt phẳng \((A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime)\), vì \(AB\) nằm trong mặt phẳng \((ABCD)\) mà hai mặt phẳng \((ABCD)\) và \((A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime)\) lại song song với nhau.

Lập luận chi tiết

Một trong các tính chất cơ bản của hình lăng trụ là hai mặt đáy song song với nhau. Nghĩa là, chúng là hai mặt phẳng không trùng nhau, và không cắt nhau khi được mở rộng về mọi hướng. Nói cách khác, hai mặt phẳng song song là hai mặt phẳng không có điểm chung. Trong hình lăng trụ \(ABCD.A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime\), hai mặt đáy \((ABCD)\) và \((A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime)\) song song với nhau, viết \((ABCD)\parallel (A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime)\).

Cũng tương tự như hai mặt phẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng khi chúng không có điểm chung. Đường thẳng \(BC\) nằm trong mặt phẳng \((ABCD)\), mà \((ABCD)\) không có điểm chung với \((A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime)\), nên \(BC\) cũng không có điểm chung với \((A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime)\). Tức là \(BC\) song song với \((A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime)\), viết \(BC \parallel (A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime)\).

Luyện tập

Cho hình lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\). Đường thẳng nào sau đây song song với mặt phẳng \((ABC)\)?

A. \(B^\prime C^\prime\).

B. \(AC^\prime\).

C. \(BD\).

D. \(A^\prime D\).
Trong hình lăng trụ \(ABC.A^\prime B^\prime C^\prime\), đường thẳng nào dưới đây không song song với mặt phẳng \((ABC)\)?

A. \(A^\prime C^\prime\).

B. \(B^\prime C^\prime\).

C. \(A^\prime B^\prime\).

D. \(AC\).
Cho hình lăng trụ \(ABCD.A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime\).
1. Chứng minh \(A^\prime C^\prime \parallel (ABCD)\).
2. Chứng minh \(A^\prime C^\prime \parallel AC\).
Phát biểu nào đúng và phát biểu nào sai trong các phát biểu dưới đây?
1. Nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng song song với mặt phẳng khác thì đường thẳng đó có thể cắt mặt phẳng kia.
2. Một đường thẳng chỉ song song với một mặt phẳng nếu nó nằm trong mặt phẳng đó.
3. Nếu một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng, và mặt phẳng này song song với một mặt phẳng khác, thì đường thẳng cũng song song với mặt phẳng khác đó.
4. Một đường thẳng không bao giờ song song với mặt phẳng.

Câu 3

Một người chia thời lượng (đơn vị: giây) thực hiện các cuộc gọi điện thoại của mình trong một tuần thành sáu nhóm và lập thành bảng tần số ghép nhóm như sau.

Nhóm	\([0;40)\)	\([40;80)\)	\([80;120)\)	\([120;160)\)	\([160;200)\)	\([200;240)\)
Tần số	\(11\)	\(10\)	\(6\)	\(8\)	\(4\)	\(1\)

Tứ phân vị thứ ba \(Q_3\) (đơn vị: giây) của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng

A. \(145\).

B. \(140\).

C. \(135\).

D. \(130\).

Đáp án

C. \(135\).

Giải thích

Dưới đây là bảng tần số tích lũy.

Số thứ tự	Nhóm	Tần số	Tần số tích lũy
1	\([0;40)\)	\(11\)	\(11\)
2	\([40;80)\)	\(10\)	\(21\)
3	\([80;120)\)	\(6\)	\(27\)
4	\([120;160)\)	\(8\)	\(35\)
5	\([160;200)\)	\(4\)	\(39\)
6	\([200;240)\)	\(1\)	\(40\)

Tổng cộng có \(n=40\) số liệu. Tứ phân vị \(Q_3\) thuộc vào nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy \(cf_4=35\) lớn hơn \(\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 40}{4}=30\). Nhóm 4, \([120;160)\), có đầu mút trái \(l_4=120\), tần số \(f_4=8\), độ dài \(d=40\). Nhóm 3 liền trước nhóm 4 có tần số tích lũy \(cf_3=27\). Tính \(Q_3\) theo công thức:

\[ \begin{aligned} Q_3 &=l_4+\left(\frac{\frac{3n}{4}-cf_3}{f_4}\right)\cdot d\\ &=120+\left(\frac{30-27}{8}\right)\cdot 40\\ &=135. \end{aligned} \]

Tính tứ phân vị \(Q_k\) (\(k=1,2,3\)) mẫu số liệu ghép nhóm

Giả sử nhóm \(p\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(\frac{kn}{4}\). Nhóm \(p\) có đầu mút trái \(l_p\), tần số \(f_p\), độ dài \(d\). Nhóm \(p-1\) liền trước nhóm \(p\) có tần số tích lũy \(cf_{p-1}\). Tính \(Q_k\) theo công thức:

\[ \begin{aligned} Q_k =l_p+\left(\frac{\frac{kn}{4}-cf_{p-1}}{f_p}\right)\cdot d. \end{aligned} \]

Luyện tập

Thời gian học bài

Một học sinh ghi lại thời lượng học bài mỗi ngày trong tháng, được chia thành các nhóm như sau:

Nhóm (phút) \([0;30)\) \([30;60)\) \([60;90)\) \([90;120)\) \([120;150)\)

Tần số \(3\) \(8\) \(12\) \(5\) \(2\)

Tính tứ phân vị thứ ba \(Q_3\). Giải thích ý nghĩa của kết quả này.

Nhóm (phút)	\([0;30)\)	\([30;60)\)	\([60;90)\)	\([90;120)\)	\([120;150)\)
Tần số	\(3\)	\(8\)	\(12\)	\(5\)	\(2\)

Dung lượng dữ liệu di động

Một khảo sát ghi nhận dung lượng dữ liệu (tính theo MB) mà 40 học sinh đã dùng trong một tuần. Dữ liệu được chia thành các khoảng sau:

Dung lượng (MB) \([0;500)\) \([500;1000)\) \([1000;1500)\) \([1500;2000)\) \([2000;2500)\) \([2500;3000)\)

Số học sinh \(3\) \(7\) \(12\) \(10\) \(5\) \(3\)

Tính trung vị \(M_e\) (tức là tứ phân vị \(Q_2\)). Từ đó, hãy cho biết: phần lớn học sinh dùng ít hơn bao nhiêu MB dữ liệu trong tuần đó?

Dung lượng (MB)	\([0;500)\)	\([500;1000)\)	\([1000;1500)\)	\([1500;2000)\)	\([2000;2500)\)	\([2500;3000)\)
Số học sinh	\(3\)	\(7\)	\(12\)	\(10\)	\(5\)	\(3\)

Số bước đi bộ mỗi ngày

Một ứng dụng sức khoẻ thống kê số bước đi bộ mỗi ngày của một người trong \(30\) ngày liên tiếp và chia thành bảng sau:

Số bước mỗi ngày \([0;2000)\) \([2000;4000)\) \([4000;6000)\) \([6000;8000)\) \([8000;10000)\)

Số ngày \(2\) \(4\) \(8\) \(10\) \(6\)

Tính tứ phân vị thứ nhất \(Q_1\). Ý nghĩa: Trong \(25\%\) ngày có hoạt động thấp nhất, số bước đi bộ mỗi ngày ít hơn bao nhiêu bước?

Số bước mỗi ngày	\([0;2000)\)	\([2000;4000)\)	\([4000;6000)\)	\([6000;8000)\)	\([8000;10000)\)
Số ngày	\(2\)	\(4\)	\(8\)	\(10\)	\(6\)

Chi tiêu ăn sáng

Một học sinh ghi lại số tiền (nghìn đồng) mình chi cho bữa sáng mỗi ngày trong vòng \(30\) ngày, và thu được bảng sau:

Số tiền (nghìn đồng) \([10;15)\) \([15;20)\) \([20;25)\) \([25;30)\) \([30;35)\) \([35;40)\)

Số ngày \(2\) \(5\) \(8\) \(7\) \(5\) \(3\)

Tính tứ phân vị thứ hai \(Q_2\) (tức là trung vị \(M_e\)). Học sinh này thường chi bao nhiêu tiền cho một bữa sáng?

Số tiền (nghìn đồng)	\([10;15)\)	\([15;20)\)	\([20;25)\)	\([25;30)\)	\([30;35)\)	\([35;40)\)
Số ngày	\(2\)	\(5\)	\(8\)	\(7\)	\(5\)	\(3\)

Tốc độ truy cập In-tơ-nét

Một công ty đo tốc độ truy cập In-tơ-nét (Mbps) tại \(50\) hộ gia đình và thu được dữ liệu sau:

Tốc độ (Mbps) \([0;10)\) \([10;20)\) \([20;30)\) \([30;40)\) \([40;50)\) \([50;60)\)

Số hộ \(2\) \(5\) \(12\) \(18\) \(9\) \(4\)

Tính tứ phân vị thứ ba \(Q_3\). Khoảng \(25\%\) hộ gia đình có tốc độ In-tơ-nét cao nhất nằm trong khoảng từ bao nhiêu Mbps trở lên?

Tốc độ (Mbps)	\([0;10)\)	\([10;20)\)	\([20;30)\)	\([30;40)\)	\([40;50)\)	\([50;60)\)
Số hộ	\(2\)	\(5\)	\(12\)	\(18\)	\(9\)	\(4\)

Câu 4

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \((d): \frac{x-3}{4}=\frac{y+2}{-5}=\frac{z-1}{2}\). Véc-tơ nào sau đây là một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \((d)\)?

A. \(\overrightarrow{v}_3=(4;5;2)\).

B. \(\overrightarrow{v}_1=(3;-2;1)\).

C. \(\overrightarrow{v}_4=(3;2;1)\).

D. \(\overrightarrow{v}_2=(4;-5;2)\).

Đáp án

D. \(\overrightarrow{v}_2=(4;-5;2)\).

Giải thích

Một véc-tơ khác véc-tơ không được gọi là véc-tơ chỉ phương của một đường thẳng nếu nó cùng phương với đường thẳng đó, tức là giá của véc-tơ song song hoặc trùng với đường thẳng. Khi đường thẳng được cho dưới dạng tham số hoặc chính tắc, véc-tơ chỉ phương có thể được rút ra từ biểu thức.

Cụ thể, một đường thẳng có phương trình chính tắc

\[ \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} \]

hoặc phương trình tham số

\[ \begin{cases} x&=x_0+at, \\ y&=y_0+bt, \\ z&=z_0+ct \end{cases} \quad (t\in\mathbb{R}) \]

thì có véc-tơ chỉ phương \(\vec{u} = (a; b; c)\) và đi qua điểm \(M_0(x_0;y_0;z_0)\).

Trong bài toán này, đề bài cho đường thẳng \((d)\) có phương trình chính tắc:

\[ \frac{x - 3}{4} = \frac{y + 2}{-5} = \frac{z - 1}{2}. \]

Do đó, véc-tơ \(\vec{u} = (4; -5; 2)\) là một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \((d)\).

Luyện tập

Dưới đây là hệ thống bài tập theo bốn mức độ nhận thức (nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao), nhằm giúp học sinh củng cố kiến thức về phương trình đường thẳng trong không gian và véc-tơ chỉ phương.

Nhận biết: Học sinh nhận ra kiến thức đã học, thường theo cách trực tiếp.

Điểm \(M_0(x_0;y_0;z_0)\) và véc-tơ \(\vec{u} = (a;b;c)\) xác định một đường thẳng có phương trình tham số là

\[ \begin{cases} x = \underline{\hspace{1cm}} + \underline{\hspace{1cm}} t, \\ y = \underline{\hspace{1cm}} + \underline{\hspace{1cm}} t, \\ z = \underline{\hspace{1cm}} + \underline{\hspace{1cm}} t. \end{cases} \quad (t\in\mathbb{R}) \]
Trong các véc-tơ sau, véc-tơ nào là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng:

\[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{-1} = \frac{z}{4}. \]

A. \(\vec{u} = (1; 3; 0)\).

B. \(\vec{u} = (2; -1; 4)\).

C. \(\vec{u} = (1; -3; 4)\).

D. \(\vec{u} = (2; 1; -4)\).

Thông hiểu: Học sinh lý giải hoặc chuyển đổi biểu diễn giữa các dạng toán học.

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua \(A(2;-1;0)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\vec{u}=(-3;2;1)\).
Vì sao véc-tơ chỉ phương xác định được phương nhưng không xác định vị trí của đường thẳng?

Vận dụng: Học sinh áp dụng kiến thức vào tình huống quen thuộc.

Đường thẳng đi qua hai điểm \(A(1;0;-1)\) và \(B(4;2;2)\).
1. Tìm véc-tơ chỉ phương.
2. Viết phương trình tham số.
Một đường thẳng đi qua \(M(1;2;3)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\vec{u}=(2;-1;4)\). Tìm tọa độ điểm \(N\) trên đường thẳng sao cho tham số \(t=3\).

Vận dụng cao: Học sinh giải quyết vấn đề lạ, phức tạp hoặc gần với thực tế.

Chủ đề véc-tơ chỉ phương và phương trình đường thẳng trong không gian có nhiều ứng dụng thực tế thú vị, nhất là trong:

Cơ học (mô tả chuyển động theo phương xác định);
Đồ họa máy tính (dò tia trong không gian 3D);
Kỹ thuật và kiến trúc (thiết kế cấu trúc theo trục);
Điều hướng và định vị (GPS, mô hình hóa đường đi).

Dưới đây là một số bài toán thực tế hóa chủ đề này để học sinh thấy ý nghĩa ứng dụng.

Robot di chuyển theo phương cố định

Một rô-bót khởi hành từ điểm \(A(2; -1; 3)\) và di chuyển theo phương xác định bởi véc-tơ \(\vec{v} = (4; 2; -1)\).
1. Viết phương trình tham số của đường đi của rô-bót.
2. Sau \(5\) giây, giả sử mỗi giây nó đi được \(1\) đơn vị, hãy xác định vị trí của rô-bót.

Máy bay bay theo phương không đổi

Một máy bay đang bay qua điểm \(M_0(10; 5; 2)\) (tính theo km) theo hướng véc-tơ chỉ phương \(\vec{u} = (3; 4; 5)\).
1. Viết phương trình tham số của đường bay.
2. Một ra-đa đặt tại điểm \(R(25; 20; 15)\). Hỏi máy bay có thể bay qua vị trí ra-đa không?
Một chiếc máy bay bay từ điểm \(A(10;2;1)\) theo hướng xác định bởi véc-tơ \(\vec{v}=(6;4;3)\) (đơn vị: km).
1. Viết phương trình tham số biểu diễn đường bay.
2. Sau \(1\) giờ, máy bay ở đâu nếu vận tốc là \(600\) km/h theo phương của \(\vec{v}\)?

Giao tuyến hai mặt phẳng

Trong thiết kế một mô hình nhà 3D, hai mặt phẳng tường được xác định bởi:

\[ (\Pi_1): 2x - y + z = 5 \]

và

\[ (\Pi_2): x + y - 2z = 3. \]

Giao tuyến của hai mặt phẳng này là một đường thẳng.
1. Tìm phương trình tham số của giao tuyến.
2. Xác định véc-tơ chỉ phương của giao tuyến.
3. Giải thích ý nghĩa véc-tơ chỉ phương trong ngữ cảnh thiết kế 3D.

Thiết kế đường ray

Một đoạn đường ray được thiết kế đi qua hai điểm \(A(1; 2; 0)\) và \(B(4; 3; 5)\).
1. Tìm phương trình chính tắc của đường ray.
2. Có thể đặt thêm một trụ đỡ tại điểm \(C(10; 4; 15)\) không?
Tìm tất cả các véc-tơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ sao cho đường thẳng này:

Song song với mặt phẳng \((Oxy)\);
Vuông góc với trục \(Oz\).

Dưới đây là một hệ thống bài tập luyện tập được thiết kế để học sinh củng cố toàn diện các khái niệm:

Véc-tơ chỉ phương;
Phương trình chính tắc và tham số của đường thẳng;
Cách xác định véc-tơ chỉ phương từ phương trình;
Nhận diện các véc-tơ cùng phương.

Nhận biết véc-tơ chỉ phương từ phương trình chính tắc

Cho các đường thẳng sau trong không gian \(Oxyz\). Hãy xác định một véc-tơ chỉ phương của mỗi đường thẳng.
1. \(\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z}{4}\).
2. \(\frac{x - 2}{5} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{-2}\).
3. \(\frac{x}{-3} = \frac{y + 4}{1} = \frac{z - 5}{6}\).

Nhận biết véc-tơ chỉ phương từ phương trình tham số

Hãy xác định một véc-tơ chỉ phương của mỗi đường thẳng sau:
1. \[ \begin{cases} x = 1 + 3t, \\ y = -2 - t, \\ z = 5 + 2t. \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \]
2. \[ \begin{cases} x = -4 + t, \\ y = 6 - 2t, \\ z = 3t. \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \]
3. \[ \begin{cases} x = 0, \\ y = 1 + 4t, \\ z = -1 + t. \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \]

Trắc nghiệm lựa chọn véc-tơ chỉ phương

Cho đường thẳng \((d)\) có phương trình:

\[ \dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y + 3}{-4} = \dfrac{z - 5}{1}. \]

Véc-tơ nào sau đây là một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \((d)\)?

A. \((2; -4; 1)\).

B. \((-1; 2; -1)\).

C. \((1; 2; 0)\).

D. \((-4; 8; -2)\).

Lập phương trình từ véc-tơ chỉ phương và điểm đi qua

Viết phương trình chính tắc và tham số của đường thẳng \((d)\) đi qua điểm \(A(x_0, y_0, z_0)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\vec{u} = (a; b; c)\).
1. \(A(1; -2; 3)\) và \(\vec{u} = (2; 1; -4)\).
2. \(A(0; 0; 0)\) và \(\vec{u} = (-1; 2; 3)\).
3. \(A(-3; 5; 1)\) và \(\vec{u} = (6; 0; -2)\).

Véc-tơ có phải là chỉ phương không? (Đúng/Sai - Giải thích)

Cho đường thẳng \((d)\) có phương trình tham số:

\[ \begin{cases} x = 3 + 4t, \\ y = 1 - 5t, \\ z = 2 + 2t. \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \]

Xét các véc-tơ sau, véc-tơ nào là véc-tơ chỉ phương của \((d)\)? Giải thích.
1. \((4; -5; 2)\).
2. \((-2; 2.5; -1)\).
3. \((8; -10; 4)\).
4. \((4; 5; 2)\).

Vận dụng - Điền vào chỗ trống

Điền các số thích hợp vào các dấu hỏi (?) để hoàn thiện phương trình chính tắc của đường thẳng:

\[ \dfrac{x - ?}{?} = \dfrac{y - ?}{?} = \dfrac{z - ?}{?}. \]
1. Đường thẳng đi qua điểm \(M(2; -1; 3)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\vec{u} = (1; 2; -1)\).
2. Đường thẳng đi qua gốc tọa độ và có một véc-tơ chỉ phương với tọa độ \((a; b; c)\).
3. Viết phương trình tham số của đường thẳng cho mỗi trường hợp trên.

Câu 5

Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=x^2\) là

A. \(\frac{1}{3}x^3+C\).

B. \(2x^3+C\).

C. \(3x^3+C\).

D. \(\frac{1}{2}x^3+C\).

Đáp án

A. \(\frac{1}{3}x^3+C\).

Giải thích

Với \(C\) là một hằng số, công thức tổng quát cho nguyên hàm của hàm số dạng \(x^r\), với \(r \neq -1\), là

\[ \int x^r dx =\frac{x^{r+1}}{r+1}+C. \]

Áp dụng công thức này với \(r=2\):

\[ \int x^2 dx =\frac{x^3}{3}+C. \]

Như vậy, họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=x^2\) là

\[ F(x)=\frac{x^3}{3}+C. \]

Để kiểm tra lại, hãy tính đạo hàm của \(F(x)\):

\[ F^\prime (x) =\left( \frac{x^3}{3}+C \right)^\prime =x^2. \]

Điều này chứng tỏ \(F(x)=\frac{x^3}{3}+C\) đúng là một nguyên hàm của \(f(x)=x^2\), vì theo định nghĩa, một hàm \(F(x)\) được gọi là nguyên hàm của \(f(x)\) nếu \(F'(x)=f(x)\).

Trường hợp \(r=-1\)

Công thức

\[ \int x^r dx =\frac{x^{r+1}}{r+1}+C, \]

không áp dụng được với \(r=-1\), vì lúc này mẫu số \(r+1=0\).

Trong trường hợp đó, cần áp dụng công thức đặc biệt:

\[ \int x^{-1} dx =\int \frac{1}{x} dx =\ln\lvert x\rvert+C, \]

với \(x\ne 0\). Đây là công thức quen thuộc dành cho hàm \(f(x)=\frac{1}{x}\).

Thật vậy, đạo hàm của \(\ln\lvert x\rvert +C\) là

\[ \left(\ln\lvert x\rvert +C\right)^\prime =\frac{1}{x}, \]

với điều kiện \(x\ne 0\). Điều này xác nhận rằng \(\ln\lvert x\rvert +C\) là họ nguyên hàm của \(\frac{1}{x}\).

Vì sao phải viết \(\int \frac{1}{x} dx = \ln\lvert x\rvert + C\), chứ không phải chỉ là \(\ln x + C\)?

Vấn đề nguyên hàm của \(\frac{1}{x}\) khi \(x < 0\)

Hàm \(\ln x\) chỉ được định nghĩa khi \(x > 0\). Nếu viết nguyên hàm

\[ \int \frac{1}{x} dx = \ln x + C \]

thì biểu thức này chỉ đúng với \(x > 0\).

Trong khi đó, biểu thức \(\frac{1}{x}\) được xác định với mọi \(x \ne 0\). Vì vậy, nếu muốn tìm nguyên hàm của \(\frac{1}{x}\) trên toàn bộ miền xác định \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), cần dùng biểu thức nguyên hàm đúng với cả \(x>0\) và \(x<0\).

Xét riêng hai trường hợp: \(x>0\) và \(x<0\)

Trong trường hợp \(x>0\):

\[ \int \frac{1}{x} dx = \ln x + C = \ln\lvert x\rvert + C. \]

Không có vấn đề gì cả.

Trong trường hợp \(x < 0\). Biết rằng \(\lvert x\rvert = -x > 0\). Do đó, \(\ln\lvert x\rvert = \ln(-x)\), và vì \(-x > 0\), nên biểu thức \(\ln(-x)\) là hợp lệ.

Khi đó, đạo hàm của \(\ln\lvert x\rvert\) vẫn là

\[ \left( \ln\lvert x\rvert \right)^\prime =\left( \ln(-x) \right)^\prime = \frac{(-x)^\prime}{-x} = \frac{1}{x}. \]

Do đó, biểu thức

\[ \int \frac{1}{x} dx = \ln\lvert x\rvert + C \]

là đúng cho mọi \(x \ne 0\).

Luyện tập

Nhận biết: Học sinh áp dụng đúng công thức nguyên hàm và tích phân của \(x^r\) với \(r \ne -1\) và \(r = -1\).

Tính \(\int x^5 dx\).
Tính \(\int x^{-3} dx\).
Tính \(\int \frac{1}{x} dx\).
Tính \(\int x^{-1} dx\).
Họ nguyên hàm \(\int x^{-1} dx\) là

A. \(\frac{x^0}{0} + C\).

B. \(\ln x + C\).

C. \(\ln|x| + C\).

D. \(\frac{1}{x^2} + C\).

Thông hiểu: Học sinh giải thích được tại sao công thức tổng quát không áp dụng với \(r = -1\) và vận dụng công thức đúng cho từng trường hợp.

Giải thích vì sao công thức \(\int x^r dx=\frac{x^{r+1}}{r+1} + C\) không áp dụng được khi \(r=-1\).
So sánh hai biểu thức \(\int \frac{1}{x} dx\) và \(\int x^{-1} dx\). Chúng có giống nhau không? Giải thích.
Tính \(\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx\).
Tính nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\frac{3}{x}+2x^2\).
Viết họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x^{-4}\) và kiểm tra lại bằng cách lấy đạo hàm.

Vận dụng: Học sinh sử dụng các kiến thức đã học để giải các bài toán tích phân xác định, ứng dụng tính diện tích hoặc bài toán lồng ghép các dạng \(x^r\).

Tính tích phân \(\int_{2}^{4} x^3 dx\).
Tính tích phân \(\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx\).
Cho hàm số \(f(x) = x^2 + \frac{1}{x}\). Tính \(\int_{1}^{2} f(x)dx\).
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=x^2\), trục hoành, và các đường thẳng \(x=1\), \(x=3\).
Tìm hằng số \(C\) để hàm \(F(x)=\frac{1}{2}x^2 + C\) là nguyên hàm của \(f(x) = x\) và thỏa mãn \(F(2)=5\).

Vận dụng cao: Học sinh giải các bài toán kết hợp, bài toán ứng dụng thực tế, bài toán tổng quát hoặc suy luận đảo.

Tìm tất cả các số thực \(r \ne -1\) sao cho \(\int_{1}^{2} x^r dx = \frac{3}{2}.\)
Cho biết \(\int_{1}^{a} \frac{1}{x} dx = \ln 5\). Tìm \(a\).
Cho hàm \(f(x) = x^r\), biết \(\int_{1}^{4} f(x)\,dx = 30\). Tìm \(r\).
Giả sử \(F(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} dt\).
1. Tính \(F(1)\), \(F(e)\), \(F(e^2)\).
2. Nhận xét về mối liên hệ giữa \(F(x)\) và \(\ln x\).
Một vật chuyển động theo phương trình vận tốc \(v(t) = \frac{3}{t}\) (m/s) với \(t \in (0; 10]\). Tính quãng đường vật đi được từ \(t = 1\) đến \(t = 9\).

Câu 6

Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_1=4\) và công sai \(d=-3\). Giá trị của \(u_{5}\) bằng

A. \(16\).

B. \(19\).

C. \(-8\).

D. \(-11\).

Đáp án

C. \(-8\).

Giải thích

Với \(u_1=4\) và công sai \(d=-3\), tính được:

\[ \begin{aligned} u_5=u_1+4\cdot d=4+4\cdot (-3)=-8. \end{aligned} \]

Vì sao \(u_5=u_1+4d\)?

Sở dĩ \(u_5=u_1+4d\) vì để đi từ số hạng đầu \(u_1\) đến số hạng thứ năm \(u_5\) cần thực hiện 4 bước, mỗi bước tăng hoặc giảm một lượng bằng công sai \(d\). Mỗi bước đưa từ \(u_k\) sang \(u_{k+1}=u_k+d\). Sau 4 bước, tổng lượng thay đổi là \(4d\), do đó:

\[ u_5=u_1+4d. \]

Có thể lập luận theo chiều ngược lại:

\[ \begin{aligned} u_5 &=u_4+d\\ &=(u_3+d)+d=u_3+2d\\ &=(u_2+d)+2d=u_2+3d\\ &=(u_1+d)+3d=u_1+4d. \end{aligned} \]

Từ đó suy ra công thức tổng quát: nếu biết số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\), số hạng thứ \(n\) được xác định bởi

\[ u_n=u_1+(n-1)d. \]

Đi từ \(u_1\) đến \(u_n\) cần thực hiện \(n-1\) bước, mỗi bước có độ dài bằng công sai \(d\).

Luyện tập

Nhận biết: Học sinh làm quen với công thức \(u_n=u_1+(n-1)d\) và áp dụng đơn giản.

Một cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1=12\) và công sai \(d=-2\). Tìm các số hạng \(u_2\), \(u_3\), \(u_4\), \(u_5\).
Cho cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1=2\) và công sai \(d=5\). Tính các số hạng \(u_4\) và \(u_6\).
Cho cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1=-7\) và công sai \(d=3\). Hỏi số hạng thứ \(10\) của cấp số cộng là bao nhiêu?

Thông hiểu: Học sinh hiểu rõ ý nghĩa của công thức và suy luận từ nó.

Giải thích vì sao muốn tính \(u_n\), phải cộng \((n-1)d\) chứ không phải \(nd\) vào \(u_1\).
Một cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1=a\) và công sai \(d=b\). Viết công thức tính \(u_2\), \(u_3\), \(u_4\), \(u_n\) theo \(a\) và \(b\).
Với cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1=3\) và công sai \(d=2\), hãy giải thích ý nghĩa của mỗi số hạng trong biểu thức \(u_7=3+6\cdot 2\).

Vận dụng: Học sinh vận dụng công thức để tìm các yếu tố chưa biết.

Một cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1=5\) và công sai \(d=4\). Hỏi số hạng có giá trị \(29\) là số hạng thứ mấy?
Một cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1=-10\) và số hạng thứ \(11\) bằng \(20\). Hỏi công sai \(d\) bằng bao nhiêu?
Một cấp số cộng có số hạng thứ sáu \(u_6=17\) và công sai \(d=2\). Tìm số hạng đầu \(u_1\) của cấp số cộng.

Vận dụng cao: Học sinh giải quyết các bài toán yêu cầu kết hợp hoặc phát hiện quy luật.

Một cấp số cộng có số hạng thứ năm là \(12\) và số hạng thứ mười là \(27\). Hãy tìm số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\).
Liệu có tồn tại một cấp số cộng có ba số hạng liên tiếp lần lượt là \(x-3\), \(x\), \(x+5\) hay không? Vì sao?
Một cấp số cộng có số hạng thứ nhất là \(7\) và số hạng thứ \(n\) là \(67\).
1. Nếu công sai bằng \(5\), hãy xác định \(n\).
2. Nếu công sai bằng \(6\), hãy xác định \(n\).
3. Có bao nhiêu cấp số cộng thỏa mãn điều kiện đã cho?

Câu 7

Tập nghiệm của phương trình \(\sin x=0\) là

A. \(S=\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\vert k\in\mathbb{Z}\right\}\).

B. \(S=\left\{k2\pi\vert k\in\mathbb{Z}\right\}\).

C. \(S=\left\{\frac{\pi}{2}+k2\pi\vert k\in\mathbb{Z}\right\}\).

D. \(S=\left\{k\pi\vert k\in\mathbb{Z}\right\}\).

Đáp án

D. \(S=\left\{k\pi\vert k\in\mathbb{Z}\right\}\).

Giải thích

Có thể trực tiếp ghi nhớ rằng nghiệm của phương trình \(\sin x=0\) là

\[ x=k\pi, \]

trong đó \(k\) là một số nguyên, tức \(k\in\mathbb{Z}\).

Dưới góc độ hình học, trên đường tròn đơn vị, điểm tương ứng với góc lượng giác \(x\) có tọa độ \((\cos x; \sin x)\). Tung độ \(\sin x=0\) tương ứng với các điểm \((1;0)\) và \((-1;0)\).

Điểm \((1;0)\) ứng với các góc lượng giác \(x=k2\pi\) với \(k\in\mathbb{Z}\).
Điểm \((-1;0)\) ứng với các góc lượng giác \(x=\pi+k2\pi\) với \(k\in\mathbb{Z}\).

Hợp hai họ góc trên thu được họ góc chung là

\[ x=k\pi \]

với \(k\in\mathbb{Z}\), chính là tập nghiệm tổng quát của phương trình \(\sin x=0\).

Dưới đây là bảng công thức nghiệm các phương trình của \(\sin x=0\), \(\sin x=1\) và \(\sin x=-1\):

Phương trình	Nghiệm tổng quát
\(\sin x = 0\)	\(x = k\pi\)
\(\sin x = 1\)	\(x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi\)
\(\sin x = -1\)	\(x = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi\)

Ghi chú: Trong bảng trên, \(k\in \mathbb{Z}\).

Đường tròn lượng giác là công cụ trực quan giúp ghi nhớ và suy luận nghiệm của các phương trình này.

Biểu diễn nghiệm của phương trình \(\sin x=0\) trên đường tròn lượng giác.

Biểu diễn nghiệm của phương trình \(\sin x=1\) trên đường tròn lượng giác.

Trong trường hợp tổng quát, nếu vế phải là một giá trị \(a\) bất kỳ thỏa \(-1\leq a\leq 1\), phương trình \(\sin x =a\) có hai họ nghiệm:

\[ x=\arcsin a+k2\pi \]

hoặc

\[ x=\pi-\arcsin a+k2\pi. \]

Dưới đây là đường tròn lượng giác biểu diễn hai họ nghiệm này.

Biểu diễn nghiệm của phương trình \(\sin x=a\) (\(-1\leq a\leq 1\)) trên đường tròn lượng giác.

Luyện tập

Nhận biết: áp dụng công thức cơ bản để nhận biết nghiệm cơ bản, viết nghiệm tổng quát, giải trong đoạn cho trước.

Giải phương trình \(\sin x=0\) trên \([0;2\pi)\).
Giải \(\sin x=1\) và \(\sin x=-1\) (nghiệm tổng quát).
Giải \(\sin 2x=0\) (nghiệm tổng quát).
Tìm tất cả \(x\in(-\pi;\pi]\) sao cho \(\sin x=0\).

Hiểu sâu: xử lý dạng \(\sin(ax+b)=0\), đếm nghiệm trên khoảng, rèn kĩ năng chuyển đổi.

Giải \(\sin(3x)=0\) trên \([0;2\pi)\).
Giải \(\sin\left(x+\tfrac{\pi}{6}\right)=0\) trên \([0;2\pi)\).
Phương trình \(\sin(5x)=0\) có bao nhiêu nghiệm trên khoảng \((0;\pi)\)?
Giải \(\sin(2x)=0\) trên \(\left[0;\frac{\pi}{2}\right]\).

Vận dụng: dùng công thức cộng-trừ, phân tích thành tích, phương trình dạng \(\sin x=\sin a\).

Giải phương trình \(\sin x=\sin \frac{\pi}{6}\) (nghiệm tổng quát).
Giải \(\sin x+\sin 3x=0\) (nghiệm tổng quát).
Giải \(\sin x=\cos x\) (nghiệm tổng quát).
Giải \(\sin2x=\sin x\) (nghiệm tổng quát).

Vận dụng cao: kết hợp nhiều ý, phân tích nghiệm trong điều kiện, bài kiểu đề tuyển sinh.

Giải phương trình \(\frac{\sin5x}{\sin x}=0\) với điều kiện \(\sin x\neq 0\).
Giải \(\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0\) (nghiệm tổng quát).
Cho tham số \(a\in\mathbb{R}\). Tìm điều kiện trên \(a\) để phương trình \(\sin x=a\) có nghiệm nguyên \(k\) sao cho \(x=k\pi\).
Chứng minh rằng trên khoảng \((0;2\pi)\) phương trình \(\sin nx=0\) có đúng \(n\) nghiệm phân biệt (khi \(n\) là số tự nhiên).

Câu 8

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y=2x-3\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=1\), \(x=2\) được xác định bằng công thức

A. \(S=\pi\int_1^2\lvert 2x-3\rvert dx\).

B. \(S=\int_1^2\lvert 2x-3\rvert dx\).

C. \(S=\pi\int_1^2(2x-3)^2 dx\).

D. \(S=\left\lvert\int_1^2(2x-3) dx\right\rvert\).

Đáp án

B. \(S=\int_1^2\lvert 2x-3\rvert dx\).

Giải thích

Hàm số \(y=2x-3\) liên tục trên đoạn \([1;2]\). Do đó, diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y=2x-3\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=1\), \(x=2\) được xác định bằng công thức:

\[ S=\int_1^2\lvert 2x-3\rvert dx. \]

Tổng quát, hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\). Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a\), \(x=b\) được xác định bằng công thức:

\[ \int_a^b\left \lvert f(x)\right \rvert dx. \]

Nếu \(f\) đổi dấu trên đoạn \([a;b]\), thì để tính tích phân trên thường tách đoạn tại các điểm \(x\) sao cho \(f\) giữ dấu trên mỗi đoạn con, rồi lấy tổng các tích phân con.

Đối với ví dụ \(y=2x-3\) trên đoạn \([1;2]\), phương trình \(2x-3=0\) có nghiệm \(x=\frac{3}{2}\). Và \(y\leq 0\) trên đoạn \(\left[1;\frac{1}{2}\right]\), \(y\geq 0\) trên đoạn \(\left[\frac{1}{2};2\right]\). Vậy,

\[ \begin{aligned} S &=\int_1^2\lvert 2x-3\rvert dx\\ &=\int_1^{\frac{3}{2}}(3-2x)dx+\int_{\frac{3}{2}}^2(2x-3)dx. \end{aligned} \]

Luyện tập

Nhận biết: viết tích phân phù hợp, chia đoạn tại nghiệm, tính tích phân đơn giản.

Hãy viết biểu thức tính diện tích hình phẳng xác định bởi hàm số \(y=-x\) trên đoạn \([0,1]\) và tính giá trị.
Hãy viết biểu thức tính diện tích hình phẳng xác định bởi hàm số \(y=x^2-4\) trên đoạn \([0,3]\) và tính giá trị.
Hãy viết biểu thức tính diện tích hình phẳng xác định bởi hàm số \(y=e^x\) trên đoạn \([0,1]\) và tính giá trị.
Hãy viết biểu thức tính diện tích hình phẳng xác định bởi hàm số \(y=\ln x\) trên đoạn \([0,e]\) và tính giá trị.
Một chiếc thuyền đang đi ngược dòng, vận tốc so với mặt đất được cho bởi \(v(t) = -2t + 4\) (km/h), \(t\) tính bằng giờ. Hỏi quãng đường thuyền đi được trong khoảng thời gian từ \(t=0\) đến \(t=3\) giờ.

Thông hiểu: xử lý nhiều nghiệm, biến đổi đơn giản.

Tìm diện tích dưới đồ thị \(y=-(x-1)(x-3)\) trên đoạn \([0;4]\).
Tính diện tích cho \(y=\sin(2x)\) trên đoạn \([0;\pi]\).
Nhiệt độ \(T(t)\) (\(^\circ C\)) của một vật thay đổi theo giờ trong ngày được mô tả gần đúng bởi \(T(t) = 5\sin\left(\frac{\pi t}{12}\right)\), \(0 \leq t \leq 24\). Tính “biên độ tổng cộng” của dao động nhiệt trong ngày, tức là \(\int_0^{24} \lvert T(t)\rvert dt\).

Vận dụng: tìm tham số thỏa điều kiện diện tích, so sánh diện tích giữa các hàm.

Cho hàm số \(y=ax+1\). Tìm \(a\) sao cho diện tích giữa đồ thị và trục hoành trên \([-1;1]\) bằng \(2\).
Tìm mọi \(a\) sao cho diện tích giữa \(y=x^2-a\) và trục hoành trên \([-2;2]\) bằng \(\frac{16}{3}\).
Cho hai hàm số \(f(x)=x^2-1\) và \(g(x)=x\) trên \([-1;2]\). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y=f(x)\), \(y=g(x)\) và hai đường thẳng \(x=-1\), \(x=2\).
Cho hàm số \(y=ax+1\). Tìm \(a\) sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục hoành trên \([-1;1]\) bằng 2.
Tính diện tích giữa hai đường \(y=x^2-1\) và \(y=x\) trên \([-1;2]\).
Một chiếc ô tô chuyển động với vận tốc \(v(t) = t^2 - 4t + 3\) (m/s) trong khoảng \(0 \leq t \leq 5\) giây. Tính quãng đường đi được trong khoảng thời gian đó.

Vận dụng cao: Tích phân trị tuyệt đối phức tạp, nhiều điểm đổi dấu, bài toán hỗn hợp.

Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi \(y=\sin x\) và \(y=\cos x\) trên đoạn \([0;2\pi]\).
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\lvert x^2 - 4x + 3\rvert\) trên đoạn \([0;4]\) và trục hoành.
Một chiếc máy phát điện cung cấp công suất tức thời \(P(t)=100\sin(\pi t)\) (kW) trong \(2\) giờ đầu, với \(t\) tính bằng giờ. Tính tổng năng lượng (kWh) mà máy phát ra trong \(2\) giờ này.
Cho hàm số

\[ f(x)=\begin{cases} x\sin\frac{1}{x} & \text{khi } x\neq 0, \\ 0 & \text{khi } x=0. \end{cases} \]

Khảo sát tính khả tích của \(\lvert f\rvert\) trên đoạn \([-1;1]\) và tính \(\int_{-1}^1\lvert f(x)\rvert dx\) nếu có.
Chứng minh: nếu \(f\) liên tục trên đoạn \([a;b]\) thì hàm \(A(t)=\int_a^t \lvert f(x)\rvert dx\) là liên tục và tăng không giảm trên đoạn \([a;b]\).

Câu 9

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), mặt phẳng đi qua điểm \(A(2;1;-4)\) nhận \(\vec{n}=(3;2;-1)\) là một véc-tơ pháp tuyến có phương trình là

A. \(3(x-2)+2(y-1)-(z+4)=0\).

B. \(2(x+3)+(y+2)-4(z-1)=0\).

C. \(3(x+2)+2(y+1)-(z-4)=0\).

D. \(2(x-3)+(y-2)-4(z+1)=0\).

Đáp án

A. \(3(x-2)+2(y-1)-(z+4)=0\).

Giải thích

Mặt phẳng đi qua điểm \(A(2;1;-4)\) và nhận \(\vec{n}=(3;2;-1)\) làm một véc-tơ pháp tuyến có phương trình

\[ 3(x-2)+2(y-1)-(z+4)=0. \]

Cơ sở của lập luận là tích vô hướng. Giả sử \(M(x;y;z)\) là một điểm bất kỳ trên mặt phẳng. Véc-tơ chỉ từ \(A\) đến \(M\) là

\[ \overrightarrow{AM}=(x-2;y-1;z+4). \]

Vì \(\vec{n}\) là véc-tơ pháp tuyến nên \(\overrightarrow{AM}\) vuông góc với \(\vec{n}\). Do đó, tích vô hướng của hai véc-tơ bằng \(0\):

\[ \vec{n}\cdot\overrightarrow{AM}=0, \]

tức là

\[ (3;2;-1)\cdot (x-2;y-1;z+4)=0. \]

Từ đây, suy ra phương trình đã nêu:

\[ 3(x-2)+2(y-1)-(z+4)=0. \]

Trong nhiều tình huống, véc-tơ pháp tuyến \(\vec n\) không được cho sẵn, mà phải xác định từ dữ liệu bài toán. Khi biết hai véc-tơ không cùng phương \(\vec u\) và \(\vec v\) cùng nằm trong mặt phẳng cần tìm, véc-tơ pháp tuyến có thể thu được bằng tích hữu hướng:

\[ \vec n = \vec u \times \vec v. \]

Với \(\vec u=(u_1;u_2;u_3)\) và \(\vec v=(v_1;v_2;v_3)\), công thức tọa độ là

\[ \vec u \times \vec v =\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ \end{vmatrix} \]

hay

\[ \vec u \times \vec v =(u_2v_3-u_3v_2;u_3v_1-u_1v_3;u_1v_2-u_2v_1). \]

Khi đó, tiếp tục áp dụng phương pháp tích vô hướng như trên sẽ thu được phương trình mặt phẳng.

Ý nghĩa hình học

Kết quả của tích hữu hướng là một véc-tơ vuông góc với cả hai véc-tơ \(\vec u\) và \(\vec v\). Do đó, nó là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa hai véc-tơ đó. Hướng xác định theo quy tắc bàn tay phải: xoay từ \(\vec u\) sang \(\vec v\) theo cung nhỏ, ngón cái sẽ chỉ hướng của \(\vec u \times \vec v\).

Độ dài của \(\vec u \times \vec v\) bằng:

\[ \lVert \vec u\times \vec v\rVert = \lVert \vec u\rVert \cdot \lVert \vec v\rVert \cdot \sin \theta \]

trong đó \(\theta\) là góc giữa \(\vec u\) và \(\vec v\).

Như vậy, \(\lVert \vec u\times \vec v\rVert\) chính là diện tích hình bình hành tạo bởi \(\vec u\) và \(\vec v\).

Một số tính chất

Phản hoán: \(\vec v\times \vec u=-\vec u\times \vec v\).
Tích của hai véc-tơ song song bằng véc-tơ-không.
Tính phân phối theo phép cộng: \((\vec u+\vec v)\times \vec w=\vec u\times \vec w+\vec v\times \vec w\).

Luyện tập

Nhận biết: nắm chắc công thức, thực hiện thao tác đại số chính xác.

Viết phương trình mặt phẳng nhận \(\vec n=(3;2;-1)\) làm pháp tuyến và đi qua \(A(2;1;-4)\). Kiểm tra xem điểm \(P(4;0;0)\) có thuộc mặt phẳng không?
Cho ba điểm \(A(1;0;0)\), \(B(0;1;0)\), \(C(0;0;1)\). Tìm véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) bằng tích hữu hướng và viết phương trình mặt phẳng đó.
Cho ba điểm \(D(1;1;0)\), \(E(1;0;1)\), \(F(0;1;1)\). Tìm véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((DEF)\) bằng tích hữu hướng và viết phương trình.
Viết công thức khoảng cách từ điểm \(P(x_0;y_0;z_0)\) tới mặt phẳng \(\Pi: ax+by+cz+d=0\). Áp dụng tính khoảng cách từ \(O(0;0;0)\) tới mặt phẳng \(3x+2y-z-12=0\).

Thông hiểu: vận dụng trực tiếp trong các tình huống giao nhau, góc, chiếu vuông góc.

Tìm tọa độ giao điểm của mặt phẳng \(3x+2y-z-12=0\) với từng trục tọa độ.
Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng \(3x+2y-z-12=0\) và đi qua \(Q(1;0;0)\).
Tìm giao tuyến \(L\) của hai mặt phẳng \(\Pi_1: 3x+2y-z-12=0\) và \(\Pi_2: x+y+z-1=0\). Viết phương trình tham số của \(L\).
Cho đường thẳng \(d\) có véc-tơ chỉ phương \(\vec v=(1;-1;2)\) đi qua \(P(1;2;0)\). Tìm góc giữa \(d\) và mặt phẳng \(\Pi: 3x+2y-z-12=0\).
Tìm tọa độ chân đường vuông góc \(H\) từ \(P(5;2;8)\) xuống mặt phẳng \(\Pi: 3x+2y-z-12=0\).

Vận dụng: bài có điều kiện tham số, hoặc tình huống ứng dụng kỹ thuật cơ bản.

Tìm góc giữa hai mặt phẳng \(3x+2y-z-12=0\) và \(2x-y+z-7=0\).
Tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \(B(1;0;0)\), \(C(0;1;0)\), \(D(0;0;1)\).
(Ứng dụng kỹ thuật) Một tấm panel năng lượng mặt trời có dạng mặt phẳng đi qua \(A(0;0;2)\), \(B(3;0;3)\), \(C(0;4;4)\) (đơn vị mét, \(z\) là độ cao). Xác định phương trình mặt phẳng và góc nghiêng so với mặt phẳng ngang \(z=0\).
(Điều kiện tham số) Tìm phương trình mặt phẳng qua \(M(1;1;1)\), song song với đường thẳng có phương trình tham số

\[ \begin{cases} x&=1+t,\\ y&=2-t,\\ z&=3+2t \end{cases} \]

và cắt mặt phẳng \(x+2y+3z=4\) theo một giao tuyến vuông góc với chính mặt phẳng này.

Vận dụng cao: tích hợp nhiều ý, chứng minh, tối ưu, giao với mặt cầu, phản xạ.

Cho ba điểm \(A(1;0;0)\), \(B(0;1;0)\), \(C(0;0;1)\). Chứng minh rằng mọi điểm \(M\) trên mặt phẳng \(x+y+z-1=0\) thỏa điều kiện tổng \(AM^2+BM^2+CM^2\) là một hằng số và tìm hằng số đó.
(Mái nhà nghiêng) Mái nhà được mô tả gần đúng là một mặt phẳng đi qua ba điểm \(A(0;0;3)\), \(B(4;0;5)\), \(C(0;6;6)\) (tọa độ theo mét, trục \(z\) là độ cao). Tìm phương trình mặt phẳng mô tả mái nhà, tính độ nghiêng lớn nhất (góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng ngang \(z=0\)).
(Khoảng cách tối thiểu) Điểm \(P(5;2;8)\) là vị trí của một drone. Tính khoảng cách ngắn nhất từ drone tới mặt phẳng \(\Pi: 3x+2y-z-12=0\). Tìm toạ độ điểm chân đường vuông góc.
Cho điểm \(E(1;-2;3)\). Tìm ảnh \(E^\prime\) của \(E\) khi phản xạ qua mặt phẳng \(3x+2y-z-12=0\) (tức phản chiếu qua mặt phẳng).

Câu 10

Nghiệm của phương trình \(\log_3(2x-1)=2\) là

A. \(x=\frac{7}{2}\).

B. \(x=\frac{5}{2}\).

C. \(x=5\).

D. \(x=4\).

Đáp án

C. \(x=5\).

Giải thích

Xét phương trình

\[ \log_3 (2x-1)=2. \]

Ý nghĩa của đẳng thức này là: số mũ mà cơ số \(3\) phải mang để tạo ra biểu thức \(2x-1\) chính là \(2\). Do đó, phương trình trên tương đương với

\[ 2x-1=3^2=9. \]

Giải ra được nghiệm \(x=5\). Thay lại vào điều kiện xác định \(2x-1>0\), nghiệm này hoàn toàn thỏa mãn, nên \(x=5\) là nghiệm duy nhất của phương trình ban đầu.

Từ ví dụ trên có thể thấy, việc giải một phương trình lô-ga-rít rút về việc hiểu đúng mối quan hệ giữa biểu thức \(\log_a b\) và phương trình mũ tương ứng \(a^\alpha=b\) - \(\log_{a} b\) được hiểu là số mũ \(\alpha\) mà cơ số \(a\) phải mang để thu được \(b\). Ví dụ, với \(a=3\) và \(b=9\) thì \(\alpha=\log_3 9=2\) là số mũ mà cơ số \(3\) phải mang để có kết quả là \(9\). Vấn đề đặt ra là: trong những trường hợp nào thì kí hiệu \(\log_a b\) mới có nghĩa, và khi đó nó được xác định như thế nào?

Mục tiêu định nghĩa lô-ga-rít

Khi viết \(\log_a b\), điều mong muốn là giá trị này phải biểu diễn duy nhất số mũ \(\alpha\) sao cho \(a^\alpha=b\). Nếu không đảm bảo được tính duy nhất, khái niệm lô-ga-rít sẽ trở nên mơ hồ và không thể vận hành như một phép toán chuẩn trong toán học. Vì vậy, câu hỏi căn bản cần trả lời là: với những giá trị nào của \(a\) và \(b\), phương trình mũ

\[ a^\alpha=b \]

có nghiệm thực duy nhất theo ẩn \(\alpha\)?

Phương trình mũ

\[ a^\alpha=b \]

có nghiệm thực duy nhất theo ẩn \(\alpha\) khi nào?

Chính yêu cầu “có nghiệm duy nhất” này dẫn đến các điều kiện xác định của lô-ga-rít.

Phân tích các khả năng của cơ số \(a\)

Trước hết, xét ảnh hưởng của cơ số \(a\).

Trường hợp \(a<0\).

Khi cơ số âm, lũy thừa \(a^\alpha\) chỉ có nghĩa trong số thực với một số mũ rời rạc: nếu \(\alpha\) là số nguyên thì phép tính xác định, còn nếu \(\alpha\) là số hữu tỉ thì chỉ khi mẫu số của phân số là số lẻ mới có thể tính được. Do đó, phương trình \(a^\alpha=b\) không thể có nghiệm duy nhất trong toàn bộ tập số thực. Điều này khiến \(\log_a b\) không thể định nghĩa một cách nhất quán.
Trường hợp \(a=0\).

Phương trình \(0^\alpha=b\) dẫn đến những nghịch lý:
- Nếu \(c>0\) thì \(0^\alpha=0\), phương trình chỉ thỏa khi \(b=0\), nhưng lúc này mọi \(\alpha>0\) đều là nghiệm, không có nghiệm duy nhất.
- Nếu \(\alpha=0\) thì xuất hiện biểu thức \(0^0\), vốn không được xác định.
- Nếu \(\alpha<0\) thì \(0^\alpha\) vô nghĩa vì đòi hỏi phép chia \(0\).
Vì vậy, \(\log_0 b\) không thể định nghĩa.
Trường hợp \(a=1\).

Khi đó phương trình trở thành \(1^\alpha=b\). Nếu \(b\ne 1\) thì phương trình vô nghiệm. Nếu \(b=1\) thì có vô số nghiệm. Trong cả hai trường hợp đều không có nghiệm duy nhất. Vì thế, \(\log_1 b\) cũng không thể định nghĩa.

Từ những phân tích trên, điều kiện cần thiết cho cơ số là

\[ a>0, \quad a\ne 1. \]

Yêu cầu đối với số được lấy lô-ga-rít \(b\)

Giả sử đã có \(0<a\ne 1\). Khi đó với mọi số thực \(\alpha\), giá trị \(a^\alpha\) luôn dương. Vì vậy, để phương trình \(a^\alpha=b\) có nghiệm, tất yếu phải có

\[ b>0. \]

Ví dụ minh họa khi điều kiện không thỏa

Rõ ràng, điều kiện để định nghĩa lô-ga-rít trong tập số thực là \(a>0\), \(a\neq 1\) và \(b>0\). Nếu một trong các điều kiện này không được thỏa mãn, phương trình \(a^\alpha=b\) không thể cho một nghiệm duy nhất, và khi đó \(\log_a b\) không được xác định. Thực vậy, có thể phân các tình huống này thành hai loại. Trường hợp thứ nhất là khi phương trình hoàn toàn vô nghiệm. Ví dụ, nếu cơ số âm, chẳng hạn \(a=-2\) và \(b=2\), thì \((-2)^\alpha=2\) không có nghiệm thực; hay khi \(a=0\), \(b=5\), phương trình \(0^\alpha=5\) không giải được với mọi \(\alpha\); hoặc khi \(a=1\), \(b=5\), phương trình \(1^\alpha=5\) cũng vô nghiệm. Tương tự, nếu \(b\) không dương, chẳng hạn \(a=2\), \(b=-1\) hoặc \(a=5\), \(b=0\), thì phương trình \(a^\alpha=b\) cũng không có nghiệm, bởi lũy thừa của số dương luôn dương và không thể bằng số âm hay bằng không.

Trường hợp thứ hai là khi phương trình có nhiều nghiệm. Chẳng hạn, với \(a=-1\), \(b=1\), ta có \((-1)^\alpha=1\) đúng với mọi số nguyên chẵn \(c\), tức là phương trình có vô số nghiệm, nên không thể xác định một giá trị duy nhất của \(\log_{-1}1\). Tương tự, nếu \(a=0\), \(b=0\), thì với mọi \(c>0\) ta đều có \(0^c=0\), phương trình có vô số nghiệm; hoặc khi \(a=1\), \(b=1\), thì \(1^c=1\) đúng với mọi \(c\in\mathbb{R}\), phương trình cũng có vô số nghiệm.

Như vậy, trong mọi tình huống không thỏa các điều kiện \(a>0\), \(a\ne 1\), \(b>0\), phương trình \(a^c=b\) hoặc không có nghiệm nào, hoặc có vô số nghiệm. Cả hai khả năng đều làm mất tính duy nhất của giá trị cần tìm, và do đó \(\log_a b\) không thể được định nghĩa.

Định nghĩa lô-ga-rít

Cho hai số thực \(0<a\ne 1\) và \(0<b\). Số thực \(\alpha\), thỏa đẳng thức \(a^\alpha=b\), được gọi là lô-ga-rít cơ số \(a\) của \(b\) và kí hiệu \(\log_{a} b\), tức là

\[ \alpha=\log_{a} b \Leftrightarrow a^\alpha=b. \]

Sự cần thiết của việc thu hẹp định nghĩa lô-ga-rít

Khi hình thành khái niệm lô-ga-rít, trực giác ban đầu gợi ý rằng phép toán này nên áp dụng cho mọi số thực \(a\) và \(b\), bởi lô-ga-rít vốn được hiểu là “số mũ” trong phương trình \(a^\alpha=b\). Tuy nhiên, kiểm tra kĩ cho thấy phương trình này không phải lúc nào cũng có nghiệm, và ngay cả khi có nghiệm thì kết quả cũng có thể không duy nhất. Nếu giữ định nghĩa rộng rãi mà không ràng buộc, lô-ga-rít sẽ trở nên mơ hồ và không thể được sử dụng như một phép toán chuẩn.

Chính vì vậy, việc đặt ra các điều kiện \(a>0\), \(a\ne 1\) và \(b>0\) là điều bắt buộc. Những giới hạn này không phải sự gò ép, mà là cái giá cần thiết để khái niệm lô-ga-rít trở nên khả dụng: đảm bảo mỗi cặp \((a,b)\) hợp lệ luôn xác định duy nhất một giá trị \(\log_a b\). Qua đó, lô-ga-rít không chỉ tồn tại một cách chính xác trong lý thuyết, mà còn trở thành công cụ mạnh mẽ, có thể được khai thác rộng rãi trong tính toán, chứng minh, và ứng dụng.

Trường hợp của lô-ga-rít phản ánh một nguyên tắc phổ quát trong toán học: từ một ý tưởng trực giác, khái niệm chỉ thực sự hình thành khi được giới hạn trong một miền xác định thích hợp, nơi nó phát huy tính chặt chẽ, nhất quán và hữu dụng.

Các tính chất cơ bản của lô-ga-rít và những hệ quả tất yếu

Từ định nghĩa cơ bản của lô-ga-rít:

\[ \log_a b = \alpha \Leftrightarrow a^\alpha = b \]

(với điều kiện \(0<a\neq 1\), \(0<b\)), có thể thấy rằng lô-ga-rít không phải là một khái niệm tách biệt, mà chỉ là cách viết ngược của lũy thừa. Mọi công thức tính toán của lô-ga-rít thực chất đều phản ánh trực tiếp những quy tắc quen thuộc của phép nâng lũy thừa.

Lô-ga-rít của một tích

Trước hết, quy tắc nhân hai lũy thừa

\[ a^\alpha \cdot a^\beta = a^{\alpha_1+\alpha_2} \]

dẫn đến công thức cộng lô-ga-rít. Nếu \(\log_a b_1 = \alpha_1\) và \(\log_a b_2 = \alpha_2\), khi nhân hai biểu thức \(b_1=a^{\alpha_1}\) và \(b_2=a^{\alpha_2}\) thì thu được \(b_1 b_2 = a^{\alpha_1+\alpha_2}\). Điều này có nghĩa rằng \(\log_a(b_1 b_2) = \alpha_1+\alpha_2\), hay viết lại:

\[ \log_a(b_1 b_2) = \log_a b_1 + \log_a b_2. \]

Ví dụ, \(\log_2 8 = 3\) và \(\log_2 4 = 2\). Khi nhân \(8\) với \(4\), kết quả là \(32\), và \(\log_2 32 = 5\), đúng bằng tổng \(3+2\).

\[ \log_a (b_1b_2)=\log_a b_1+\log_a b_2 \]

Lô-ga-rít của một thương

Tương tự, quy tắc chia hai lũy thừa

\[ \frac{a^{\alpha_1}}{a^{\alpha_1}} = a^{\alpha_1-\alpha_2} \]

cho phép suy ra công thức trừ lô-ga-rít. Nếu \(b_1=a^{\alpha_1}, b_2=a^{\alpha_2}\), thì \(\tfrac{b_1}{b_2} = a^{\alpha_1-\alpha_2}\), và từ đó

\[ \log_a \frac{b_1}{b_2} = {\alpha_1-\alpha_2} = \log_a b_1 - \log_a b_2. \]

Chẳng hạn, vì \(\log_3 81 = 4\) và \(\log_3 9 = 2\), nên \(\log_3 \tfrac{81}{9} = \log_3 9 = 2\), hoàn toàn khớp với \(4-2\).

\[ \log_a \frac{b_1}{b_2} = {\alpha_1-\alpha_2} = \log_a b_1 - \log_a b_2 \]

Lô-ga-rít của một lũy thừa

Quy tắc nâng lũy thừa

\[ (a^\alpha)^\beta = a^{\alpha\beta} \]

lại đem đến công thức nhân với số mũ:

\[ \log_a \left(b^\beta\right) = \beta \log_a b. \]

Công thức này luôn đúng trong tập số thực miễn là điều kiện xác định của \(\log_a b\) được thỏa mãn, cụ thể: \(0<a\ne 1, 0<b\).

Thật vậy, giả sử \(\log_a b=\alpha\). Theo định nghĩa lô-ga-rít, điều này có nghĩa là \(b=a^\alpha\). Khi đó, nâng lũy thừa hai vế với số mũ \(\beta\), thu được \(b^\beta=(a^\alpha)^\beta=a^{\alpha\beta}\). Như vậy, lô-ga-rít cơ số \(a\) của \(b^\beta\) chính là số mũ \(\alpha\beta\), tức là

\[ \log_a \left(b^\beta\right) = \alpha\beta = \beta \log_a b. \]

Để minh họa, xét cơ số \(a=5\), \(b=25\), \(\alpha=2\) và \(\beta=3\). Khi đó, \(\log_a b = \log_5 25=2\). Nếu nâng \(b=25\) lên lũy thừa \(\beta=3\), được \(b^\beta=25^3=15625\). Lô-ga-rít cơ số \(a=5\) của số này là \(\log_a 15625=\log_5 15625=6\), đúng bằng \(\beta\cdot \alpha=3\cdot 2\), tức là \(\beta\cdot \log_a b=3\cdot \log_5 25\).

\[ \log_a \left(b^\beta\right) = \beta \log_a b \]

Đổi cơ số của lô-ga-rít

Ngoài ba tính chất cơ bản nói trên, sự thay đổi cơ số cũng là một quy tắc quan trọng. Giả sử \(\log_a b = \alpha\), tức là \(a^\alpha = b\). Nếu chọn một cơ số khác \(c\) thỏa điều kiện \(0<c\ne 1\). Do \(\log_c a\) và \(\log_c b\) đều tồn tại khi \(a>0\), \(b>0\), nên có thể đặt \(a = c^{\log_c a}\), \(b = c^{\log_c b}\), trong đó \(\gamma_1=\log_c a\), \(\gamma_2=\log_c b\).

Thay vào đẳng thức \(a^\alpha=b\), được:

\[ \left(c^{\gamma_1}\right)^\alpha=c^{\gamma_2}. \]

Áp dụng quy tắc lũy thừa, vế trái trở thành \(c^{\gamma_1\alpha}\). Như vậy:

\[ c^{\gamma_1\alpha}=c^{\gamma_2} \]

Vì lũy thừa cơ số \(c\) là một hàm số một–một (với \(0<c\ne 1\)), nên từ \(c^{\gamma_1\alpha}=c^{\gamma_2}\) suy ra:

\[ \gamma_1\alpha=\gamma_2. \]

Thay lại \(\gamma_1=\log_c a\), \(\gamma_2=\log_c b\), thu được:

\[ \log_c a \cdot \alpha=\log_c b \]

Do \(\alpha=\log_a b\), nên cuối cùng có công thức đổi cơ số:

\[ \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_ca}. \]

Chẳng hạn,

\[ \log_2 9=\frac{\log_{10} 9}{\log_{10} 2}. \]

Trước khi có máy tính, hai giá trị \(\log_{10} 9\) và \(\log_{10} 2\) được tra trong bảng lô-ga-rít lập sẵn cho cơ số \(10\):

\[ \log_{10} 9 \approx 0,954 \]

và

\[ \log_{10} 2 \approx 0,301. \]

Do đó,

\[ \frac{\log_{10} 9}{\log_{10} 2}=\frac{0,954}{0,301} = 3,17 \]

, chính là giá trị xấp xỉ của \(\log_2 9\). Ở đây, công thức đổi cơ số cho thấy ý nghĩa rõ ràng: nhờ nó, có thể chuyển một lô-ga-rít “lạ” về dạng cơ số \(10\) quen thuộc, nơi đã có công cụ sẵn để tính. Điều này giải thích tại sao trong thực hành tính toán thủ công, các bảng lô-ga-rít chỉ cần lập cho một cơ số duy nhất (thường là \(10\) hoặc \(e\)), rồi từ đó có thể tính lô-ga-rít với mọi cơ số khác.

\[ \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a} \]

Từ bốn công thức nền tảng trên, có thể rút ra nhiều hệ quả quan trọng, tạo thành bộ quy tắc đầy đủ cho lô-ga-rít. Trước hết, vì \(a^0 = 1\) với mọi \(a>0\), nên \(\log_a 1 = 0\). Kế đến, do \(a^1 = a\), nên \(\log_a a = 1\). Hơn nữa, từ công thức mũ, dễ thấy \(\log_a a^\alpha = \alpha\) với mọi số thực \(\alpha\).

Các hệ quả này tưởng chừng hiển nhiên, nhưng thực tế lại rất hữu ích. Chẳng hạn, \(\log_7 1 = 0\) vì \(7^0=1\), hay \(\log_{10} 1000 = 3\) vì \(1000 = 10^3\).

\[ \log_a 1=0, \quad \log_a a=1, \quad \log_a a^\alpha=\alpha \]

Một hệ quả khác mang tính bao quát hơn là tính đơn điệu: với \(a>1\), hàm số \(f(x) = \log_a x\) là hàm đồng biến trên khoảng \((0,\infty)\); còn với \(0<a<1\), hàm số này nghịch biến. Điều này phản ánh tính chất của lũy thừa: khi cơ số lớn hơn \(1\), lũy thừa càng cao thì giá trị càng lớn; còn khi cơ số nhỏ hơn \(1\), lũy thừa càng cao thì giá trị càng nhỏ.

Mối quan hệ đảo ngược giữa lũy thừa và lô-ga-rít

Trong hệ thống tính chất của lô-ga-rít, có hai công thức cơ bản mang ý nghĩa đối xứng:

\[ \log_a (a^\alpha) = \alpha \]

và

\[ a^{\log_a b} = b. \]

Công thức thứ nhất phản ánh trực tiếp định nghĩa: nếu lấy lô-ga-rít cơ số \(a\) của một lũy thừa \(a^\alpha\), thì số mũ \(\alpha\) được trả lại nguyên vẹn. Chẳng hạn, \(\log_3 (3^4) = 4\). Điều này thể hiện rằng phép lô-ga-rít “hủy” phép lũy thừa.

Ngược lại, công thức thứ hai cho thấy nếu lấy cơ số \(a\) nâng lên lũy thừa \(\log_a b\), thì thu lại đúng số \(b\). Chẳng hạn, với \(\log_2 8 = 3\), khi thay vào được \(2^{\log_2 8} = 2^3 = 8\). Đây là sự “kiểm chứng” của định nghĩa: lô-ga-rít thực chất là số mũ biến cơ số \(a\) thành \(b\).

Hai công thức này đặt cạnh nhau cho thấy bản chất song hành giữa lũy thừa và lô-ga-rít: một bên biến đổi từ số mũ sang giá trị, một bên biến đổi ngược lại từ giá trị về số mũ. Sự song hành này giải thích vì sao lô-ga-rít thường được coi là phép toán ngược của lũy thừa, và chính nhờ đó mà lô-ga-rít trở thành công cụ then chốt trong giải phương trình mũ và trong nhiều ứng dụng khoa học.

\[ \log_a (a^\alpha) = \alpha, \qquad a^{\log_a b} = b \]

Như vậy, toàn bộ hệ thống công thức của lô-ga-rít đều bắt nguồn từ những quy tắc của lũy thừa. Lô-ga-rít chỉ đơn thuần là sự “đảo ngược” vai trò giữa cơ số, số mũ và kết quả của phép nâng lũy thừa. Chính sự song hành này khiến lô-ga-rít trở thành một công cụ tính toán mạnh mẽ: nhờ nó, những phép nhân biến thành phép cộng, những phép chia biến thành phép trừ, còn những lũy thừa trở thành những tích đơn giản.

Luyện tập

Nhận diện: kiến thức cơ bản, áp dụng trực tiếp định nghĩa

Tính các giá trị sau:
1. \(\log_2 8\),
2. \(\log_5 1\),
3. \(\log_{10} 1000\).
Đúng hay sai?
1. \(\log_7 7 = 0\).
2. \(\log_a 1 = 0\) với mọi \(a > 0, a \neq 1\).
3. \(a^{\log_a b} = b\) với mọi \(a > 0, a \neq 1, b > 0\).

Thông hiểu: giải thích, biến đổi công thức, lý giải ý nghĩa

Giải thích vì sao \(\log_3 (81) = 4\) mà không cần tính trực tiếp lũy thừa.
Chứng minh đẳng thức:

\[ \log_a \frac{m}{n} = \log_a m - \log_a n \quad (m,n>0). \]

Cho \(\log_2 3 \approx 1,585\). Hãy sử dụng công thức đổi cơ số để tính gần đúng \(\log_4 3\).

Vận dụng: giải quyết vấn đề toán học bằng lô-ga-rít

Giải phương trình:

\[ 2^x = 50. \]

Tìm nghiệm của phương trình:

\[ \log_3 (x-1) = 2. \]

Giải hệ phương trình:

\[ \begin{cases} \log_2 y = x\\ \log_y 16 = 4. \end{cases} \]

Vận dụng cao: bài toán tổng hợp, gắn kết nhiều kiến thức

Giải bất phương trình:

\[ \log_2 (x^2 - 5x + 6) > 1. \]
Chứng minh hằng đẳng thức:

\[ \frac{1}{\log_a b} + \frac{1}{\log_b a} = 1 \quad (0<a\ne 1,0<b\neq 1). \]
(Ứng dụng thực tế) Lượng chất phóng xạ còn lại sau \(t\) năm được cho bởi công thức:

\[ Q(t) = Q_0 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}, \]

trong đó \(T\) là chu kỳ bán rã. Một mẫu ban đầu có \(Q_0 = 100g\), sau \(20\) năm còn \(25g\). Tính chu kỳ bán rã \(T\).

Câu 11

Cho hàm số \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\) \((ac\ne 0,\, ad-bc\ne 0)\) có đồ thị như hình dưới. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là

A. \(y=2\).

B. \(x=-1\).

C. \(y=-1\).

D. \(x=2\).

Đáp án

B. \(x=-1\).

Giải thích

Nhận định \(x=-1\) là phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho, vì hình ảnh đồ thị cho thấy hàm số không xác định tại \(x=-1\).

Chính thức hơn, từ đồ thị có thể rút ra

\[ \lim_{x\to -1^\pm}y(x) =\mp\infty, \]

tức là hàm số tiến ra vô cực khi \(x\) tiến tới \(-1\) từ hai phía. Theo định nghĩa, \(x=-1\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Tiệm cận đứng

Đường thẳng \(x = x_0\) được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

\[ \begin{aligned} \lim_{x \to x_0^-} f(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty, \\ \lim_{x \to x_0^-} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to x_0^+} f(x) = -\infty. \end{aligned} \]

Nói cách khác, khi \(x\) tiến lại gần giá trị \(x_0\) từ một phía (hoặc từ cả hai phía), mà giá trị hàm số \(f(x)\) tăng vô hạn hoặc giảm vô hạn, thì đường thẳng \(x = x_0\) chính là tiệm cận đứng của đồ thị.

Trong thực hành, tiệm cận đứng thường xuất hiện ở những điểm mà hàm số không xác định (ví dụ mẫu số bằng 0 đối với phân thức hữu tỉ), và đồ thị thể hiện sự “vọt lên” hoặc “tụt xuống” ra vô cực khi đến gần điểm đó.

Luyện tập

Nhận diện: học sinh nhận biết khái niệm, dạng bài cơ bản.

Xét hàm số \(y = \frac{1}{x-3}\). Đường thẳng nào là tiệm cận đứng của đồ thị? Giải thích ngắn gọn lý do.
Cho hàm số \(y = \frac{2x+1}{x^2-4}\). Hãy viết phương trình các đường tiệm cận đứng của đồ thị.

Thấu hiểu: học sinh giải thích và chứng minh được theo định nghĩa.

Xét hàm số \(y = \dfrac{1}{(x-1)(x+2)}\). Chứng minh rằng \(x=1\) và \(x=-2\) là các tiệm cận đứng của đồ thị. Viết giới hạn một bên minh họa: \(\lim_{x\to 1^+} y(x)\) và \(\lim_{x\to 1^-} y(x)\).
Đúng hay sai? Giải thích bằng lý do toán học: “Hàm số \(y = \dfrac{x^2}{x^2+1}\) có tiệm cận đứng tại \(x=0\).”

Vận dụng: học sinh áp dụng kiến thức vào tình huống mới, có tính suy luận.

Cho hàm số \(y = \dfrac{x+1}{x^2-2x-3}\). Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị. Dùng bảng dấu mẫu số để biện luận chiều vọt lên và vọt xuống của đồ thị tại từng tiệm cận.
Cho hàm số \(y = \dfrac{\sqrt{x+1}}{x-2}\) (xác định trên miền thích hợp). Xác định miền xác định của hàm số. Tìm các tiệm cận đứng (nếu có).
Cho hàm số \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\) \((ac\ne 0, ad-bc\ne 0)\) có bảng biến thiên như dưới đây.

Tìm phương trình đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Vận dụng cao: học sinh phân tích, tổng hợp, giải quyết tình huống phức tạp.

Cho hàm số \(y = \dfrac{ax+b}{x^2-5x+6}\) với \(a, b\) là các số thực. Xác định các giá trị của \(a, b\) để đồ thị có đúng một tiệm cận đứng.
Một công ty dùng hàm số chi phí trung bình

\[ \bar{C}(x) = \frac{1000}{x-5} + 20, \quad x>5 \]

để mô tả giá trị chi phí khi sản xuất \(x\) đơn vị sản phẩm. Vì sao \(x=5\) là tiệm cận đứng của đồ thị? Ý nghĩa thực tế của việc xuất hiện tiệm cận đứng trong mô hình chi phí này là gì?

Câu 12

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\), tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và \(SA=3\), \(AB=4\), \(AC=5\). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng

A. \(30\).

B. \(20\).

C. \(60\).

D. \(10\).

Đáp án

D. \(10\).

Giải thích

Khối chóp \(S.ABC\) với \(SA\perp (ABC)\), nên đoạn \(SA\) là đường cao từ đỉnh \(S\) đến mặt đáy tam giác \(ABC\).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), nên diện tích tam giác đáy là:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 = 10. \]

Do đó, thể tích khối chóp là:

\[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot S_{ABC} = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 10 = 10. \]

Bình luận về cách ký hiệu

Cách sử dụng ký hiệu trong đề bài và trong lời giải trên có chỗ chưa chuẩn mực. Cụ thể, đó là không phân biệt giữa tên đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng. Ví dụ, ký hiệu \(SA\) đôi khi được hiểu là tên của một đoạn thẳng với hai đầu mút là \(S\) và \(A\) như trong cách nói “\(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\)”. Khi khác, ký hiệu đó lại được hiểu là độ dài của đoạn thẳng \(SA\), như trong “\(SA=3\)”.

Để tránh sự nhập nhằng giữa tên gọi của đối tượng hình học và giá trị của đối tượng hình học được gọi tên, nên sử dụng một hệ thống ký hiệu rõ ràng hơn như sau:

Dùng \(\lvert SA \rvert\) để chỉ độ dài đoạn \(SA\).
Dùng \(h_{SA}\) để chỉ độ dài đoạn \(SA\) nếu muốn nhấn mạnh \(SA\) là đường cao.

Dùng ký hiệu nhất quán để lập luận

Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) được tính bằng công thức:

\[ V_{S.ABC} =\frac{1}{3}\cdot h_{SA}\cdot S_{ABC}, \]

trong đó \(h_{SA}\) là độ dài đường cao từ đỉnh \(S\) đến mặt phẳng đáy \((ABC)\), và \(S_{ABC}\) là diện tích tam giác \(ABC\).

Theo đề bài, \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\). Do đó, khoảng cách từ \(S\) đến mặt phẳng \((ABC)\) chính là độ dài đoạn thẳng \(SA\):

\[ h_{SA} =\lvert SA\rvert =3. \]

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), nên diện tích \(S_{ABC}\) được tính bởi:

\[ S_{ABC} =\frac{1}{2}\cdot \lvert AB\rvert \cdot \lvert AC\rvert. \]

Với \(\lvert AB\rvert=3\) và \(\lvert AC\rvert=6\), có:

\[ S_{ABC} =\frac{1}{2}\cdot 4 \cdot 5 =10. \]

Thay \(h_{SA}=3\) và \(S_{ABC}=10\) vào công thức thể tích:

\[ V_{S.ABC} =\frac{1}{3}\cdot 3 \cdot 10 =10. \]

Luyện tập

Nhận diện: Học sinh nhận biết công thức thể tích khối chóp và phân biệt tên đoạn thẳng - độ dài đoạn thẳng.

Khối chóp \(S.ABC\) có \(SA \perp (ABC)\). Hãy viết công thức tính thể tích \(V_{S.ABC}\) theo đường cao \(h_{SA}\) và diện tích đáy \(S_{ABC}\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(\lvert AB\rvert=6\), \(\lvert AC\rvert=8\). Tính diện tích \(S_{ABC}\).

Thấu hiểu: Giải thích được mối liên hệ giữa giả thiết hình học và công thức tính thể tích.

Khối chóp \(S.ABC\) có \(SA \perp (ABC)\), \(\lvert SA\rvert=5\), tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(\lvert AB\rvert=3\), \(\lvert AC\rvert=4\).
1. Chứng minh \(h_{SA}=\lvert SA\rvert\).
2. Tính thể tích \(V_{S.ABC}\).
Đúng hay sai? Giải thích: “Trong khối chóp \(S.ABC\), nếu \(SA \perp (ABC)\) thì luôn có \(SA = h_{SA}\).”

Vận dụng: Áp dụng công thức vào tình huống mới, kết hợp tính toán và ký hiệu chuẩn.

Cho khối chóp \(S.ABC\) có \(\lvert SA\rvert=7\), \(SA \perp (ABC)\). Tam giác \(ABC\) có \(\lvert AB\rvert=5\), \(\lvert AC\rvert=12\), và \(\angle{A}=90^\circ\).
1. Tính diện tích đáy \(S_{ABC}\).
2. Tính thể tích khối chóp \(V_{S.ABC}\).
Cho khối chóp \(S.ABC\), \(SA \perp (ABC)\). Biết \(\lvert SA\rvert=6\), tam giác \(ABC\) đều cạnh \(4\).
1. Tính diện tích tam giác \(ABC\).
2. Tính thể tích khối chóp.

Vận dụng cao: Giải quyết tình huống phức tạp, có yếu tố lựa chọn dữ kiện hoặc chứng minh.

Khối chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(A\), \(\lvert AB\rvert=\lvert AC\rvert=a\). Biết \(SA \perp (ABC)\) và thể tích khối chóp bằng \(\frac{a^3}{6}\). Tìm độ dài \(\lvert SA\rvert\).
Khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), \(\lvert AB \rvert=3\), \(\lvert AC\rvert=4\). Biết thể tích khối chóp bằng \(18\).
1. Tính độ dài đường cao \(\lvert SA\rvert\).
2. Viết lại lời giải bằng ký hiệu rõ ràng, phân biệt giữa đoạn thẳng và độ dài.

Phần II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a, b, c, d ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1

Cho hàm số \(f(x)=x^3-12x-8\).

Hàm số đã cho có đạo hàm là \(f^\prime(x)=3x^2-12\).
Phương trình \(f^\prime(x)=0\) có tập nghiệm là \(S=\{2\}\).
\(f(2)=24\).
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \([-3;3]\) bằng \(24\).

Đáp án

Đúng.
Sai.
Sai.
Sai.

Giải thích

Đề bài đưa ra bốn khẳng định liên quan đến hàm số \(f(x) = x^3 - 12x - 8\), và nhiệm vụ là xác định khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai.

Trước hết, đạo hàm của hàm đa thức được tìm dựa trên ba quy tắc.

Đạo hàm của hằng số: \((a)^\prime=0\).
Đạo hàm của lũy thừa: \((x^\alpha)^\prime = \alpha \cdot x^{\alpha-1}\).
Đạo hàm của tổng: \(\left(au(x)+bv(x)\right)^\prime=au^\prime (x)+bv^\prime (x)\) với mọi số thực \(a\), \(b\). Đây được gọi là tính tuyến tính của đạo hàm, nhờ vào tính chất này hệ số có thể “đi ra ngoài” phép lấy đạo hàm.

\[ (a)^\prime=0, \quad \left(x^\alpha\right)^\prime=\alpha\cdot x^{\alpha-1}, \quad (au+bv)^\prime=au^\prime+bv^\prime \]

Khi đứng trước một đa thức, chỉ việc áp dụng tính tuyến tính để tách thành tổng các hạng tử, rồi dùng quy tắc lũy thừa cho từng hạng tử.

Với \(f(x)=x^3-12x-8\), vận dụng đúng ba nguyên tắc ấy thu được

\[ \begin{aligned} f^\prime (x) &= \left(x^3-12x-8\right)\\ &= \left(x^3\right)^\prime - (12x)^\prime - (8)^\prime \\ &= 3x^2 - 12+0\\ &= 3x^2 - 12. \end{aligned} \]

Điều này cho thấy khẳng định (a) là đúng.

Tiếp theo, xét phương trình \(f^\prime(x) = 0\). Thay biểu thức đạo hàm vừa tìm được, giải

\[ 3x^2 - 12 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = 4 \quad \Leftrightarrow \quad x = \pm 2. \]

Lưu ý nhỏ mang tính phương pháp: khi giải \(x^2=c>0\), luôn phải nhớ tới hai nghiệm đối nhau; bỏ sót một nghiệm là lỗi rất thường gặp.

Như vậy, tập nghiệm của phương trình \(f^\prime (x)=0\) là \(\{-2,\, 2\}\), không thể là \(\{2\}\). Khẳng định (b) do đó sai vì thiếu nghiệm \(x=-2\).

Đến đây, việc kiểm tra \(f(2)\) chỉ còn là thao tác thay số cẩn thận, nhưng chính ở những phép thế trực tiếp như vậy học sinh rất hay nhầm dấu. Hãy tính tường minh

\[ f(2) = 2^3 - 12\cdot 2 - 8 = 8 - 24 - 8 = -24. \]

Trong khi đó, khẳng định (c) đưa ra giá trị \(f(2) = 24\). Rõ ràng đây là một sự nhầm lẫn dấu, nên khẳng định này là sai. Điều này cũng gợi nhắc học sinh một bài học nhỏ: khi tính toán với số âm và phép nhân nhiều bước, rất dễ sai dấu, nên cần viết rõ từng bước để tránh mất điểm oan uổng.

Cuối cùng, bàn tới khẳng định (d) về giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=x^3-12x-8\) trên đoạn \([-3;3]\). Ở đây có hai ý tưởng căn bản cần được nhớ lại. Thứ nhất, một hàm liên tục trên đoạn (đóng) luôn đạt được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó (theo Định lý Weierstrass). Thứ hai, quy trình thực hành chuẩn để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số liên tục trên một đoạn đóng là: liệt kê các điểm cần kiểm tra gồm hai đầu mút của đoạn và các điểm tới hạn nằm trong đoạn - những điểm mà tại đó đạo hàm bằng \(0\) hoặc không tồn tại; sau đó tính giá trị hàm số tại những điểm này và so sánh.

Đa thức là hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\), nên hiển nhiên liên tục trên mọi đoạn đóng. Do đó, hàm số đã cho \(f(x)=x^3-27x+81\) liên tục trên đoạn \([-3;3]\). Các điểm tới hạn tìm được trong đoạn này là \(x=-2\) và \(x=2\). Bây giờ, lần lượt tính:

\[ f(-3) = (-3)^3 - 12(-3) - 8 = -27 + 36 - 8 = 1, \]

\[ f(-2) = (-2)^3 - 12(-2) - 8 = -8 + 24 - 8 = 8, \]

\[ f(2) = -24, \]

\[ f(3) = 3^3 - 12\cdot 3 - 8 = 27 - 36 - 8 = -17. \]

So sánh bốn giá trị này, giá trị lớn nhất là \(8\) (tại \(x=-2\)), và giá trị nhỏ nhất là \(-24\) (tại \(x=2\)):

\[ \max_{[-3;3]} f(x)=f(-2)=8 \]

và

\[ \min_{[-3;3]} f(x)=f(2)=-24. \]

Như vậy, khẳng định (d) cho rằng giá trị lớn nhất bằng \(24\) là sai.

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên một đoạn \([a;b]\)

Một hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\) và có đạo hàm trên khoảng \((a;b)\) luôn luôn tồn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Hai giá trị này được tìm qua các bước sau:

Bước 1. Tìm các điểm (gọi là điểm tới hạn) \(x_1\), \(x_2\),…, \(x_n\) thuộc khoảng \((a;b)\) mà tại đó \(f^\prime (x)\) bằng \(0\) hoặc không tồn tại.

Bước 2. Tính \(f(a)\), \(f(x_1)\), \(f(x_2)\),…, \(f(x_n)\), \(f(b)\).

Bước 3. Gọi \(M\) là số lớn nhất và \(m\) là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó:

\[ M=\max_{[a;b]} f(x) \text{ và } m=\min_{[a;b]} f(x). \]

Tóm lại, trong bốn khẳng định của đề, chỉ (a) là đúng; (b), (c), (d) đều sai. Quan trọng hơn cả đáp án, bài toán này củng cố lại chuỗi kiến thức nền: cách tính đạo hàm đa thức dựa trên ba nguyên tắc (hằng số, tuyến tính, lũy thừa); ý nghĩa của việc giải \(f^\prime(x)=0\) để tìm điểm tới hạn; quy trình tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên một đoạn đóng, dựa trên tính liên tục và việc so sánh giá trị tại đầu mút cùng các điểm tới hạn. Khi các mắt xích ấy được nối liền, lời giải không còn là một loạt công thức rời rạc mà trở thành một mạch suy luận tự nhiên và đáng tin cậy. Với các bài toán tương tự, học sinh nên luôn nhớ ba nguyên tắc đạo hàm cơ bản, cách giải phương trình đạo hàm, và quy trình ba bước tìm GTLN–GTNN.

Luyện tập

Nhận diện

Tính đạo hàm của các đa thức:
1. \(f(x)=x^4-5x^2+7\),
2. \(g(x)=2x^3-3x+1\).
Mục tiêu: luyện quy tắc hằng số, lũy thừa, tuyến tính.
Đúng hay sai? Giải thích: “Phương trình \(3x^2-12=0\) có nghiệm duy nhất \(x=2\).”

Thấu hiểu

Tại sao khi tìm cực trị, phải giải \(f^\prime (x)=0\) thay vì chỉ nhìn vào đồ thị?
Giải thích vì sao hàm đa thức luôn liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Vận dụng

Cho hàm số \(h(x)=x^3-6x^2+9x+1\).
1. Tìm các điểm tới hạn của hàm số.
2. Lập bảng biến thiên.
3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(h(x)\) trên đoạn \([0;4]\).

Vận dụng cao

Đề mở rộng: Cho \(f(x)=x^3-12x-8\).
1. Chứng minh rằng hàm có đúng một cực đại và một cực tiểu.
2. Tìm điều kiện của số thực \(m\) để phương trình \(f(x)=m\) có ba nghiệm phân biệt.
Mục tiêu: Bài này giúp học sinh liên kết cực trị với số nghiệm phương trình.

Câu 2

Đối với ngành nuôi trồng thủy sản, việc kiểm soát lượng thuốc tồn dư trong nước là một nhiệm vụ quan trọng nhằm đáp ứng các tiêu chuẩn an toàn về môi trường. Khi nghiên cứu một loại thuốc trị bệnh trong nuôi trồng thủy sản, người ta sử dụng thuốc đó một lần và theo dõi nồng độ thuốc tồn dư trong nước kể từ lúc sử dụng thuốc. Kết quả cho thấy nồng độ thuốc \(y(t)\) (đơn vị: mg/lít) tồn dư trong nước tại thời điểm \(t\) ngày (\(t\geq 0\)) kể từ lúc sử dụng thuốc, thỏa mãn \(y(t)> 0\) và \(y^\prime(t)=ky(t)\,(t\geq 0)\), trong đó \(k\) là hằng số khác không. Đo nồng độ thuốc tồn dư trong nước tại các thời điểm \(t=6\) (ngày), \(t=12\) (ngày) nhận được kết quả lần lượt là \(2\) mg/lít, \(1\) mg/lít. Cho biết \(y(t)=e^{g(t)}\, (t\geq 0)\).

\(g(t)=kt+C \, (t\geq 0)\) với \(C\) là một hằng số nhất định.
\(k=\frac{\ln 2}{6}\).
\(C=2\ln 2\).
Nồng độ thuốc tồn dư trong nước tại thời điểm \(t=25\) (ngày) kể từ lúc sử dụng thuốc lớn hơn \(0,25\) mg/lít.

Đáp án

Đúng.
Sai.
Đúng.
Sai.

Giải thích

Xác định dạng của \(g(t)\)

Từ \(y(t)=e^{g(t)}\) suy ra

\[ y^\prime(t)=g^\prime(t)e^{g(t)}. \]

\[ e^u=u^\prime e^u \]

Theo giả thiết \(y^\prime(t)=k y(t)=k e^{g(t)}\). So sánh hai vế:

\[ g^\prime(t)e^{g(t)}=k e^{g(t)}. \]

Suy ra

\[ g^\prime(t)=k. \]

Hệ quả, \(g(t)\) là hàm bậc nhất theo \(t\), tức là

\[ g(t)=kt+C. \]

Như vậy, mệnh đề (a) đúng.

Tính hệ số \(k\)

Với \(y(t)=e^{kt+C}\), xét tỉ số:

\[ \frac{y(12)}{y(6)}=\frac{e^{12k+C}}{e^{6k+C}}=e^{6k}. \]

Từ dữ kiện \(y(12)=1\), \(y(6)=2\) suy ra

\[ \frac{1}{2}=e^{6k}. \]

Lấy lô-ga-rít cơ số \(e\), giải ra

\[ k=-\frac{\ln 2}{6}. \]

Dấu âm cho thấy nồng độ giảm dần theo thời gian. Mệnh đề (b) sai, giá trị đúng là \(k=-\tfrac{\ln 2}{6}\).

Tìm hằng số \(C\)

Một mặt \(y(6)=2\), một mặt \(y(6)=e^{6k+C}\). Từ đó suy ra

\[ e^{6k+C}=2 \]

hay

\[ 6k+C=\ln 2. \]

Thay \(k=-\tfrac{\ln 2}{6}\), giải ra

\[ C=2\ln 2. \]

Do đó, mệnh đề (c) đúng.

Xác định dạng của \(y(t)\)

Hàm số đã được xác định:

\[ y(t)=e^{-\tfrac{\ln 2}{6} t+2\ln 2}. \]

Hoặc viết lại theo lũy thừa của \(2\):

\[ y(t)=2^{2-\frac{t}{6}}. \]

Đánh giá \(y(24)\)

Từ đó, với \(t=25\), tính ra

\[ y(24)=2^{2-\frac{25}{6}}=2^{-\frac{13}{6}}<0,23. \]

Vì hàm giảm theo \(t\), nên \(y(25)<y(24)<0,23<0,25\). Do đó, mệnh đề (d) sai.

MÔ HÌNH MŨ: SỰ TĂNG TRƯỞNG VÀ PHÂN RÃ

Trong bối cảnh nồng độ chất theo thời gian, mô hình tự nhiên nhất là mô hình mũ: \(y(t)=e^{g(t)}\). Nếu \(g(t)\) hàm bậc nhất theo thời gian: \(g(t)=kt+C\). Khi đó

\[ y(t)=e^{kt+C}=e^{C}e^{kt}=Ae^{kt}, \]

trong đó \(A=e^{C}>0\). Cách viết \(A e^{kt}\) rất thuận tiện: \(A\) giữ vai trò “mức ban đầu” (hệ số tỉ lệ), còn \(k\) quyết định tốc độ tăng/giảm theo thời gian. Vì \(e^x>0\) với mọi \(x\), nên \(y(t)\) luôn dương; vì \(e^x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(kt+C\) cũng liên tục, nên \(y(t)\) liên tục trên mọi khoảng thời gian cần xét.

Tính đơn điệu của \(y(t)=A e^{kt}\) suy ra trực tiếp từ tính đơn điệu của \(e^x\). Hàm \(e^x\) tăng nghiêm ngặt theo \(x\). Do đó, nếu \(k>0\) thì khi \(t\) tăng, số mũ \(kt\) tăng và \(y(t)\) tăng; nếu \(k<0\) thì \(kt\) giảm và \(y(t)\) giảm. Hệ quả dài hạn: với \(k<0\), \(y(t)\to 0\) khi \(t\to\infty\); với \(k>0\), \(y(t)\) tăng không bị chặn khi \(t\to\infty\). Nhận định này cho phép so sánh nhanh các giá trị: lớn hơn một mốc thời gian cố định thì \(y\) nhỏ hơn (khi \(k<0\)), và ngược lại.

Khai thác số liệu đo thường dùng “mẹo tỉ số” để loại bỏ hệ số \(A\). Từ \(y(t)=A e^{kt}\) suy ra

\[ \frac{y(t_2)}{y(t_1)}=\frac{A e^{k t_2}}{A e^{k t_1}}=e^{k (t_2-t_1)}. \]

Công thức này cho phép xác định \(k\) chỉ bằng hai phép đo tại hai thời điểm, không cần biết \(A\). Sau khi có \(k\), quay lại một trong hai phương trình \(y(t_i)=A e^{k t_i}\) để tìm \(A\) (tương đương \(C=\ln A\)). Khi phải giải phương trình dạng \(e^{k\Delta t}=r\), phép lấy lô-ga-rít tự nhiên là công cụ chuẩn: \(k\Delta t=\ln r\).

Khái niệm “bán rã” (nếu bối cảnh là phân rã) được định nghĩa như sau: khoảng thời gian \(\Delta t\) để đại lượng giảm còn một nửa thỏa mãn \(y(t+\Delta t)=\tfrac12\,y(t)\). Từ mô hình mũ,

\[ \frac{y(t+\Delta t)}{y(t)}=e^{k\Delta t}=\frac12 \quad\Rightarrow\quad \Delta t=\frac{\ln 2}{\lvert k\rvert}. \]

Khi đã biết \(\Delta t\), có thể suy luận nhanh các mốc \(t\) bội số của \(\Delta t\): sau \(n\) khoảng bán rã, giá trị còn \(2^{-n}\) lần so với ban đầu. Chẳng hạn, nếu \(\Delta t=6\) ngày thì \(t=24\) ngày ứng với bốn lần bán rã và \(y(24)=\frac{1}{16}A\) với \(A\) là mức ban đầu.

Đổi cơ số giúp biểu diễn trực quan theo “lũy thừa của 2” khi bài toán nói về “giảm một nửa”. Nhờ đẳng thức \(e^{x}=2^{\frac{x}{\ln 2}}\), có thể viết

\[ y(t)=A e^{kt}=A\cdot 2^{\frac{k}{\ln 2}t}. \]

Nếu biết thời gian bán rã \(\Delta t\), một dạng khác rất hữu ích là

\[ y(t)=y(t_0)\cdot 2^{-\frac{t-t_0}{\Delta t}}, \]

thể hiện rõ cứ tăng thêm \(\Delta t\) thì giá trị bị nhân với \(\tfrac12\). Mọi dạng viết này là tương đương; việc chọn dạng nào tùy theo dữ kiện bài cho và mục tiêu so sánh/tính toán.

Các phép biến đổi lô-ga-rít cần tuân thủ ba quy tắc cơ bản: \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\), \(\ln(a^p)=p\ln a\) (với \(a>0\)), và \(\ln(e^x)=x\). Nhờ đó, từ phương trình \(A e^{kt}=y\) có thể suy ra \(kt=\ln y-\ln A\), rồi rút ẩn cần thiết. Một lưu ý nhỏ về đơn vị: số mũ \(kt\) phải không thứ nguyên; vì \(t\) tính theo “ngày”, \(k\) có đơn vị “ngày\(^{-1}\)”, còn \(A\) mang đơn vị của \(y\) (mg/lít). Nhận xét này giúp kiểm tra hợp lý các kết quả thu được.

Cuối cùng, trong so sánh định lượng nhanh, nên gắn các mốc thời gian với các bậc lũy thừa quen thuộc. Nếu đã biết \(y(25)=0{,}25\) và hàm giảm, thì ngay lập tức suy ra \(y(25)<0{,}25\) mà không cần tính số thập phân; nếu cần giá trị xấp xỉ, có thể nhân thêm \(e^{k}\) (hoặc \(2^{-\frac{1}{6}}\) trong ví dụ bán rã 6 ngày) để tinh chỉnh.

Khung lý thuyết trên cung cấp đủ công cụ ở mức phổ thông để đọc dữ kiện, dựng công thức mũ, tìm tham số, hiểu ý nghĩa bán rã và đưa ra so sánh/ước lượng chính xác mà không cần viện dẫn kiến thức phương trình vi phân.

Trong nhiều hiện tượng tự nhiên, đại lượng thay đổi theo tỉ lệ thuận với chính giá trị hiện có. Khi đó, công thức thường dùng để mô tả là

\[ y(t) = A e^{kt}, \quad (A>0). \]

Ở đây:

\(A\) là mức ban đầu (giá trị tại \(t=0\)),
\(k\) là hằng số đặc trưng cho tốc độ thay đổi; nếu \(k>0\) thì hàm tăng theo thời gian; nếu \(k<0\) thì hàm giảm dần.

Tính chất cơ bản

Liên tục và dương: Vì \(e^x>0\) với mọi \(x\), nên \(y(t)\) luôn dương và liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Đơn điệu: Nếu \(k>0\), \(y(t)\) tăng nghiêm ngặt; nếu \(k<0\), \(y(t)\) giảm nghiêm ngặt.
Hạn cuối: Với \(k<0\), \(y(t)\to 0\) khi \(t\to\infty\); với \(k>0\), \(y(t)\to +\infty\).

Cách xác định tham số

Từ công thức

\[ \frac{y(t_2)}{y(t_1)} = e^{k(t_2-t_1)}, \]

có thể tính \(k\) bằng dữ liệu ở hai thời điểm. Sau đó, dùng một giá trị đã biết để tìm \(A\). Khi giải phương trình \(e^{k\Delta t}=r\), dùng lô-ga-rít tự nhiên: \(k\Delta t=\ln r\).

Chu kì bán rã

Trong trường hợp giảm dần, thời gian bán rã \(\Delta t\) là khoảng thời gian để giá trị còn một nửa:

\[ \Delta t = \frac{\ln 2}{\lvert k\rvert}. \]

Sau \(n\) khoảng bán rã, giá trị chỉ còn \(2^{-n}\) lần so với ban đầu.

Biểu diễn theo cơ số \(2\)

Có thể viết lại:

\[ y(t) = y(t_0)\cdot 2^{-\frac{t-t_0}{\Delta t}}, \]

thể hiện rõ ràng: cứ thêm một \(\Delta t\) thì giá trị bị chia đôi.

Luyện tập

Nhận biết kiến thức: giúp học sinh làm quen với công thức, đọc hiểu vai trò của tham số.

Viết lại dạng tổng quát của hàm \(y(t)\) thỏa \(y^\prime(t)=ky(t)\) với \(y(0)=y_0>0\).
Cho \(y(t) = 5e^{0,2t}\). Hỏi:
1. \(A\) bằng bao nhiêu? Ý nghĩa của nó?
2. Hàm số này tăng hay giảm? Vì sao?
3. Tính \(y(0)\), \(y(1)\).
Cho \(y(t) = 10e^{-0,1t}\). Xác định:
1. \(k\).
2. Khi \(t \to \infty\), \(y(t)\) tiến đến đâu?
3. Giải thích ý nghĩa thực tế trong một hiện tượng phân rã.
Nếu \(y(t)=e^{kt+C}\), chứng minh \(y(t)>0\) với mọi \(t\).

Thấu hiểu: học sinh hiểu bản chất công thức, biết lý do của các kết quả.

Cho \(y(t)=A e^{kt}\) với \(y(0)=10\), \(y(5)=20\). Tính \(k\).
Một chất phóng xạ có chu kì bán rã \(10\) ngày. Hãy viết công thức \(y(t)\) nếu \(y(0)=40\).

Vận dụng

Một loại vi khuẩn tăng trưởng theo \(y(t)=Ae^{kt}\). Biết \(y(2)=500\), \(y(5)=4000\). Xác định \(k\) và dự đoán dân số sau \(8\) ngày.
Trong thí nghiệm, nồng độ chất giảm từ \(12\) xuống \(9\) chỉ trong \(4\) phút. Dự đoán nồng độ sau \(12\) phút.

Vận dụng cao

Chứng minh rằng tỉ số \(\frac{y(t+\Delta t)}{y(t)}\) không phụ thuộc vào \(t\). Từ đó giải thích vì sao “bán rã” luôn có cùng độ dài thời gian.
Một chất có nồng độ giảm theo hàm mũ. Ban đầu là \(80\), sau \(15\) ngày còn \(10\). Hãy tìm công thức \(y(t)\). Từ đó suy luận sau bao nhiêu ngày thì nồng độ còn dưới \(1\).

Bài 3. Chứng minh rằng với mọi \(t\), hàm số \(y(t)=Ae^{kt}\) luôn dương nếu \(A>0\).

Bài 4. Giải thích tại sao có thể dùng tỉ số

\[ \frac{y(t_2)}{y(t_1)}=e^{k(t_2-t_1)} \]

để xác định \(k\) mà không cần biết \(A\).

3. Vận dụng (Bài toán tính toán cụ thể)

Mục tiêu: học sinh luyện kỹ năng sử dụng công thức trong thực tế.

Bài 5. Nồng độ thuốc trong nước tuân theo công thức \(y(t)=Ae^{kt}\). Biết \(y(2)=8\), \(y(5)=1\).

1. Tính \(k\).
1. Tìm \(A\).
1. Viết công thức \(y(t)\) đầy đủ.

Bài 6. Một chất phóng xạ có thời gian bán rã là 10 giờ.

1. Viết công thức \(y(t)\) theo \(y(0)\).
1. Sau 30 giờ, khối lượng chất còn lại là bao nhiêu phần của khối lượng ban đầu?
1. Sau bao lâu thì chất chỉ còn lại 1% so với ban đầu?

4. Vận dụng cao (Tổng hợp, suy luận, so sánh)

Mục tiêu: học sinh biết áp dụng linh hoạt, kết hợp nhiều ý.

Bài 7. Hai loại vi khuẩn phát triển theo mô hình mũ:

Loại A: \(y_A(t)=200e^{0,3t}\).
Loại B: \(y_B(t)=50e^{0,5t}\).
1. Tại thời điểm nào thì số lượng hai loại bằng nhau?
1. Với \(t\) lớn, loại nào sẽ chiếm ưu thế? Giải thích.

Bài 8. Một mẫu gỗ chứa đồng vị Carbon-14 có thời gian bán rã 5730 năm. Phân tích thấy lượng Carbon-14 còn lại bằng \(20\%\) so với ban đầu.

1. Mẫu gỗ đã bị chôn vùi bao lâu?
1. Nếu đo sai và thấy còn lại \(25\%\), tuổi ước tính thay đổi thế nào? Bình luận ý nghĩa.

Câu 3

Mô hình toán học sau đây được sử dụng trong quan sát chuyển động của một vật. Trong không gian cho hệ tọa độ \(Oxyz\) có \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\) lần lượt là các véc-tơ đơn vị trên các trục \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) và độ dài của mỗi véc-tơ đơn vị đó bằng \(1\) mét. Cho hai điểm \(A\) và \(B\), trong đó điểm \(A\) có tọa độ là \((5;5;0)\). Một vật (coi như là một hạt) chuyển động thẳng với tốc độ phụ thuộc thời gian \(t\) (giây) theo công thức \(v(t)=\beta t+300\) (m/giây), trong đó \(\beta\) là hằng số dương và \(0\leq t\leq 6\). Ở thời điểm ban đầu (\(t=0\)), vật đi qua \(A\) với tốc độ \(300\) m/giây và hướng tới \(B\). Sau \(2\) giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đi được quãng đường \(604\) m. Gọi \(\vec{u}=(a;b;c)\) là véc-tơ cùng hướng với véc-tơ \(\overrightarrow{AB}\). Biết rằng \(\lvert \vec{u}\rvert=1\) và góc giữa véc-tơ \(\vec{u}\) lần lượt với các véc-tơ \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\) có số đo tương ứng bằng \(60^\circ\), \(60^\circ\), \(45^\circ\).

\(a=\cos 60^\circ\).
Phương trình đường thẳng \(AB\) là \(\frac{x-5}{1}=\frac{y-5}{1}=\frac{z}{2}\).
\(\beta=2\).
Giả sử sau \(5\) giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đến điểm \(B(x_B;y_B;z_B)\). Khi đó \(x_B>768\).

Đáp án

Giải thích

Luyện tập

Câu 4

Một phần mềm nhận dạng tin nhắn quảng cáo trên điện thoại bằng cách dựa theo từ khóa để đánh dấu một số tin nhắn được gửi đến. Qua một thời gian dài sử dụng, người ta thấy rằng trong số tất cả các tin nhắn gửi đến, có \(15\%\) số tin nhắn bị đánh dấu. Trong số các tin nhắn bị đánh dấu, có \(10\%\) số tin nhắn không phải là quảng cáo. Trong số các tin nhắn không bị đánh dấu, có \(5\%\) số tin nhắn là quảng cáo.

Chọn ngẫu nhiên một số tin nhắn được gửi đến điện thoại.

Xác suất để tin nhắn đó không bị đánh dấu bằng \(0,85\).
Xác suất để tin nhắn đó không phải là quảng cáo, biết rằng nó không bị đánh dấu, bằng \(0,95\).
Xác suất để tin nhắn đó không phải là quảng cáo bằng \(0,85\).
Xác suất để tin nhắn đó không bị đánh dấu, biết rằng nó không phải là quảng cáo, lớn hơn \(0,95\).

Đáp án

Đúng.
Đúng.
Sai.
Đúng.

Giải thích

Luyện tập

Phần III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1

Bạn Nam tham gia cuộc thi giải một mật thư. Theo quy tắc của cuộc thi, người chơi cần chọn ra sáu số từ tập

\[ S=\{11;12;13;14;15;16;17;18;19\} \]

và xếp mỗi số vào đúng một vị trí trong sáu vị trí \(A\), \(B\), \(C\), \(M\), \(N\), \(P\) như hình bên dưới sao cho mỗi vị trí chỉ được xếp một số. Mật thư sẽ được giải nếu các bộ ba số xuất hiện ở những bộ ba vị trí \((A,M,B)\), \((B,N,C)\), \((C,P,A)\) tạo thành các cấp số cộng theo thứ tự đó. Bạn Nam chọn ngẫu nhiên sáu số trong tập \(S\) và xếp ngẫu nhiên vào các vị trí được yêu cầu. Gọi xác suất để bạn Nam giải được mật thư ở lần chọn và xếp đó là \(a\). Giá trị của \(\frac{1}{a}\) bằng bao nhiêu?

Đáp án

\(1260\)

Giải thích

Để khảo sát xác suất trên, cần làm rõ hai yếu tố: số trường hợp thuận lợi (tức các cách gán để giải mật thư) và số trường hợp có thể (tức tất cả các cách gán có thể xảy ra).

Trước hết, xét tổng số trường hợp có thể. Mỗi cách chọn sáu số phân biệt từ tập \(S\) ứng với một tập con gồm sáu phần tử. Tập \(S\) có chín phần tử, nên số cách chọn sáu phần tử là \(\binom{9}{6}\). Với mỗi tập con đã chọn, có \(6!\) cách hoán vị để gán sáu số đó vào sáu vị trí \(A\), \(B\), \(C\), \(M\), \(N\), \(P\). Do đó, tổng số trường hợp gán là

\[ \binom{9}{6}\cdot 6!. \]

Đặt \(x_B\), \(x_C\), \(x_M\), \(x_N\), \(x_P\) là các số thuộc tập

\[ S=\{11;12;13;14;15;16;17;18;19\} \]

được gán vào các vị trí tương ứng trên sơ đồ sao cho ba bộ ba \((x_A,x_M,x_B)\), \((x_B,x_N,x_C)\), \((x_C,x_P,x_A)\) là các cấp số cộng. Khi đó,

\[ \begin{aligned} 2x_M&=x_A+x_B,\\ 2x_N&=x_B+x_C,\\ 2x_P&=x_C+x_A. \end{aligned} \]

Suy ra \(x_A+x_B\), \(x_B+x_C\), \(x_C+x_A\) đều là các số chẵn. Suy ra \(x_A\), \(x_B\), \(x_C\) phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Trường hợp \(x_A\), \(x_B\), \(x_C\) đồng thời chẵn

Số cách chọn ba số chẵn từ \(S\) là \(\binom{4}{3}\). Nhưng, trong số những cách chọn này, có hai cách chọn không phù hợp, đó là hai cách chọn: \(\{12,14,16\}\) và \(\{14,16,18\}\). Vì trong mỗi cách chọn này, có tồn tại một số là trung bình cộng của hai số còn lại: \(14=\frac{12+16}{2}\) và \(16=\frac{14+18}{2}\). Ví dụ, với tập \(\{12,14,16\}\), giả sử \(x_A=12\), \(x_B=14\) và \(x_C=16\). Khi đó,

\[ x_P=\frac{x_C+x_A}{2}=\frac{16+12}{2}=14=x_B. \]

Như vậy, chỉ có

\[ \binom{4}{3}-2 \]

cách chọn ba số chẵn phù hợp từ \(S\). Với mỗi tập con phù hợp này, có \(3!\) cách xếp các phần tử của nó vào các vị trí \(A\), \(B\) và \(C\). Và với mỗi cách xếp này, chỉ có duy nhất một cách chọn \(x_M\), \(x_N\) và \(x_P\) cho các vị trí \(M\), \(N\) và \(P\). Tóm lại, trong trường hợp \(x_A\), \(x_B\) và \(x_C\) là các số chẵn, có

\[ \left(\binom{4}{3}-2\right)\cdot 3! \]

cách xếp các phần tử từ \(S\) vào các vị trí \(A\), \(B\), \(C\), \(M\), \(N\), \(P\) trên sơ đồ sao cho \((x_A,x_M,x_B)\), \((x_B,x_N,x_C)\), \((x_C,x_P,x_A)\) là các cấp số cộng.

Trường hợp \(x_A\), \(x_B\), \(x_C\) đồng thời lẻ

Số cách chọn ba số lẻ từ \(S\) là \(\binom{5}{3}\). Tương tự như trong trường hợp chẵn, có bốn cách chọn không phù hợp: \(\{11,13,15\}\), \(\{13,15,17\}\), \(\{15,17,19\}\) và \(\{11,15,19\}\). Do đó, chỉ có

\[ \binom{5}{3}-4 \]

cách chọn ba số lẻ phù hợp từ \(S\). Với mỗi tập con phù hợp này, có \(3!\) cách xếp các phần tử của nó vào các vị trí \(A\), \(B\) và \(C\). Và với mỗi cách xếp này, chỉ có duy nhất một cách chọn \(x_M\), \(x_N\) và \(x_P\) cho các vị trí \(M\), \(N\) và \(P\). Tóm lại, trong trường hợp \(x_A\), \(x_B\) và \(x_C\) là các số lẻ, có

\[ \left(\binom{5}{3}-4\right)\cdot 3! \]

Xác suất giải được mật thư là

\[ a =\frac{\left(\binom{4}{3}-2\right)\cdot 3!+\left(\binom{5}{3}-4\right)\cdot 3!}{\binom{9}{6}\cdot 6!} =\frac{1}{1260}. \]

Vậy, kết quả là

\[ \frac{1}{a} =1260. \]

Luyện tập

Câu 2

Nếu một doanh nghiệp sản xuất \(x\) sản phẩm trong một tháng \(\{x\in\mathbb{N}: 1\leq x\leq 4500\}\) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là \(F(x)=-0,01x^2+300x\) (nghìn đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm là \(G(x)=\frac{30000}{x}+200\) (nghìn đồng). Giả sử số sản phẩm sản xuất ra luôn được bán hết. Trong một tháng, doanh nghiệp đó cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được lớn hơn \(100\) triệu đồng?

Đáp án

\(1536\)

Giải thích

Số sản phẩm sản xuất trong một tháng là \(x\), với \(x\in\mathbb{N}\) và \(1\leq x\leq 4500\). Doanh thu khi bán hết \(x\) sản phẩm là

\[ F(x) =-0,01x^2+300x \]

nghìn đồng. Chi phí sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm là

\[ G(x) =\frac{30000}{x}+200 \]

nghìn đồng. Do đó, lợi nhuận khi bán hết \(x\) sản phẩm là

\[ \begin{aligned} H(x) &=F(x)-xG(x)\\ &=\left(-0,01x^2+300x\right)-x\left(\frac{30000}{x}+200\right)\\ &=-0,01x^2+100x-30000 \end{aligned} \]

nghìn đồng. Lợi nhuận lớn hơn \(100\) triệu đồng nghĩa là \(H(x)> 100000\), hay

\[ -0,01x^2+100x-130000 > 0. \]

Nhân cả hai vế với \(-100\) để khử hệ số thập phân, lưu ý rằng điều này làm đảo chiều bất phương trình:

\[ x^2-10000x+13000000<0. \]

Tiếp theo cần giải bất phương trình này trên tập số thực \(\mathbb{R}\). Phương trình tương ứng

\[ x^2-10000x+13000000=0 \]

có hai nghiệm

\[ x=5000\pm2000\sqrt{3}. \]

Hệ số của \(x^2\) trong bất phương trình bậc hai ở trên là một số dương, nên nghiệm trên tập số thực là

\[ x\in (5000-2000\sqrt{3};5000+2000\sqrt{3}). \]

Kết hợp với điều kiện \(x\) là các số tự nhiên từ \(1\) đến \(4500\), suy ra nghiệm tự nhiên của bất phương trình là

\[ \begin{aligned} x &\in \mathbb{N} \cap (5000-2000\sqrt{3};5000+2000\sqrt{3}) \\ &=\{1536;1537;\dots;4500\}. \end{aligned} \]

Vậy, doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất \(1536\) sản phẩm để lợi nhuận thu được lớn hơn \(100\) triệu đồng.

Luyện tập

Lợi nhuận của một chiến dịch quảng bá

Một công ty tổ chức chiến dịch quảng bá sản phẩm kéo dài \(x\) ngày (\(x \in \mathbb{N}, 1 \leq x \leq 90\)). Chi phí mỗi ngày cho quảng cáo là \(20\) triệu đồng, và chi phí cố định là \(500\) triệu đồng.

Qua khảo sát, doanh thu kỳ vọng theo số ngày quảng cáo được mô hình hóa bởi

\[ F(x) = \frac{500x}{x + 5} \]

triệu đồng.
1. Lập biểu thức lợi nhuận theo số ngày quảng cáo.
2. Hỏi công ty cần quảng cáo trong ít nhất bao nhiêu ngày để thu lãi?

Sản xuất theo công suất - chi phí biến đổi theo tốc độ

Một xưởng sản xuất \(x\) đơn vị sản phẩm mỗi ngày, ít nhất là \(100\) và nhiều nhất là \(600\) sản phẩm. Chi phí trung bình cho mỗi đơn vị sản phẩm (nghìn đồng) được cho bởi

\[ G(x) =\frac{360000}{x} + 0{,}1x + 50 \]

Doanh nghiệp bán mỗi sản phẩm với giá \(400\) nghìn đồng.
1. Lập biểu thức hàm lợi nhuận theo \(x\).
2. Tìm số sản phẩm cần sản xuất mỗi ngày để lợi nhuận lớn nhất.

Khấu hao máy móc - doanh thu giảm dần

Một cơ sở khai thác đá hoạt động liên tục trong \(x\) tháng, ít nhất là \(1\) và nhiều nhất là \(24\) tháng. Máy móc bị hao mòn nên doanh thu (triệu đồng) theo thời gian được ước lượng bởi

\[ F(x) = 120x - 2x^2. \]

Chi phí bình quân mỗi tháng (triệu đồng) là

\[ G(x) = \frac{300}{x} + 10. \]
1. Tính lợi nhuận sau \(x\) tháng.
2. Cơ sở cần dừng hoạt động vào tháng thứ mấy để lợi nhuận tổng lớn nhất?

Phí thuê mặt bằng và sản lượng ảnh hưởng doanh thu

Một cửa hàng cà phê thuê mặt bằng với giá \(40\) triệu mỗi tháng. Khi phục vụ \(x\) khách mỗi ngày, ít nhất là \(50\) và nhiều nhất là \(500\) khách. Doanh thu (triệu đồng) mỗi tháng (giả sử tháng có \(30\) ngày) được ước tính là

\[ F(x) = 2x(30 - 0{,}02x). \]

Chi phí nguyên vật liệu cho mỗi khách là \(20\) nghìn đồng.
1. Viết biểu thức lợi nhuận theo \(x\).
2. Xác định số khách tối ưu mỗi ngày để lợi nhuận cao nhất.

Chiến lược giảm giá theo số lượng đặt hàng

Một công ty bán thiết bị điện tử với mức giá mỗi đơn vị là

\[ P(x) = 300 - 0{,}1x \]

nghìn đồng nếu khách đặt mua \(x\) sản phẩm cùng lúc, ít nhất là \(1\) và nhiều nhất là \(1000\) sản phẩm. Chi phí sản xuất mỗi đơn vị là \(180\) nghìn đồng.
1. Lập biểu thức doanh thu và lợi nhuận theo \(x\).
2. Tìm số sản phẩm tối ưu để lợi nhuận cao nhất.

Câu 3

Để gây quỹ từ thiện, câu lạc bộ thiện nguyện của một trường THPT tổ chức hoạt động bán hàng với hai mặt hàng là nước chanh và khoai chiên. Câu lạc bộ thiết kế hai thực đơn. Thực đơn 1 có giá \(30\) nghìn đồng, bao gồm hai cốc nước chanh và một túi khoai chiên. Thực đơn \(2\) có giá \(50\) nghìn đồng, bao gồm ba cốc nước chanh và hai túi khoai chiên. Biết rằng câu lạc bộ chỉ làm được không quá \(165\) cốc nước chanh và \(100\) túi khoai chiên. Số tiền lớn nhất mà câu lạc bộ có thể nhận được sau khi bán hết hàng bằng bao nhiêu nghìn đồng?

Đáp án

Giải thích

Luyện tập

Câu 4

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi với \(\angle{ABC}=60^\circ\) và \(AB=2\). Biết rằng hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt phẳng \((ABCD)\) là trọng tâm \(H\) của tam giác \(ABC\) và \(SH=\sqrt{3}\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(SD\) bằng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Đáp án

Giải thích

Luyện tập

Câu 5

Có bốn ngăn (trong một giá để sách) được đánh số thứ tự \(1,2,3,4\) và bảy quyển sách khác nhau. Bạn An xếp bảy quyển sách nói trên vào bốn ngăn đó sao cho mỗi ngăn có ít nhất một quyển sách và các quyển sách được xếp thẳng đứng thành một hàng ngang với gáy sách quay ra ngoài ở mỗi ngăn. Khi đã xếp xong bảy quyển sách, hai cách xếp của bạn An được gọi là giống nhau nếu chúng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau đây:

Với từng ngăn, số lượng quyển sách ở ngăn đó là như nhau trong cả hai cách xếp;
Với từng ngăn, thứ tự từ trái sang phải của các quyển sách được xếp là như nhau trong cả hai cách xếp.

Gọi \(T\) là số cách xếp đôi một khác nhau của bạn An. Giá trị của \(\frac{T}{100}\) bằng bao nhiêu?

Đáp án

Giải thích

Luyện tập

Câu 6

Để đặt được một vật trang trí trên mặt bàn, người ta thiết kế một chân đế như sau. Lấy một khối gỗ có dạng khối chóp cụt tứ giác đều với độ dài hai cạnh đáy lần lượt bằng \(7,4\, \text{cm}\) và \(10,4\, \text{cm}\), bề dài của khối gỗ bằng \(1,5\, \text{cm}\). Sau đó khoét bỏ đi một phần của khối gỗ sao cho phần đó có dạng vật thể \(H\), ở đó \(H\) nhận được bằng cách cắt khối cầu bán kính \(5,8\, \text{cm}\) bởi một mặt phẳng cắt mà mặt cắt là hình tròn bán kính \(3,5\, \text{cm}\) (xem hình dưới).

Thể tích của khối chân đế bằng bao nhiêu xen-ti-mét khối (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười)?

Đáp án

Giải thích

Luyện tập