LÝ TRÍ TRONG THẾ GIỚI BẤT ĐỊNH
Mười một tình huống kinh điển mở vào xác suất, dữ liệu và quyết định
Lời giới thiệu khóa học
Lý trí trong thế giới bất định là một khóa học về cách con người đánh giá, sửa lại nhận định và đưa ra quyết định khi thông tin không đầy đủ. Khóa học không bắt đầu từ công thức, mà bắt đầu từ những tình huống cụ thể, nơi trực giác thường dễ sai và người học buộc phải suy nghĩ cẩn thận hơn.
Khóa học này là một dự án con được trích ra từ một bản đồ rộng hơn về các tình huống kinh điển của lý thuyết xác suất và các miền gần kề. Nếu bản đồ lớn nhằm nhận diện toàn cảnh những miền lõi, miền mở rộng và miền giao thoa của xác suất, thì khóa học này chọn ra mười một tình huống có thể tự đứng thành một hành trình học tập tương đối trọn vẹn: từ việc nhận ra vì sao phải gán một con số cho mức độ khả hữu của một biến cố, qua việc mô hình hóa các khả năng và cập nhật nhận định khi có thêm thông tin, đến việc đọc dữ liệu và đưa ra quyết định trong điều kiện không chắc chắn. Vì thế, mười một tình huống dưới đây không phải là một danh sách ghép lại từ những bài toán nổi tiếng, mà là một lát cắt có chủ đích từ một cấu trúc nhận thức rộng hơn.
Điểm thay đổi quan trọng trong cấu trúc khóa học là: Bài toán chia tiền cược được đưa lên đầu khóa để đảm nhiệm vai trò mở đầu nền tảng. Bài này không được đọc trước hết như một bài về kỳ vọng, mà như một tình huống buộc người học thấy rằng trong bất định, nhiều mệnh đề không thể chỉ trả lời bằng “có” hoặc “không”; muốn phân chia, đánh giá hay ra quyết định cho công bằng, ta cần một cách biểu thị bằng số mức độ nghiêng của lý trí về các khả năng còn bỏ ngỏ.
Bài toán chia tiền cược
Hai người chơi đang thi đấu một trò chơi có thưởng nhưng ván chơi bị dừng giữa chừng. Hỏi số tiền cược phải được chia lại như thế nào cho công bằng, khi kết cục cuối cùng chưa ngã ngũ.Bài toán hai con Một gia đình có hai con. Biết rằng gia đình ấy có ít nhất một con trai. Hỏi xác suất để cả hai con đều là con trai là bao nhiêu.
Bài toán ngày sinh nhật Trong một nhóm người, hỏi xác suất để có ít nhất hai người cùng ngày sinh là bao nhiêu, và vì sao xác suất này trở nên lớn ngay cả khi nhóm chưa quá đông.
Bài toán Monty Hall Trong một trò chơi có ba cánh cửa, sau khi người chơi chọn một cửa, người dẫn chương trình mở một cửa khác chắc chắn không có giải thưởng. Hỏi người chơi nên giữ lựa chọn ban đầu hay đổi sang cửa còn lại.
Bài toán chẩn đoán y khoa Một căn bệnh có tỉ lệ mắc thấp trong cộng đồng. Một xét nghiệm có độ nhạy cao nhưng vẫn có xác suất dương tính giả. Khi một người nhận kết quả dương tính, hỏi xác suất để người đó thật sự mắc bệnh là bao nhiêu.
Bài toán chiếc gậy gãy Một chiếc gậy được bẻ ngẫu nhiên tại hai điểm thành ba đoạn. Hỏi xác suất để ba đoạn ấy ghép thành một tam giác là bao nhiêu.
Thí nghiệm bảng đinh Galton Khi rất nhiều viên bi rơi qua một bảng đinh, mỗi viên lệch trái hoặc lệch phải qua các hàng đinh một cách ngẫu nhiên, các vị trí rơi cuối cùng tạo thành một dạng phân bố ổn định. Thí nghiệm này cho thấy trật tự thống kê có thể xuất hiện từ vô số kết quả riêng lẻ thất thường.
Thí nghiệm Quý bà nếm trà Một người khẳng định rằng chỉ bằng vị giác, bà có thể phân biệt hai loại tách trà: trà rót trước rồi mới thêm sữa, và sữa rót trước rồi mới thêm trà. Hỏi phải thiết kế phép thử như thế nào để kiểm tra xem lời khẳng định ấy có đáng tin hay không.
Nghịch lý Simpson Có những trường hợp trong đó, khi xét riêng từng nhóm dữ liệu, cùng một xu hướng đều xuất hiện; nhưng khi gộp tất cả các nhóm lại, xu hướng chung lại đảo ngược. Hỏi vì sao hiện tượng ấy xảy ra và phải đọc dữ liệu như thế nào cho đúng.
Nghịch lý Saint Petersburg Xét một trò chơi mà phần thưởng tăng rất nhanh theo số lần tung đồng xu cho đến khi xuất hiện mặt ngửa đầu tiên, đến mức giá trị kỳ vọng của phần thưởng là vô hạn. Hỏi vì sao, dù vậy, người chơi thực tế vẫn không sẵn lòng trả một số tiền lớn để tham gia.
Bài toán phá sản của con bạc Một người chơi bắt đầu với số vốn hữu hạn và liên tiếp thắng hoặc thua từng đơn vị qua nhiều ván chơi. Hỏi vốn của người ấy biến động ra sao theo thời gian, và xác suất để người ấy cuối cùng bị phá sản là bao nhiêu.
Từ mười một tình huống ấy, khóa học dẫn người học đi vào các ý niệm cốt lõi của xác suất và thống kê, cùng những nguyên tắc nền tảng của việc ra quyết định trong điều kiện bất định: chuẩn hóa mức độ khả hữu bằng số, không gian mẫu, đếm tổ hợp, xác suất có điều kiện, công thức Bayes, mô hình liên tục, quy luật dài hạn, suy luận thống kê, dữ liệu gây nhiễu, kỳ vọng, rủi ro và quá trình ngẫu nhiên. Những ý niệm này không xuất hiện như một danh sách kỹ thuật rời rạc. Chúng xuất hiện đúng ở nơi người học cần đến chúng: khi phải chia phần công bằng trong một tương lai chưa ngã ngũ, khi phải xác định các khả năng có thể xảy ra, khi phải tính lại đánh giá sau khi biết thêm thông tin, khi phải đọc dữ liệu cẩn thận, và khi phải lựa chọn một hành động trong điều kiện không chắc chắn.
Khóa học này dành cho học sinh phổ thông muốn học sâu hơn, sinh viên năm đầu muốn có một nền tảng chắc, và giáo viên trẻ muốn dạy xác suất bằng những tình huống có sức gợi và có chiều sâu. Đi hết hành trình này, người học không chỉ biết thêm một số bài toán nổi tiếng. Điều quan trọng hơn là họ dần hình thành một bức tranh có cấu trúc về cách lý trí làm việc trong một thế giới bất định.